人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：14【提高】定积分的简单应用

定积分的简单应用

【学习目标】
1.会用定积分求平面图形的面积。
2.会用定积分求变速直线运动的路程
3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】
要点一、应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：
/
2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：
/
3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积：
/
＝＋.
4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：
/
要点诠释：
研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：
① 当平面图形的曲边在轴上方时，容易转化为定积分求其面积；
② 当平面图形的一部分在轴下方时，其在轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；
要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；
（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
（4）写出平面图形面积的定积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用
变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.
要点诠释：
利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。
【典型例题】
类型一、求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【解析】 ，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），
面积S=，
所以
【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：
⑴．作图象；
⑵．求交点，定积分上、下限；
⑶．用定积分表示所求的面积；
⑷．微积分基本定理求定积分。
举一反三：
【变式1】（2018 德州二模改编）如图阴影部分是由曲线和圆及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） /
A. B. C. D.
【答案】如下图，因为曲线和圆在第一象限的交点为（1,1）
所以阴影部分的面积为。
/
【变式2】求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
【答案】所求图形的面积为
例2．求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】
解法一：解方程组得或
即交点.
/
由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。
过点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.

＝
＝
＝.
【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。
解法二：
若选为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
＝.
【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定.
举一反三：
【变式1】计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
【答案】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
【变式2】求抛物线与直线围成的平面图形的面积.
【答案】
由方程组解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, －4）
解法一:选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2
在A1部分：由于抛物线的上半支方程为，下半支方程为，所以



于是：.
解法二: 选y作积分变量，将曲线方程写为及
.
【变式3】（2018春 河南校级期中）函数 的图象与x轴以及所围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
函数 的图象与x轴以及所围成的封闭图形如图，/
面积为
=
=
故选：B。
类型二、求变速直线运动的路程
例3．汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
【思路点拨】因为距离＝速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.
【解析】
因为距离＝速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.
首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，
当时，汽车速度公里/小时＝米/秒=10米/秒.
刹车后汽车减速行驶，其速度为.
当汽车停车时，速度，
故从到用的时间秒.
于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
＝（米）
即在刹车后，汽车需走过25.
【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.
举一反三：
【变式】 一点在直线上从时刻t=0（s）开始以速度v=t2―4t+3（m／s）运动，求：
（1）在t=4 s时的位置；
（2）在t=4 s时运动的路程。
【答案】（1）在时刻t=4时该点的位置为：
（m）。
即在t=4s时该点距出发点m。
（2）因为v (t)=t2―4t+3=(t―1)(t―3)，所以区间[0，1]及[3，4]上的v（t）≥0，在区间[1，3]上，v（t）≤0，所以在t=4 s时的路程为：
。
即在t=4 s运动的路程为4 m。
类型三、求变力做功
例4．直径为20cm，高为80cn的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？
【解析】
设上端为活塞，且如图所示取定轴.
另设底面面积为，活塞压缩至位置时气体的体积为，压强为，由于（其中为常数），则
，，
其中
故所求的功为
【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。
举一反三：
【变式】
求证： 把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmdx = GMm
=．
类型四、定积分的综合应用
例5．已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为S.问和为何值时，S达到最大值？求出此最大值.
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出S。
【解析】依题意知，抛物线如图所示，求得它与 轴的交点横坐标为面积
因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组得，其判别式必等于零，因而有.
从而得到解得
当时，当时，
于是当时，取得极大值，即最大值.
此时，从而最大值为
【总结升华】这是一道综合了导数与定积分等概念的题目.利用定积分求出S的面积，再利用抛物线与直线相切的条件，确定和的关系，从而将求的极值化为一元函数极值问题.
举一反三：
【变式】已知抛物线，将以（0，0），（b，0），（b，h），（0，h）为顶点的矩形分成两部分，其面积之比为1：2，试求抛物线方程中的系数a
【答案】如图分两种情况讨论：
（1）如图一：，
，由已知，解得.
（2）如图二：
　　，
　　由题意知：，解得。
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 西安校级模拟）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则=（ ）
A.1 B. -1 C. D.
2．一辆汽车以速度的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（ ）
A. 　　　　　 B.1 　　　　 C.3 　　　　 10．27
3．（2018春 济宁校级期中）曲线与直线以及x轴所围成图形的面积为（ ）
A.2 B. C. D.
4．将边长1米的正方形薄片垂直放于液体密度为的液体中，使其上边缘与液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）
A． B． C． D．
5．由抛物线y=x2―x，直线x=―1，x=1及x轴围成的图形面积为（ ）
A． B．1 C． D．
6．在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推到b处，则在移动过程中，气体压力所做的功为（ ）焦耳。
A． B． C． D．
7．定积分等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8. 由曲线y=x2+1,x+y=3,及x轴,y轴所围成的区域的面积为: .
9．如左上图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置m处，则克服弹簧力所做的功为________。（弹簧的劲度系数为k）
10.如右图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k= .
11.列车以72 km／h的速度行驶，制动时列车获得加速度a=－0.4 m／s2，问列车应在进站前 ________ s,且离车站________m处开始制动？
三、解答题
12．（2018春 哈尔滨校级期末）求由抛物线与直线及所围成的面积。
13．一物体在变力作用下沿坐标平面内轴正方向由m处运动到m处，求力做的功.
14．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积。
（2）依题意，所求面积。
15．某电厂冷却塔的外形，是如图所示的双曲线的一部分，是绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A＇是双曲线的顶点，C、C＇是冷却塔上口直径的两个端点，B、B＇是下底直径的两个端点，已知AA＇=14 m，CC＇=18 m，BB＇=22 m，塔高20 m。
（1）建立坐标系并写出该双曲线方程；
（2）求冷却塔的容积。（精确到10 m3，塔壁厚度不计，π取3.14）
【答案与解析】
1. 【答案】C
【解析】由题意，曲线与直线所围成封闭图形的面积为 ，，，故答案为：。
2.【答案】D
【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：
3．【答案】A
【解析】根据题意画出图形
/
曲线，与直线，以及轴围成的曲边梯形的面积为=
4．【答案】A
【解析】 由物理学知识易得被积函数为，x∈[2，3]。
5．【答案】B
【解析】 。
6．【答案】A
【解析】 由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV=k，因为V=xS（x指活塞与底的距离），所以，所以作用在活塞上的力，所以气体压力所做的功为
。
7．【答案】A
【解析】本题由于方程过于复杂，因而可采用定积分的几何意义表示，如图
。
表示圆(x－1)2+y2=1与x=0，x=1，y=0围成的图形面积
。
表示y=x与x=0，x=1，y=0围成的图形面积。∴。
8. 【答案】
【解析】如图,S=。
9．【答案】
【解析】 在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正比，即。由变力做功公式得。
10. 【答案】1-.
【解析】 抛物线y=x-x2与x轴所围成图形面积S=,直线y=kx与抛物线y=x-x2的交点的横坐标为x=0,1-k,∴S上=,又S=2S上((k=1-.
11. 【答案】50，500
【解析】已知列车速度v0=72 km／h=20 m／s，列车制动时获得加速度a=－0.4 m／s2。设列车由开始制动到经过t s后的速度为v，则v=v0+at=20―0.4t。令v=0，
得t=50（s）。
设列车由开始制动到停止所走的路程为s，则
。
所以列车应在进站前50 s，离车站500 m处开始制动。
12．【解析】所围成的图形面积如图所示，
设所求图形面积为s,
=
=
13．【解析】由题意知力做的功为：
14．【解析】（1）设，则。
又已知，∴a=1，b=2。∴。
又方程有两个相等的实根，
∴判别式Δ=4―4c=0，即c=1。
故。
15．【解析】
（1）如答图9所示建立直角坐标系xOy，AA＇的中点为坐标原点O，
CC＇ 与BB＇平行于x轴。
设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，
又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，
所以有，
由题意知y2－y1=20， ③
由①②③得y1=－12，y2=8，。
故双曲线方程为。
（2）由双曲线方程得。
设冷却塔的容积为V m3，则
，
经计算得V≈4.25×103（m3）。