人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【基础】合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理
【学习目标】
1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。
2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.
【要点梳理】
要点一、推理的概念及分类
推理的概念：
根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
要点诠释：
（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．
（2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．
推理的分类：
合情推理：
根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．
合情推理的推理过程

要点诠释：
由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．
演绎推理：
从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．

要点二、归纳推理
1.定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
2．归纳推理的特点
（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；
（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；
（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．
要点诠释：
归纳推理的结论可真可假
归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.
3．运用归纳推理时的一般步骤
（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；
（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；
（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．
4．完全归纳法和不完全归纳法
（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．
（2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法．

要点三、类比推理
1．定义：
类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．
2．类比推理的几个特点
（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．
3．运用类比推理的一般步骤
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．
（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
（3）检验猜想.
要点诠释：
（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．
（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．
（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．
要点四、演绎推理
（1）定义：
从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）一般模式：
“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：
　①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.
要点诠释：
①如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理．
②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．
（3）用集合的观点理解“三段论”
若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.
要点诠释：
演绎推理的结论一定正确
演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。
要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系
（1）从推理模式看：
①归纳推理是由特殊到一般的推理．
②类比推理是由特殊到特殊的推理．
③演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）从推理的结论看：
①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
要点诠释：
注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．
【典型例题】
类型一、归纳推理
例1．用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.
【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即Sn=1+3+5+…+（2－1）.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.
【解析】
对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：
；
；
；
；
；
；
观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.
【总结升华】
①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.
②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.
③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.
④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.
举一反三：
【变式1】在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式.
【答案】，，… …，猜想：.
【变式2】已知正项数列{an}满足．求出a1，a2，a3，a4，并推测an．
【答案】令n=1，则，即，∴。又a1＞0，
∴a1=1。
令n=2，则，即，∴，
∴，即(a2+1)2=2。∵a2＞0，
∴。
令n=3，则，∴，即。
∴，即，∵a3＞0，
∴。
当n=4，则，∴，即，
∴，即。∵a4＞0，
∴。
∴，
，
，
。
归纳可得（n∈N*）。
例2．（2014春 湖北期末）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形。

（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式。
【思路点拨】（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，从而得出f（5）；
（2）将（1）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得。
【解析】（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）―f（1）=4=4×1，
f（3）―f（2）=8=8×2，
f（4）－f（3）=12=4×3，
f（5）－f（4）=16=4×4
∴f（5）=25+4×4=41。
（2）由上式规律得出f（n+1）－f（n）=4n。
∴f（2）－f（1）=4×1，
f（3）－f（2）=4×2，
f（4）－f（3）=4×3，
…
f（n―1）―f（n―2）=4·（n―2），
f（n）―f（n―1）=4·（n―1）
∴f（n）―f（1）=4[1+2+…+（n―2）+（n―1）]=2（n―1）·n，
∴f（n）=2n2－2n+1。
【总结升华】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题。
举一反三：
【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
……
【答案】1111111。根据数塔中的位数规律可得。
【变式2】平面内的１条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？
【答案】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．因为n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，…n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+=
【变式3】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.( )

A. B. C.n+1 D.
【答案】D
第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有
个点;
第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有个点;
第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有个点;
第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有个点;
……
由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个点,另外的点指向n个方向,每个方向n-1个点,共
有n(n-1)个点.
类型二：类比推理
例3. 已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
【思路点拨】从方法的类比入手。
【解析】原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高的
【总结升华】类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，本题的类比推理为：平面向空间类比，低维向高维类比。
举一反三：
【变式】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似的四面体性质.
【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体，且三个面与面所成的二面角分别是，，，类比直角三角形的性质猜想四面体的性质.
如图所示，在中，.于是把结论类比到四面体中，若三个侧面、、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，，，则.
例4． 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 的值为________。
【思路点拨】）本题明确要求应按课文推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法来解题，所以可依此类比实验。
【解析】 设，①
则，②
易证明。
①+②得，
得，即。
【总结升华】 本类型题解题的关键在于，在解题方法（或公式）中，获得使用方法（或公式）的启示，或推导方法（或公式）的手段，从而指导解决新问题。
举一反三：
【变式】通过计算可得下列等式：
22－12=2×1+1，
32－22=2×2+1
42－32=2×3+1，
……
(n+1)2－n2=2×n+1。
将以上各等式两边分别相加得：(n+1)2－12=2(1+2+…+n)+n，
即 。
（1）类比上述求法，请你求出12+22+32+…+n2的值。
（2）根据上述结论试求12+32+52+…+992的值。
【答案】（1）∵23－13=3×12+3×1+1，
33－23=3×22+3×2+1，
43－33=3×32+3×3+1，
……
(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。
将以上各式两边分别相加得
(n+1)3－13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n，
∴。
（2）12+32+52+…+992
=12+22+32+…+1002―(22+42+62+…+1002)
=12+22+32+…+1002―4(12+22+32+…+502)
=×100×101×201－4××50×51×101=166650。
类型三：演绎推理
例5. 用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直．
（2）若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若∠1和∠2不相等，则∠1和∠2不是对顶角．
（3）是有理数．
【解析】
（1）菱形的对角线互相垂直 （大前提）
正方形是菱形 （小前提）
正方形的对角线互相垂直 （结论）
（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）
∠1和∠2不相等 （小前提）
∠1和∠2不是对顶角 （结论）
（3）所有的循环小数都是有理数 （大前提）
是循环小数 （小前提）
是有理数 （结论）
【总结升华】
在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原理和特殊情况间的联系．我们早已能自发地使用三段论来进行推理，学习了三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．
举一反三：
【变式1】（2015春 泰安期末）将演绎推理“函数y=2x+1的图象是一条直线。”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是________。
【答案】将演绎推理“函数y=2x+1的图象是一条直线。”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是一次函数的图象是一直直线，
故答案为：一次函数的图象是一条直线
【变式2】把下列演绎推理写成三段论的形式．
在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．
【答案】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃；
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃；
结论：水会沸腾．
例6. 已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明：∥平面
【解析】连结
∵三角形两边中点的连线是三角形的中位线…………大前提
而、分别两边、的中点，……小前提
∴是的中位线.………………………………结论
∵三角形的中位线平行于第三边………………大前提
而是的中位线，………………小前提
∴∥.………………………………结论
∵平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行
………………大前提
在平面外，在平面内，且∥，……小前提
所以∥平面.………………………………………………结论
【总结升华】
①三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.
②演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.
③归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
举一反三：
【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：
证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提
所以菱形是正多边形.………………………………………………结论
（1）上面的推理形式正确吗？
（2）推理的结论正确吗？为什么？
【答案】上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为所有边长都相等，内角也相等的凸多边形才是正多边形），所以所得的结论是错误的.
【变式2】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.
已知：中，求证：.
【答案】延长到，得的外角，过点在内作∥
∵若两直线平行，则同位角相等、内错角相等，…………　　大前提
而∥，…………………………………………小前提
∴.………………………………结论
由平角是，…………………………………………大前提
而 ＝是一个平角，………………小前提
∴……………………………结论
【变式3】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
【答案】∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数， ………………大前提
由0＜x+2＜2得-2＜x＜0 ………………小前提
∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， …………………结论
又∵函数y=f(x+2)是偶函数， ………………小前提
∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 …………………结论
由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5). …………………结论
【巩固练习】
一、选择题
1.（2015春 宝鸡校级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．类比推理是一般到特殊的推理
B．演绎推理的结论一定是正确的
C．合情推理的结论一定是正确的
D．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的
2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于（ ）
A．28 B．32 C．33 D．27
3．观察图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn，按此规律推出Sn与n的关系式为（ ）．

A.n2 B.2n C.4n D.4n-4
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提正确的是（ ）．
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形
5．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和（ ）”
A．为定值 B．为变数
C．有时为定值，有时为变数 D．与正四面体无关的常数
6．“因指数函数y=ax是减函数（大前提），而y=3x是指数函数（小前提），所以y=3x是减函数（结论）．”上面推理的错误是 （ ）．
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
7．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．在ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，等于（ ）
A．2(AB2+AD2+AA12) B．3(AB2+AD2+AA12)
C．4(AB2+AD2+AA12) D．4(AB2+AD2)
二、填空题
8.观察下列等式：
，根据上述规律，第五个等式为.
9．在某报《自测健康状况》的报导中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中“　　　　”处.
年龄（岁）
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压（水银柱毫米）
110
115
120
125
130
135

145
舒张压（水银柱毫米）
70
73
75
78
80
83

88
10．（2014春 兴庆区校级月考）在下面演绎推理中：“∵|sin x|≤1，又m=sinα，∴|m|≤1”，大前提是________．
11．“如图所示，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，
求证：∠ACD＞∠BCD．①
证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC．②
所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD．③”
则在上面证明过程中错误的是________（填序号）
三、解答题
12．判断下列推理是否正确.
（1）如果不买彩票，那么就不能中奖.因为你买了彩票，所以你一定中奖；
（2）因为正方形的对角线互相平分且相等，所以，若一个四边形的对角线互相平分且相等，则四边形是正方形；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
13．观察以下各等式：
，
，
，
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明．
14．类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
15.（2014春 高要市校级月考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n个图的蜂巢总数．
（1）试给出f（4），f（5）的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式；
（3）证明：．
【答案与解析】
1．【答案】 D
【解析】因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合理推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的．故选D．
2．【答案】B
【解析】 ∵5―2=3，11―5=6，20―11=9，则x―20=12，47―x=15，所以x=32，故选B．
3．【答案】D
【解析】 仔细观察所给图形的变化规律，每条边上增加一个圆圈，正方形图案的圆圈总数就增加4个．
4．【答案】B
【解析】 由“三段论”的论断原理知B对．故选B．
5．【答案】A
【解析】 类比猜想A对，再取值验证．
6．【答案】A
【解析】 指数函数y=ax的单调性与0有关，若a＞1，则为增函数；若0＜a＜1，则为减函数，故选A．
7．【答案】C
【解析】 在ABCD中，等式AC2+BD2=2(AB2+AD2)，实际上是对角线的平方和问题，在平行六面体中，不妨设为长方体ABCD-A1B1C1D1，则其体对角线AC12=AB2+AD2+AA12，又此时AC1=BD1=CA1=DB1，所以只有C选项满足．
8. 【答案】.
【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为；；，右边的底数依次分别为（注意：这里），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为.
9．【答案】140,85.
【解析】观察上下两行的规律可得．
10．【答案】|sin x|≤1
【解析】用三段论形式推导一个结论成立，
大前提应该是结论成立的依据，
∵|sin x|≤1，又m=sinα，∴|m|≤1，
∴大前提一定是∵|sin x|≤1，
故答案为：|sin x|≤1．
11．【答案】③
【解析】 由AD＞BD，得到∠ACD＞∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD与BD不在同一三角形中．故③错误．
12．【解析】由有关定义定理可知：（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确.
13．【解析】反映一般规律的等式是（表述形式不唯一）：
．
证明如下：




14．【解析】如答图12（1）所示，在直角三角形ABC中，∠B=90°，设a，b，c分别表示3条边的长度，则勾股定理，得b2=a2+c2．

类似地，在四面体D—EFG中，∠EDG=∠EDF=∠FDG=90°，设S1、S2、S3和S分别为△GDF、△GDE、△EDF和△EFG的面积[如答图12（2）所示]，相应答图12（1）中直角三角形的两条直角这a、c和斜边b，答图12（2）中的四面体有3个“直角面”S1、S2、S3和一个“斜面”S．于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32成立．
15．【解析】（1）解：f（4）=37，f（5）=61．
（2）解：由于f（2）―f（1）=7―1=6，
f（3）―f（2）=19―7=2×6，
f（4）―f（3）=37―19=3×6，
f（5）―f（4）=61―37=4×6，
因此，有f（n+1）―f（n）=6n，
所以f（n）=[f（n）―f（n―1）]+[f（n―1）―f（n―2）]+…+[f（2）―f（1）]+f（1）
=6[（n―1）+（n―2）+…+2+1]+1=3n2―3n+1．
又f（1）=1=3×12－3×1+1，所以f（n）=3n2－3n+1．
（3）证明：当k≥2时，
所以
．