1.3.1 二项式定理
一、教学目标
1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用
2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
二、教学重点、难点
重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式
难点：用计数原理知识探索发现二项式定理。
三、教学过程
（一）问题引入
问题1 的展开式有多少项？
这个是最简单的多项式乘法，学生能够快速的说出答案。
问题2 展开式中会有多少项？你能写出它的展开式吗？
这是个稍微难点的问题，难在2019次数太高，直接分析很难进行下去，这时我们不妨以退为进。
设计意图：由易到难抛出问题，再由难到易解决问题，激发学生的求知欲。
下面看几个次数比较低的情况
这是完全平方式
学生处理基本上是按照先平方，再去乘以
四次方的处理，学生可以先算出3次方的，再乘以
……
2019次方的也按照上面的算法来算的话，就比较困难了。顺势让学生思考如何用刚学过的计数原理知识来推导这些公式？
带着这个问题，进入下面的引例。
引例：这里有3个盒子，每个盒子里都放有一个a球和一个b球，现从每个盒子里各取出一个球，你能取出什么样的球？想要得到2个a球、1个b球，你有多少种取法？
利用课件直观展示取球的各种情况，并对这些情况加以分类，用组合知识解释每一类的取球方法数。
设计意图：在学生推导的展开式之前，先建立一种直观、形象的思维模式，为下一步的类比打好基础、做好铺垫。
（二）活动探究
探究1：类比取球过程，推导的展开式
它的展开过程是从3个括号里各取一个字母，类比从3个盒子里各取一个小球。
若每个括号都不取，只有一种取法得到，即种
若只有一个括号取，共有种取法得到
若只有两个括号取，共有种取法得到
若每个括号都取，共有种取法得到
引导学生发现：原始展开式中确有同类项存在，且确实可省去“合并”
因此
探究2：仿照上述过程,推导的展开式。
在有了展开式的推导，学生不难得出展开后会有5项，分别为，对应系数分别为，所以
探究3：归纳猜想的展开式
我们已经推导了和的展开式，再把和的展开式也写成这种形式，让学生观察这4个式子，回归刚才遗留下的的展开问题，继续观察这4个特殊的式子，让学生猜想更一般的
（三）概念形成
让学生自己动手写出
写的同时，让学生思考该公式展现了哪些规律？
设计意图：通过3个探究，让学生一步步去发现二项式定理的内容，让学生体验知识的形成、发展和演变过程。
这里研究的是两项的展开式，所以等号右边的式子叫做的二项展开式，该公式所表示的规律叫做二项式定理。
问题 该公式表示了哪些规律？
公式规律：
项数：共有项
指数规律：
各项的次数都等于二项式的系数（关于与的齐次多项式）
字母按降幂排列，次数由递减到0；字母按升幂排列，次数由0递增到
我们说字母按降幂，字母按升幂。实际上这是一种约定。因为我们展开式从左到右依次按照取出b球个数0个，1个，2个……n个进行分类的，如果按照取出a球的个数0个，1个，2个……n个进行分类的话，展开式的形式将会出现a升幂，b降幂，即
这样，展开式的最后结果是没问题的，但是每一项的位置将发生改变，比如是展开式的第二项，在按照a升幂，b降幂的展开式的话就不再是第二项了，所以为统一要求，我们约定a降幂，b升幂。
二项式展开式的通项：，
问题：为什么不用作为展开式的通项？
有了通项之后，我们便可以处理任何一个式子二项展开之后的任何一项了。结合题目，帮助学生理解项，系数，二项式系数的概念。
二项式系数：依次为。这里（）称为二项式系数。
（四）巩固练习
例1 （1）求的展开式；
（2）求的展开式。
方法一：直接展开
方法二：先合并化简，再展开
建议用第二种方法简单些。
思考：展开式中的第4项的系数是多少？展开式中的第4项二项式系数是多少？
设计意图:帮助学生进一步区分系数与二项式系数是两个不同的概念。
注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与无关；系数与有关。
例2 已知在的展开式中，第9项为常数项，求：
n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数。
找学生爬黑板，学生做完以后，教师总结这类题目的一般步骤。
（五）归纳总结
一、知识层面
1.掌握一个定理（二项式定理）
2.区分两个概念（二项式系数与系数）
3.做题三个步骤（通项→求n→求特征问题）
二、思想方法层面
1.转换、类比的思想。
2.从特殊到一般的数学思维方式。
（六）作业布置：
1、巩固型作业： 课本28页 练习A组 2、3、4
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数有何性质。
课件16张PPT。当堂检测
1．（1）展开.
(2)化简：
2.若展开式中前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中含x的一次项；
(2)展开式中的所有有理项．
参考答案
1.解 (1)
(2)原式
2.解 (1)由已知可得，即，
解得 (舍去)．
所以的一次项为
(2)
所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.
