《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能
（1）在熟练掌握多项式乘法的基础上，能利用组合原理证明二项式定理；
（2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用。
2、过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与知识延伸的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的联系，然后证明，再应用的思想意识。
3、情感态度与价值观：
培养学生探究意识，合作精神，体验二项式定理的创建到完善的历程，体会数学语言的简洁和严谨，感受中国辉煌的数学史。
二、教学重点、难点
重点：探究并归纳用组合的知识分析、的展开式的形成过程，并依次方法得到二项式定理
难点：展开式中项的类型的总结和项的系数的确定
三、教学方法和教具：
为了突出重点，突破难点，采取了转化的思想，将二项式展开过程转化到熟悉的从袋中取球问题；启发引导解决问题；并采取分组合作探究的形式分析解决问题，采用多媒体教学手段，形象演示取球过程。
四、教学过程：
创设情景 引入课题
1、在课前任务单的基础上继续设问，、、能用多项式乘法法则展开吗？回答是肯定的，只不过随着次数的增大，运算量也在增大，激发学生思考，有没有一个直接展开，便于应用的方法？从而引出二项式定理有这样的功能。
【设计意图】让学生体会多项式相乘的法则有自身的局限性，仅仅掌握这一法则是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身的需要。这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫。
（二）体验感知 探究归纳
（1）观察下面展开式
把看作放有标着相应字母小球的小盒，从每个括号内取一个字母相当于从每个小盒内取一个小球。思考：每个小盒内取一个小球，并为一组，有哪些类型？从组合的角度分析，取小球的类型就是展开式中项的类型，每一类的取法种数就是相应项的系数。得到
同样的思路，用组合的知识，先分析项的规律，再分析项的系数，得到
这样用组合的知识，我们得到了二项式的直接展开方法，把这种方法推广到一般。
【设计意图】有特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察。只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论。也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析。
（三）知识建构 形成定理
利用组合的知识得到了快速展开的方法，用同样的理论分析的展开：
1、项的结构特点
问题： 展开式中有哪些项？它们是如何得到的？
根据特殊情况的分析，学生叙述展开式中项的规律：，并说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式中的项。
【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，用组合的知识解释项的构成也基于多项式相乘的法则，让学生的思维建立旧知识与新知识的联系，为系数的确定做好铺垫。
2、项的系数特点
问题： 展开式各项的系数是多少？
各项的形成就是一个组合问题，而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数。学生根据组合的知识回答系数规律：
【设计意图】本节课的难点就是利用多项式相乘的法则和组合知识对展开式中各项进行分析，该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法。
3、二项式定理
问题： 请写出的展开式
说明：（1）此等式就是二项式定理；（2）右边的展开式叫二项展开式；（3）高中阶段只研究的情况；
（4）等式左边的与用加号连接。
【设计意图】明确二项式定理的内容以及二项展开式的定义。让学生了解二项式定理的知识很广很深，激发学生的好奇心，感兴趣的同学可以课下延伸知识。
二项展开式的特征：
（1）展开式共 项；
（2）每一项的次数都是 ；
字母的次数由 到 ，次数按 排列；字母的次数由 到 ，次数按 排列。
（3）叫做
（4）叫做二项展开式的 ，它也是展开式的第
（5）定理中的、可以用任意的数、字母、代数式代换。
【设计意图】训练学生提炼关键知识的能力。多方位多角度思考知识，训练学生的发散思维能力。
（四）巩固新知 提升能力
1、小试牛刀 展开
【设计意图】通过模仿性的基础练习，照顾不同层次的学生，让不同层次的学生都有体会成功的机会，使学生始终保持高昂的学习热情。应用所学知识解决问题，检测学习效果，提升学生的数学应用意识
2、典型例题和巩固练习
例1:已知二项式
（1）求它的通项（2）求它的第四项（3）求它的第四项的二项式系数（4）求它的第四项的系数
例2: 求展开式中含的项,并说明它是展开式的第几项?
思考：展开式中有常数项吗？如果有请求出，如果没有请说明理由。
巩固练习：1、若的展开式有项，则 ；
2、的展开式中第项的二项式系数是 ；系数是 ；
3、的展开式中第项的二项式系数是 ；系数是 ；
4、求的展开式中含项。
【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力，培养学生分析问题解决问题的能力。设计题目考察学生掌握知识的情况，各个题目设计的比较有梯度，采取小台阶大梯度的训练模式，符合学生的认知水平。
（五）回顾反思 归纳总结
知识方面：
思想方法：转化的思想，代换的思想，从特殊到一般的思想，类比思想。
【设计意图】小结通过思维导图的形式展现知识点，便于学生归纳总结所学知识，帮助学生形成良好的记忆方法，为学生理解应用知识发挥作用，还可以锻炼学生的概括能力。加深学生对本节课的认识，掌握基本的思想方法。
（六）课下作业 思维延伸
【设计意图】多层次多角度的作业布置，满足不同程度学生的需求，通过基础作业使学生深入理解知识，培养学生应用知识的能力。拓展作业使学生走出课本，扩大知识的广度和深度，激发学生的学习热情，使学生在了解知识的发展中培养自己的创新意识，形成自己的思维方式。
（七）板书设计
课件14张PPT。课前任务单11.3.1 二项式定理人教B版选修2-323创设情境形成概念小试一把例题强化归纳总结教学过程解析4推导公式 思考1：
从每个袋子里取一个球，
作为一组，有哪些类型？以 被取出的个数计数思考2：
每种类型有多少种取法？以 被取出的个数计数创设情境形成概念小试一把例题强化归纳总结教学过程解析5推导公式 项的规律系数的大小创设情境形成概念小试一把例题强化归纳总结教学过程6推导公式 用组合的知识，展开说明：（1）此等式就是二项式定理；（2）展开式叫二项展开式；（3）高中阶段只研究 的情况（4）等式左边的 与 用 连接。形成概念小试一把例题强化归纳总结创设情境二项式定理二项展开式的特征：???升幂??降幂??二项式系数通项??教学过程7推导公式 (5)定理中 可以用任意数、字母、代数式代换创设情境形成概念小试一把例题强化归纳总结教学过程8推导公式小试牛刀形成概念探究公式例题强化归纳总结创设情境例1 已知二项式
?
（1）求它的通项
（2）求它的第四项
（3）求它的第四项的二项式系数
（4）求它的第四项的系数教学过程推导公式9形成概念探究公式例题强化归纳总结创设情境解：通项为 ?写出通项公式依题意，有 ?列等式，求r教学过程10？推导公式形成概念探究公式巩固练习归纳总结创设情境教学过程11推导公式巩固练习： 1、若 的展开式有 项，则 ； 2、 的展开式中第四项的二项式系数是 ，系数是 ； 3、 的展开式中第四项的二项式系数是 ，系数是 ； 4、 的展开式中含 的项。 形成概念探究公式例题强化归纳总结创设情境1.你今天学到的知识点?教学过程12推导公式2.你今天学到的思想方法?形成概念探究公式例题强化归纳总结创设情境希望今天的学习
能让你有所收获！教学过程13推导公式没有大胆的猜想，
就不能有伟大的发现和发明。
------牛顿 知识是前人提供的，个人拿来作基础；
能力是个人的悟性，要发挥自己的能力，
创造新知识。实践出真知，人人做到这一
点；社会才会进步。14牛
顿《二项式定理》课后检测
1、若的展开式有项，则 ；
2、的展开式中第项的二项式系数是 ；系数是 ；
3、的展开式中的常数项是 （用数字回答）；
4、求展开式中含的项；
5、展开
