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《11.2.1三角形的内角》导学案
课题 三角形的内角 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、了解三角形的内角； 2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度； 3、学会解决与求角有关的实际问题；
重点难点 重点： 三角形内角和定理以及定理的应用.难点：三角形内角和定理的推理过程
教学过程
知识链接 1、什么是三角形的内角？ 2、如图的三角形具有几个内角、分别是？
合作探究 知识点1、三角形内角和的性质 三角形三个内角相加的度数即为三角形的内角和。如上图中三角形的内角和即为∠A＋∠B＋∠C的度数。我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么证明这个结论呢? 操作探究1.实验：用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路：同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，你有哪些方法？你发现了什么？⒉证明：试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的？如图⑴ 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：延长BC到D,过点C作CE∥BC . ∵CE∥BC (已知) ∴∠2＝_____（ ）∠1＝_______（ ） 又∵∠1＋∠2＋____＝180°（ ） ∴∠A＋∠B＋____＝180°（ ）●归纳三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________你还有其他办法吗？和同学们交流，展示你的成果！ 例1:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度? 知识点2、直角三角形内角和在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得,∠A +∠B+ ∠C=_____即∠A +∠B+ 90°=180°， 所以∠A +∠B=_____. 也就是说，直角三角形的两个锐角 .三角形用什么符号表示的？那么直角三角形又用什么符号表示呢？ 例2：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？ 想一想：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由． 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是_______．
自主尝试 1．若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝______________；2．若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝______________，∠B＝______________，∠C＝______________．3．如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝______________ .4.如图，在△ABC中，∠BAC=40 ° ，∠B=75 ° ，AD是△ ABC的角平分线，求∠ADB的度数。5.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．6.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B＝___________．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A＝___________．8.在一个三角形中，有一个角等于另外两个角的和，则这个三角形一定是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形9.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．
当堂检测 1.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是( )A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定 1题 2题 3题2.如图，∠1＝___________，∠2＝___________．3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为___________．4.如图，在△ABC中，边BC不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是______________．5.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB的度数． 6.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C. (1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？ (2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
小结反思 采用让学生归纳、补充，然后教师补充的方式进行。1.本节课我们学了什么知识？2.你有什么收获？
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课题 三角形的内角 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、了解三角形的内角； 2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度； 3、学会解决与求角有关的实际问题；
重点难点 重点： 三角形内角和定理以及定理的应用.难点：三角形内角和定理的推理过程
教学过程
知识链接 1、什么是三角形的内角？ 2、如图的三角形具有几个内角、分别是？ 这三个内角具有什么关系呢？本节课我们一起来探索这个奥秘吧！——三角形的内角和
合作探究 知识点1、三角形内角和的性质 三角形三个内角相加的度数即为三角形的内角和。如上图中三角形的内角和即为∠A＋∠B＋∠C的度数。我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么证明这个结论呢? 操作探究1.实验：用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路：同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，你有哪些方法？你发现了什么？⒉证明：试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的？如图⑴ 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：延长BC到D,过点C作CE∥BC . ∵CE∥BC (已知) ∴∠2＝_____（ ）∠1＝_______（ ） 又∵∠1＋∠2＋____＝180°（ ） ∴∠A＋∠B＋____＝180°（ ）●归纳三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°你还有其他办法吗？和同学们交流，展示你的成果！教师引导学生分析，最后点评学生的成果，在PPT展示其余两种证法！总结：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？ 添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角。如下图：例1:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度? 分析:虽然本题已给图形,但我们必须从画图入手, 记住画图的过程就是理解题目的开始,C岛在A岛的北偏东50°方向,就是以A岛为中心画方向线AC,B岛在A 岛的北偏东80°,也是以岛为中心画方向线AB,C岛在B岛的北偏西40°方向,这就是以B 岛为中心画出方向线BC、AC与BC交于C. 由于A、B、C三点构成△ABC. 所求∠ACB是△ABC的一个内角,这样就要懂得∠CAB和∠ABC的度数. 根据方向线不难得到∠CAB=80°-50°=30°, 由BF∥AE得∠FBA=100°,即∠CBA=60°, 解：∠CAB= ∠BAD - ∠CAD =80°-50°= 30° ∵AD∥BE，得： ∠BAD +∠BADE=180° ∴ ∠ABE=180°- ∠BAD = 180°- 80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC= 100°- 40°=60° 在△ABC中 ，∠ACB= 180°- ∠ABC -∠CAB= 90° 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°知识点2、直角三角形内角和在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得, ∠A +∠B+ ∠C=180°即∠A +∠B+ 90°=180°， 所以∠A +∠B= 90°. 也就是说，直角三角形的两个锐角互余.三角形用什么符号表示的？那么直角三角形又用什么符号表示呢？ 三角形ABC表示为：⊿ABC直角三角形可以用符号： Rt⊿,如图直角三角形ABC表示为：Rt⊿ABC 例2：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△ACE中，∠DBE=90°-∠BED ∵ ∠AEC=∠BED∴ ∠CAE ＝∠DBE 想一想：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由．已知：（如图）在△ABC中，∠A+∠B = 90°. 求证：△ABC是直角三角形． 证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C =?180°，（三角形内角和定理） ∵∠A+∠B = 90°，（已知） ∴∠C = 90°， ∴△ABC是直角三角形．(直角三角形定义）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
自主尝试 1．若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝______________；答案：6502．若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝______________，∠B＝______________，∠C＝______________．答案：300,600,9003．如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝______________ .答案：28004.如图，在△ABC中，∠BAC=40 ° ，∠B=75 ° ，AD是△ ABC的角平分线，求∠ADB的度数。答案：∠ADB=8505.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．答案：∠A＝100°6.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B＝___________．答案：4207.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A＝___________．答案：7508.在一个三角形中，有一个角等于另外两个角的和，则这个三角形一定是( )BA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形9.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )BA．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数． 解：∵∠B＝36°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－36°－76°＝68°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝34°. ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°. ∴∠ADF＝180°－110°＝70°， ∴∠DAF＝90°－70°＝20°.
当堂检测 1.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是( )BA．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定 1题 2题 3题2.如图，∠1＝___________，∠2＝___________．答案：400,5003.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为___________．答案：36004.如图，在△ABC中，边BC不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是______________．答案：∠α＝∠β＋∠γ 5.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB的度数． 解：∵∠BAS=60°，∠CAS=20°，∴∠BAC=80°， ∵C处在B处的正东方向， ∴∠NBC=90°， ∵NB∥AS， ∴∠NBA=60°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ACB=180°-80°-30°=70°． 6.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C. (1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？ (2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．解：(1)60° (2)不改变，∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－30°＝150°，∵∠BXC＝90°，∴∠XBC＋∠XCB＝90°，∴∠ABX＋∠ACX＝60°，∴∠ABX＋∠ACX的大小无变化
小结反思 采用让学生归纳、补充，然后教师补充的方式进行。1.本节课我们学了什么知识？2.你有什么收获？
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(共30张PPT)
11.2.1三角形的内角
人教版 八年级上
新知导入
三角形两边的夹角叫做三角形的内角
1、什么是三角形的内角？
2、如图的三角形具有几个内角、分别是？
3个，∠A、 ∠B、 ∠C
三个内角具有什么关系呢？
新知讲解
1、三角形内角和的性质
三角形三个内角相加的度数即为三角形的内角和。
A
B
C
∠A＋∠B＋∠C
我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么证明这个结论呢?
新知讲解
三角形的三个内角和是多少?
把三个角拼在一起试试看？
你有什么办法可以验证呢?
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
180°
新知讲解
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D，
过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法一
新知讲解
F
2
1
E
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
过A作EF∥BC，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法二
新知讲解
C
B
E
A
三角形的内角和等于1800.
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法三
新知讲解
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
思路总结
新知讲解
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
巩固练习
1．若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝ ；
2．若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ．
3．如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ .
280°
90°
60°
30°
65°
例题讲解
例1：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
解：∠CAB= ∠BAD - ∠CAD =80°-50°= 30°
∵AD∥BE，得： ∠BAD +∠BADE=180°
∴ ∠ABE=180°- ∠BAD = 180°- 80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC= 100°- 40°=60°
在△ABC中 ，∠ACB= 180°- ∠ABC -∠CAB= 90°
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°
巩固练习
1.如图，在△ABC中，∠BAC=40 ° ，∠B=75 ° ，AD是△ ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
C
D
解：
∵AD是△ ABC的角平分线,
∠BAC=40 °
1
(已知)
(角平分线定义)
在△ ABD中
∵ ∠1+ ∠B+ ∠ADB=180°
(三角形内角和定理)
∴ ∠ADB=180°－∠1－∠B
=180°-75°-20°
=85°
巩固练习
2.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．
解：在△BOC中，∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°
所以∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC＝180°－140°＝40°.又因为OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OCB＋∠OCB)＝2×40°＝80°.
∴∠A＝100°
新知讲解
A
B
C
在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得,
∠A +∠B+ ∠C=180°
即
∠A +∠B+ 90°=180°，
所以
∠A +∠B= 90°.
也就是说，
直角三角形的两个锐角互余.
2、直角三角形内角和
新知讲解
三角形用什么符号表示的？那么直
角三角形又用什么符号表示呢？
三角形ABC表示为：
直角三角形可以用符号：
如图直角三角形ABC表示为：
△ABC
Rt△
Rt△ABC
例题讲解
例2：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？
∠CAE ＝∠DBE
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△ACE中，∠DBE=90°-∠BED
∵ ∠AEC=∠BED
∴ ∠CAE ＝∠DBE
新知讲解
想一想：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
已知：（如图）在△ABC中，∠A+∠B = 90°.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C =?180°，（三角形内角和定理）
∵?∠A+∠B = 90°，（已知）
∴?∠C = 90°，
∴?△ABC是直角三角形．(直角三角形定义）
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．
巩固练习
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B＝ ．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A＝___ ．
3.在一个三角形中，有一个角等于另外两个角的和，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
42°
75°
B
巩固练习
4.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
巩固练习
5.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．
拓展提高
1.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是( )
A．∠ADC>∠AEB
B．∠ADC＝∠AEB
C．∠ADC<∠AEB
D．不确定
B
拓展提高
2.如图，∠1＝ ，∠2＝ ．
3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为 ．
40°
50°
360°
拓展提高
4.如图，在△ABC中，边BC不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是 ．
∠α＝∠β＋∠γ
拓展提高
5.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB的度数．
解：∵∠BAS=60°，∠CAS=20°，
∴∠BAC=80°，
∵C处在B处的正东方向，
∴∠NBC=90°，
∵NB∥AS，
∴∠NBA=60°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ACB=180°-80°-30°=70°．
N
S
拓展提高
6.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
拓展提高
解：(1)60°
(2)不改变，∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－30°＝150°，∵∠BXC＝90°，∴∠XBC＋∠XCB＝90°，∴∠ABX＋∠ACX＝60°，∴∠ABX＋∠ACX的大小无变化
课堂总结
1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180°
2、由三角形内角和等于180°，可得出
（1）直角三角形两锐角互余；
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
作业布置
教材14页练习1、2题
谢谢
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