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《11.2.2三角形的外角》导学案
课题 三角形的外角 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.了解三角形的外角 2.探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及三角形外角的性质3.通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。学会运用简单的说理来计算三角形相关的角
重点难点 重点：三角形的外角性质难点：能准确地表达推理的过程和方法
教学过程
知识链接 1.下图中三角形的内角:_____、_____、_____。三角形内角和为:_________. 2.把三角形ABC的一边BC延长,得到______
合作探究 知识点1、三角形的外角：定义：三角形的一边与另一边的______延长线组成的角称为三角形的外角画图并思考:画一个△ABC，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试．同时，想一想△ABC的外角一共有几个？ 知识点2、三角形外角的性质:如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。 ① ② 试一试 计算：如图①已知∠A＝60°∠B＝50°则∠1＝___°∠2＝___°如图②已知∠A＝30°∠B＝40°则∠1＝___°∠2＝___° 根据以上结果，你能找到三角形外角与内角之间的关系吗？请大胆写出来！并证明。 一般地，有下面的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.由图，易知：∠ACD_____∠A ， ∠ACD _____∠B. 也就是说：三角形的一个外角大于与它不相邻的_________________ .例、如图所示，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
自主尝试 1.判断下列图中∠１是否为△ＡＢＣ的外角？2.如图(1)∠ ＢＥＣ是哪个三角形的外角？(2)∠ ＥＦＤ是哪个三角形的外角？3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能4．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于（ ）A．40° B．50° C．60° D．70° 4题 5题 6题5．如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°6．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠ECD＝70°，∠E的大小是________．7.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是( )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠18.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列:_____________7题 8题
当堂检测 1.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为( )A．130° B．230° C．180° D．310°1题 2题 3题2.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝( )A.(90°－∠A) B．90°－∠A C.(180°－∠A) D．180°－∠A 3.如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠B＝_________．4.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝∠C，∠4＝∠C，求∠4的度数． 5.如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的关系． 解:∠1＋∠2＝2∠C，理由如下：连接CC′，则由折叠知： 6.如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数. 7.已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A;(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
小结反思 通过本节课学习你有什么收获?你掌握了三角形外角的定义，三角形外角的性质？．
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课题 三角形的外角 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1.了解三角形的外角 2.探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及三角形外角的性质3.通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。学会运用简单的说理来计算三角形相关的角
重点难点 重点：三角形的外角性质难点：能准确地表达推理的过程和方法
教学过程
知识链接 1.下图中三角形的内角:_____、_____、_____。三角形内角和为:_________. 2.把三角形ABC的一边BC延长,得到______
合作探究 知识点1、三角形的外角：定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角称为三角形的外角画图并思考:画一个△ABC，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试．同时，想一想△ABC的外角一共有几个？●归纳：每一个三角形都有６个外角．每一个顶点处的外角都有２个,这两个外角是对顶角．（如图所示）知识点2、三角形外角的性质:如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。 ① ② 试一试 计算：如图①已知∠A＝60°∠B＝50°则∠1＝___°∠2＝___°如图②已知∠A＝30°∠B＝40°则∠1＝___°∠2＝___° 根据以上结果，你能找到三角形外角与内角之间的关系吗？请大胆写出来！●结论：三角形外角性质1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 如何证明？∵∠ACD+∠ACB=180°∴∠ACD =180 ° －∠ACB 又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB∴ ∠A+ ∠B= ∠ACD 教师引导学生分析，可联想到上节课学习过的添辅助线的办法进行，证明方法并不唯一。由图，易知：∠ACD_____∠A ， ∠ACD _____∠B.●结论：三角形外角性质2： 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 例、如图所示，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？引导学生分析，让学生理解证明方法的多样性！ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠BAE=∠2＋∠3，∠CBF=∠1＋∠3，∠ACD=∠1＋∠2 ∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1+∠2+∠3） ∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°即：三角形的外角和等于360°
自主尝试 1.判断下列图中∠１是否为△ＡＢＣ的外角？（1）×（2）×（3）√（4）×2.如图(1)∠ ＢＥＣ是哪个三角形的外角？答案：△ＡＥＣ(2)∠ ＥＦＤ是哪个三角形的外角？答案：△ＢＥＦ和△ＤＣＦ3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）BA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能4．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于（ ）BA．40° B．50° C．60° D．70° 4题 5题 6题5．如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为（ ）CA．60° B．65° C．70° D．75°6．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠ECD＝70°，∠E的大小是________．答案：4007.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是( )BA．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠18.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列:_____________答案：∠1>∠2>∠37题 8题
当堂检测 1.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为( )BA．130° B．230° C．180° D．310°1题 2题 3题2.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝( )CA.(90°－∠A) B．90°－∠A C.(180°－∠A) D．180°－∠A 3.如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠B＝_________．答案：18004.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝∠C，∠4＝∠C，求∠4的度数． 解：设∠1＝∠2＝x， 在△ABC中，x＋2x＋2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠4＝2x＝2×36°＝72° 5.如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的关系． 解:∠1＋∠2＝2∠C，理由如下：连接CC′，则由折叠知： ∠ECF＝∠EC′F，∴∠1＝∠EC′C＋∠ECC′， ∠2＝∠FCC′＋∠FC′C， ∠1＋∠2＝2∠C 6.如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数. ∵∠A+∠B=∠1，∠C+∠D=∠2，∠E+∠F=∠3 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E+∠F=∠1+∠2+∠3 ∵∠1+∠2+∠3=360° ∴∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E+∠F= 360° 7.已知:如图所示.求证:(1)∠BDC>∠A;(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质). 证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和). ∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
小结反思 通过本节课学习你有什么收获?你掌握了三角形外角的定义，三角形外角的性质？．
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(共29张PPT)
11.2.2三角形的外角
人教版 八年级上
新知导入
1.右图中三角形的内角:_____、_____、_____。三角形内角和为:_________.
2.把三角形ABC的一边BC延长,得到______。
D
∠ACD
∠A
∠B
∠C
1800
新知讲解
D
1、三角形的外角：
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．
新知讲解
画图并思考:画一个△ABC，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试．同时，想一想△ABC的外角一共有几个？
归纳：
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点处的外角都有２个,这两个外角是对顶角．
巩固练习
(1)
(2)
(3)
1.判断下列图中∠１是否为△ＡＢＣ的外角？
(4)
×
×
×
√
巩固练习
2.如图 (1)∠ ＢＥＣ是哪个三角形的外角？
△ＡＥＣ
△ＢＥＦ和△ＤＣＦ
(2)∠ ＥＦＤ是哪个三角形的外角？
新知讲解
已知∠A＝60°∠B＝50°则∠1＝___°∠2＝___°
已知∠A＝30°∠B＝40°则∠1＝___°∠2＝___°
根据以上结果，你能找到三角形外角与内角之间的关系吗？请大胆写出来！
70
110
110
70
2、三角形外角的性质:
新知讲解
由上边的计算结果，你发现了什么？
你能得到什么结论？
三角形外角性质1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
如何证明？
新知讲解
D
因为∠ACD+ ∠ACB=180°
又因为∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
解：
所以∠ACD =180 ° －∠ACB
所以∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB
（邻补角的定义）
（三角形内角和180 ° ）
(等量代换)
2．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于（ ）
A．40° B．50°
C．60° D．70°
巩固练习
1．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．都有可能
B
B
巩固练习
3．如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
4．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠ECD＝70°，∠E的大小是________．
40°
新知讲解
三角形外角性质2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
∠ACD ∠B，
D
想一想：下面两组角的大小是什么样？
∠ACD ∠A
＞
＞
巩固练习
1.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
B
2.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列
∠1
∠2
∠3
＞
＞
新知讲解
三角形内角和外角的关系：
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
例题讲解
例、如图所示，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：
∠BAE=∠2＋∠3
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1+∠2+∠3）
∠CBF=∠1＋∠3
∠ACD=∠1＋∠2
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°
三角形的外角和等于360°
例题讲解
∠2＋ ∠ABC=180°
∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
例题讲解
解三：过A作AD平行于BC
∴ ∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
A
∴ ∠2＝ ∠BAD
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°
拓展提高
1.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为( )
A．130° B．230° C．180° D．310°
B
2.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝( )
A. (90°－∠A)
B．90°－∠A
C. (180°－∠A)
D．180°－∠A
C
拓展提高
3.如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠B＝ ．
180°
拓展提高
4.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝∠C，∠4＝∠C，求∠4的度数．
解：设∠1＝∠2＝x，
在△ABC中，x＋2x＋2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠4＝2x＝2×36°＝72°
拓展提高
5.如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的关系．
解:∠1＋∠2＝2∠C，理由如下：连接CC′，则由折叠知：
∠ECF＝∠EC′F，
∴∠1＝∠EC′C＋∠ECC′，
∠2＝∠FCC′＋∠FC′C，
∠1＋∠2＝2∠C
拓展提高
A
D
E
C
F
B
N
P
M
6.如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
∵∠A+∠B=∠1，∠C+∠D=∠2，∠E+∠F=∠3
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F= 360°
拓展提高
7.已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
拓展提高
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
拓展提高
课堂总结
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
(二)三角形的外角与内角的关系：
(三) 三角形的外角和为360°。
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角.
作业布置
教材17页练习10、11题
谢谢
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