2. 2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
〖教学目标〗
1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
〖教学重难点〗
教学重点 用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点 能应用相关知识解决简单的实际问题。
〖教学过程〗
一、复习回顾
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
二、创设情境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。
三、 新知探究
众数、中位数、平均数
众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
思考探究：
分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么
问题？为什么会这样呢？
你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。
（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。
练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征 来表示国家对每一个项目投资的平均金额？
解析：平均数。
标准差、方差
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察图2.2－7）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
思考探究：
1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
（2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据
都等于样本平均数。
方差
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
四、例题精析
例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
[分析]采用求标准差的方法
解：
所以甲水稻的产量比较稳定。
点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。
变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8
【答案】B
【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为
90+=92；方差为2.8，故选B。
例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是 .
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .
点评：在直方图中估计中位数、平均数。
变式训练：
某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值=
五、反馈测评
1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩
6
7
8
9
10
人数分布
1
2
4
6
7
则选手的平均成绩是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3.．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为
4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
六、课堂小结
1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
〖板书设计〗
〖书面作业〗
课本 6 7
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
课前预习学案
一、预习目标：
通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：
1、知识回顾：
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
2、众数、中位数、平均数的概念
众 数: ____________________________________________________________________
中位数:___________________________________________________________________
平均数:____________________________________________________________________
3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：
众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________
中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.
4.标准差、方差
标准差 s=_________________________________________________________________
方 差s2=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
二、学习内容
1.众数、中位数、平均数
思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？
思考2： 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？
2. 标准差、方差
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
3、〖典型例题〗
例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是 .
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .
例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
三、反思总结
1、 在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?
四、当堂检测
在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩
6
7
8
9
10
人数分布
1
2
4
6
7
则选手的平均成绩是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值=
4．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为
5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
课后练习与提高
1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得
所以有，故选D.
2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万
3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表：
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析
§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习目标
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特 征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
重点难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
学法指导
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
知识链接
用样本的频率分布去估计总体的分布，当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
问题探究
一、情景设置：
美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31， 36，36，37，39，44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29.
如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征.
二、探究新知：
知识探究（一）：众数、中位数和平均数
思考1：在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，这些数据都是反映样本信息的数字特征，对一组样本数据如何求众数、中位数和平均数？
思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中（参考课本72页图2-2-5），你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
思考3：在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示什么？中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？
思考4：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？
思考5：平均数是频率分布直方图的“重心”，在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各个小矩形的重心在哪里？从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？
思考6：根据统计学中数学期望原理，将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么？
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
思考8：一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会额成为缺点，你能举例说明吗？样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？
知识探究（二）：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？
思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，的平均数为，则标准差的计算公式是：
那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？
思考5：对于一个容量为2的样本：， 则在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？
知识补充:
标准差的平方称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.
3.对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数 ，标准差s=0.868.在这100个数据中，
落在区间=[1.105，2.841]外的有28个；
落在区间=[0.237，3.709]外的只有4个；
落在区间=[-0.631，4.577]外的有0个.
一般地，对于一个正态总体，数据落在区间、、 内的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材P79“阅读与思考”）.
三、典例分析:
例 1 计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性.
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
例2 画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.
(1) ５，５，５，５，５，５，５，５，５；
(2) ４，４，４，５，５，５，６，６，６；
(3) ３，３，４，４，５，６，６，７，７；
(4) ２，２，２，２，５，８，８，８，８.
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
例3甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm）：
甲 ：
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙：
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？ （参考课本Ｐ77）
例4以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
例5 有20种不同的零食，它们的热量含量如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
（1）以上20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差；
（2）设计一个适当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.
目标检测
1、下列刻画一组数据离散程度的是 （ ）
平均数 B.方差 C.中位数 D.众数
2、下列说法错误的是 （ ）
A.一个样本的众数、中位数、平均数不可能是同一个数
B统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数
C.样本平均数既不可能大于，也不可能小于这个数中的所有数据
D.众数、中位数、平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
若m个数的平均数是x，n个数的平均数是y，则这m+n个数的平均数是 （ ）
A． B． C． D．
4、某同学历次数学考试成绩是95，98，92，83，91和92，则他取得的数学成绩的平均数、中位数、众数、极差和标准差分别是 （ ）
A.91.8,92,92,15,4.60 B.92,92,92,15,5.60
C.91.8,91,92,15,4.60 D.91,92,92,18,4.60
5、某校高一年级进行一次数学测试，抽取40人，算出平均成绩为80分，为准确起见，后来又抽取50人，算出其平均成绩为83分。通过两次抽样结果，估计这次数学测验成绩为 （ ）
A、81.7分 B、81.5分
C、 80分 D、83分
6、在一次歌手大奖赛上，五位评委为某歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.9,9.6,
9.5，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和标准差分别为 （ ）
A.9.4, 0.1 B.9.4，0.01
C.9.5, 0.1 D.9.5，0.01
7、甲、乙两台机器同时生产 一种零件，现要检验它们的运 行情况，统计10天中两台机器每天出次品数分别是甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4；乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1.则出次品数较少的为
（ ）
A.甲 B.乙
C.相同 D.不能确定
8、.已知一组数的平均数是2，方差是，那么另一组数据
的平均数和方差分别是 （ ）
A.2， B.2，1
C.4， D.4，3
9、计算：（1）1，2，3，4，5，6，7，8，9的方差 = 标准差s= ;
( 2 )10,20,30,40,50,60,70,8 0,90的方差= ，标准差s= . 试比较两组数据的计算结果，得到的一般结论是
10、已知样本101，100，99，x，y的平均数为100，方差为2，这个样本中的数据x和y的值分别是 ,
11、（选做）如果5个从小到大的整数所组成的数组的中位数是4，这个组唯一的众数是6，那么这个数组全体数字的和的最大值为 。
12、某班50位同学的身高分成如下三层：
层数
身高/cm
人数
1
155～165
15
2
165～175
27
3
175～185
8
（1）画出频数分布直方图，并据此估计全班同学的平均身高；（2）现自第一层中抽取三个样本，分别为154，160，163；自第二层中抽取五个样本，分别为171，168，166，174，171；自第三层中抽取两个样本，分别为175，179，估计全班同学之平均身高；（3）比较（1）和（2）的结果，你有什么体会？
13、甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？
（2）哪种玉米的苗长得齐？
14、在某高中篮球联赛中，甲、乙两名运动员的得分如下.
甲的得分：14，17，25，26，30，3l，35．37，38，39，44，48，51,53，54；
乙的得分：6，15，17，18，2l，27，28，33，35，38，40，44，56.
（1）用茎叶图表示上面的样本数据，并找出样本数据的中位数；（2）根据(1)中所求的数据分析甲、乙两名运动员哪一位发挥得更加稳定.
纠错矫正
收获与体会
课件40张PPT。新知自解重复出现次数最多大小顺序最中间两个数据的平均数样本容量平均数样本数据解析： 平均数为7，中位数为7.5，众数为8，故c>b>a.
答案： A答案： D答案： 62.8，3.6
课堂探究答案： 8答案： (1)C
谢谢观看！学业分层测评(十三)
用样本的数字特征估计总体的数字特征
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2015·合肥检测)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2-2-24所示，则( )
图2-2-24
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】 由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
【答案】 C
2．十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【解析】 插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．
【答案】 B
3．如图2-2-25是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为甲，乙；标准差分别是s甲，s乙，则有( )
图2-2-25
A．甲＞乙，s甲＞s乙 B．甲＞乙，s甲＜s乙
C．甲＜乙，s甲＞s乙 D．甲＜乙，s甲＜s乙
【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．
【答案】 C
4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是＝2，方差是，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2， B．2，1
C．4， D．4，3
【解析】 平均数为′＝3－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×＝3.
【答案】 D
5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图2-2-26所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为( )
图2-2-26
A．0.27，78 B．0.27，83
C．2.7，78 D．2.7，83
【解析】 由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09，4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d，则6×0.27＋15d＝1－0.01－0.03－0.09，
∴d＝－0.05.
∴b＝(0.27×4＋6d)×100＝78，a＝0.27.
【答案】 A
二、填空题
6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为22，则x＝________．
【解析】 由题意知＝22，则x＝21.
【答案】 21
7．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2-2-27所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．
图2-2-27
【解析】 甲＝70，乙＝68，s＝×(22＋12＋12＋22)＝2，s＝×(52＋12＋12＋32)＝7.2.
【答案】 甲 甲
8．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为，则xy＝________. 【导学号：28750040】
【解析】 由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.
又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.
【答案】 96
三、解答题
9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图2-2-28的频率分布直方图．
图2-2-28
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应约位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应约为70＋6.7＝76.7.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.
10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？
【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．
从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．
(2) 甲＝＝33.
乙＝＝33.
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.
甲的极差为11，乙的极差为10.
综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．
[能力提升]
1．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A．6 B．
C．66 D．6.5
【解析】 ∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差为：
s2＝＝＝6.
【答案】 A
2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2-2-29中以x表示：
图2-2-29
则7个剩余分数的方差为( )
A. B．
C．36 D．
【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，
则[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，
∴x＝4.
∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝.
【答案】 B
3．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
【解析】 设这40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为x.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝[x＋x＋…＋x＋40x2－2x(x1＋x2＋…＋x40)]
＝
＝×
＝0.9.
∴s＝＝＝.
【答案】 0.9
4．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
【解】 (1)频率分布表
分组
频数
频率
[0，0.5)
4
0.04
[0.5，1)
8
0.08
[1，1.5)
15
0.15
[1.5，2)
22
0.22
[2，2.5)
25
0.25
[2.5，3)
14
0.14
[3，3.5)
6
0.06
[3.5，4)
4
0.04
[4，4.5)
2
0.02
合计
100
1
(2)频率分布直方图如图：
众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．
课件27张PPT。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字
特征(一)第二章 §2.2 用样本估计总体1.会求样本的众数、中位数、平均数；
2.能从频率分布直方图中，估算众数、中位数、平均数；
3.能用样本数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 众数问题导学 新知探究 点点落实定义 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 特点 (1)众数是这组数据中出现次数最多的数；(2)众数可以有一个或多个；(3) 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标. (4) 用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便.在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，而某一数据出现次数又较多时，选择众数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合.定义 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.知识点二 中位数特点 (1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组数据中的数.(4)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值.(5)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，能更好地反映一组数据的中等水平， 当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势比较合适.知识点三 平均数返回特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质.也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低.答案类型一 众数、中位数和平均数的计算题型探究 重点难点 个个击破解析答案反思与感悟答案 A反思与感悟计算中位数要先对数据排序，计算平均数时，计算机有专门的函数，而手工计算要讲究技巧.反思与感悟跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：解析答案分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75；上表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；答 17名运动员成绩的众数,中位数,平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.类型二 在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数例2 以教材2.2.1节调查的100位居民的月均用水量为例，样本数据的频率分布表和频率分布直方图如图所示，试估算月均用水量的中位数.解析答案反思与感悟解 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的，由此可以估计中位数的值.下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02 t.反思与感悟样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.反思与感悟跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数，中位数和平均数.解析答案四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2.平均数＝39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.类型三 众数、中位数、平均数的简单应用例3 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：解析答案(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1 500元，众数是1 500元.(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？解析答案中位数是1 500元，众数是1 500元.(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？解析答案反思与感悟解 在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平.如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策.反思与感悟解析答案跟踪训练3 某课外活动小组对该市空气含尘进行了调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：G/M3)
(1)求出这组数据的众数和中位数；解 由题意知，众数是0.03，中位数为0.03.解析答案返回(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025G/M3，问这一天城市空气是否符合国标？解 这一天数据平均数是0.03，∵0.03＞0.025，
∴这一天该城市空气不符合国标.1.数据1,2,3,3,4的众数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4C达标检测 1234答案2.若一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8.则中位数为( )
A.4 B.5 C.4.5 D.5.5C1234答案3.下列说法错误的是( )
A.在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D.众数是一组数据中出现次数最多的数1234解析答案解析 平均数不大于最大值，不小于最小值.B4.如果n个数x1，x2，x3，…，xn的平均数为1, 则2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的平均数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6A1234答案规律与方法1.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.
2.一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.返回3.利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.课件26张PPT。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字
特征(二)第二章 §2.2 用样本估计总体1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差；
2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征；
3.体会用样本估计总体的思想.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 方差、标准差问题导学 新知探究 点点落实思考 若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？答案答案 可以通过考察样本数据的分散程度的大小.一般地，
(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.1.样本的基本数字特征包括 、 、 、 .
2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的.因此，还需要用标准差来反映数据的 程度.
3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有 性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的 好，这样做就是合理的，也是可以接受的.知识点二 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征众数中位数平均数标准差分散随机代表性答案返回类型一 感受数据的离散程度题型探究 重点难点 个个击破解析答案反思与感悟例1 分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的异同点.
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解 四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大.反思与感悟标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定.标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定.反思与感悟跟踪训练1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？解析答案条形图如下：通过频率分布条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的.甲成绩比较分散，乙成绩相对集中.类型二 方差、标准差的计算例2 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.解析答案反思与感悟反思与感悟计算方差(或标准差)先要计算平均数.反思与感悟跟踪训练2 求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差，结合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系.解析答案同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙.因此说明离散程度越大，标准差就越大.类型三 标准差及方差的应用例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：
甲
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42
25.39 25.43 25.39 25.40 25.44
25.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)解析答案反思与感悟从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；
从样本标准差看，由于s甲＜s乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多.
于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些.反思与感悟比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑.其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离.反思与感悟解析答案跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.解 甲品种的样本平均数为10，样本方差为
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.返回1.下列说法正确的是( )
A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高B达标检测 1234解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；
C中求和后还需取平均数；
D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.解析答案2.将某选手的9个得分(不完全相同)去掉1个最高分，去掉1个最低分，则一定会发生变化的是( )
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.方差D1234答案3.样本101,98,102,100,99的标准差为( )1234A答案则参加运动会的最佳人选应为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会的射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差见下表：C1234答案5.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为___；解析答案7(2)命中环数的标准差为___.解析答案∴命中环数的标准差为2.2规律与方法1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.
3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也具有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.返回2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数
(1)众数的定义：
一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数．
(2)中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位数．
①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的__________那个数．
②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的________．
(3)平均数
①平均数的定义：
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝____________，叫做这n个数的平均数．
②平均数的分类：
总体平均数：________所有个体的平均数叫总体平均数．
样本平均数：________所有个体的平均数叫样本平均数．
2．标准差、方差
(1)标准差的求法：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝________________________________________________________________________.
(2)方差的求法：
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝________________________________________________________________________.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
4．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是( )
A.s2 B．s2
C．3s2 D．9s2
5．如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.6 D．85,0.4
6．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB则( )
A.A>B，sA>sB B.A<B，sA>sB
C.A>B，sA题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.
8．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人只能有1人入选，则入选的应为________．
9．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，这21个数据的方差为________．
三、解答题
10．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
能力提升
11．下面是一家快餐店所有工作人员(共7人)一周的工资表：
总经理
大厨
二厨
采购员
杂工
服务员
会计
3 000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
(1)计算所有人员一周的平均工资；
(2)计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？
(3)去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？
12．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
平均成绩
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
求全班的平均成绩和标准差．
1．平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量．
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的．
由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
3．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
答案：
2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
知识梳理
1．(1)最多 (2)中间 ①中间位置的 ②平均数 (3)① ②总体中 样本中
2．(1) (2)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
作业设计
1．B [A中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低．]
2．D [由题意a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，
中位数为16，众数为18，即b＝16，c＝18，
∴c>b>a.]
3．B [方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．
∵5.09>3.72，故选B.]
4．D [s＝[9x＋9x＋…＋9x－n(3)2]＝9·(x＋x＋…＋x－n 2)＝9·s2(s为新数据的方差)．]
5．C [由题意＝(84＋84＋86＋84＋87)＝85.
s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝(1＋1＋1＋1＋4)＝＝1.6.]
6．B [样本A数据均小于或等于10，样本B数据均大于或等于10，故A<B，
又样本B波动范围较小，故sA>sB.]
7．91
解析 由题意得
8．甲
解析 甲＝9，＝0.4，乙＝9，＝1.2，故甲的成绩较稳定，选甲．
9．0.19
解析 这21个数的平均数仍为20，从而方差为×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.
10．解 由折线图，知
甲射击10次中靶环数分别为：
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为：
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝
＝7(环)，
乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝
＝7(环)，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]
＝×(4＋2＋0＋2＋4)
＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]
＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)
＝5.4.
根据以上的分析与计算填表如下：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①∵平均数相同，
<，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，
甲的中位数<乙的中位数，
∴乙的成绩比甲好些．
③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成绩比甲好些．
④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．
11．解 (1)平均工资即为该组数据的平均数
＝×(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)
＝×5 250＝750(元)．
(2)由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由(1)所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平．
(3)除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为：′＝×(450＋350＋400＋320＋320＋410)
＝×2 250＝375(元)．
这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平．
12．解 设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，
第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，
依题意有：＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，故全班平均成绩为：
(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)
＝(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s＝(x＋x＋…＋x－202)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)
(此处，＝90，＝80)，又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为(＝85)，故有
s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402)
＝(20s＋202＋20s＋202－402)
＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
s＝.
所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为.
