§3.3.1 几何概型（一）
学习目标
（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是
几何概型；
重点难点
重点: 几何概型的概念、公式及应用.
难点: 对几何概型的理解.
学法指导
几何概型概率求解过程：
①适当选择观察角度，确定几何度量的种类：长度（或面积，角度，体积）；
②把基本事件空间转化为与之对应的区域；
③把事件A转化为与之对应的区域；
④如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维；
⑤利用概率公式计算.
知识链接
1.基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的。（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
2．古典概型有两个特征：有限性和等可能性.
问题探究
【提出问题】
在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.
【探究新知】（一）：几何概型的概念
思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？
若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
思考2：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？
分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上除端点外的任意一点，记“剪得两段绳子长都不小于1m”事件A.
问题1 每一个基本事件是不是等可能发生的的？且能否看做线段上的一个点与其对应？
问题2 与每一个基本事件对应的这些点构成的几何区域D是什么？
问题3 事件A发生，剪刀应剪在什么位置？
问题4 事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域d是什么？
问题5 几何区域D的长度？
问题6 d的长度占D的长度的几分之几？
结论：对于一个随机事件试验，我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内任取一点（即找“对应点”），该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的一点，这里区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机实验称为几何概型，
也即，如果 只 与 成比例，则称这样的概率模型为几何概型.
参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？
（1）可能出现的结果有无限多个；
（2）每个结果发生的可能性相等.
思考5：某班公交车到终点站的时间等可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11：40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？
【探究新知】（二）：几何概型的概率
对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.
思考3：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？
思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？
结论：一般地，在几何概型中试验的全部结果（即基本事件）所构成的区域记为D，记事件“该点落在其区域D内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率
思考5：向边长为1m的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？(芝麻大小可忽略不计)由此能说明什么问题？
结论：概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生，即.
【典型例题】 测量长度
对于两个平面区域d，D，且，区域D是线段或时间段时，记“该点落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与线段或时间段的长度有关时，一般地有
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.
分析：见课本P136下.
例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
分析：因为客车每10分钟一班,他在0到10分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ,这符合几何概型的条件.
拓展 某公共汽车站，每隔10分钟有一辆汽车出发，并且出发前在车站停靠3分钟，
⑴ 求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；
⑵ 求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率；
⑶ 求乘客到达车站立即上车的概率.
例3 在等腰中，在斜边上任取一点，求的概率．
分析：点随机地落在线段上，故线段为试验所有结果构成的区域．在上截取，则当点位于图2中线段内时，，故线段即为构成事件的区域．
总结：将此类几何概型问题 “长度”化是关键.
目标检测
1．在区间 [0,3]内随机地取一个数，则这个数大于2的概率是 ( )
A． B． C． D．
2.两地相距3m的木杆上系了一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率是 （ ）
A． B． C． D．
3.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率是 （ ）
A． B． C． D．
4．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，当某人到达路口时看见红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率是
（ ）
A． B． C． D．
6．猪八戒每天早上7点至9点之间起床，它在7点半之前起床的概率______.（将问题转化为时间长度）
7. （选做）设p在[0，5]上随机地取值，求方程有实根的概率。
提示：点P在[0，5]上随机取值，故[0，5] 为试验所有结果构成的区域D，又一元二次方程有实数根,所以
【课堂小结】
1.几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、角度、面积或体积.
2.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.
3、使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.
纠错矫正
总结反思
§3.3.1 几何概型（二）
学习目标
（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
；
（3）会把相应的几何概型问题“角度”化、“面积”化、“体积”化.
重点难点
重点: 几何概型的概念及应用.
难点: 对几何概型的理解，将问题“角度”化、“面积”化、“体积”化.
学法指导
处理几何概型的主要思路是问题“长度”化、 “面积”化、“角度”化或“体积”化.
知识链接
几何概型的概率公式及其应用.
问题探究 【典型例题】 测量面积
一般的对于两个平面区域d，D，且，点落在区域D内每一点上都是等可能的，当D是个平面图形，记“点P落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与d的面积有关时，一般有
例1 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是等可能的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。
练习：如图１是一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上的痕迹，则这个地图的面积为______平方米．
分析：雨点落在地图
上的概率问题是几何
概型，用面积比计算．
雨点打在地图和板上
是随机的，地图上有
9个雨点痕迹，板上
其他位置有18个雨点
痕迹，由此计算雨点落在地图上的概率，反过来推导地图面积．
例2假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？
分析：送报人到达的时刻与父亲离开家的时刻是相互独立且是等可能的，所以应该引入两个变量来求解.
设送报人到达的时间为x(6.5≤x≤7.5)，父亲离开家的时刻为y(7≤y≤8)事件A对应于不等关系“y≥x”.怎样建立x与y之间的关系才能解决这一不等关系呢？
自然我们就想到建立二维平面直角坐标系，将x与y之间的关系向点（x, y）转化，用点来解决(参看课本p138图3.3-2)。试验全部结果所构成的区域
，面积，事件A所构成的区域
，这是一个几何概型.
练习 从开区间中随机取两个数，求下列情况下的概率：
⑴ 两数之和小于；
⑵两数平方和小于.
【典型例题】 测量角度
对于两个平面区域d，D，且，当D为平面图形时，如果点P在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能的，注意观察角度是否等可能，若只与角度有关，则可以选择角度作为事件A所构成的区域．
例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线落在角的终边上，任作一条射线，求射线落在内的概率．
分析：以为起点作射线是随机的，因而射线落在任何位置都是等可能的．落在内的概率只与的大小有关，符合几何概型的条件．
例4 在等腰中，过直角顶点C在内部任做一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率。
分析：因为过一点 例4图
作射线是均匀的，
所以基本事件“射线
CM落在
内任一处”是
等可能的,
且对应于角
.所
以使|AM|<|AC|的概率只与(点在线段AB上，且|AC|=|A|)的大小有关系，这符合几何概型的条件．
注 对比§3.3.1 几何概型（一）例3你会发现此类题目容易与长度型的几何概率问题混淆。解决本题的关键是找准基本事件的对应点，保证所给概率问题的等可能性，才能得出与原题对应的正确解答。
【典型例题】 测量体积
对于两个区域d，D，且，当D为三维空间时，当点P落在D每一处都是等可能的，记“点P落在区域d内” 为事件A，且事件A发生的概率只与d的体积有关时，可以选择体积作为事件A所构成的区域．
例5 在1升高产小麦种子中混入了一个带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
目标检测
1．向面积为的内任投一点，则的面积小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
2. (选做)A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点，得到弦AB,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( )
A. B. C. D.
3．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4
C．0.004 D．不能确定
4．(选做)在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7．现在向该矩形内随机投一点P，则时的概率是 .
5.在棱长为1的正方体中做四棱锥，使四棱锥的体积小于的概率是 .
6．在区间(0,1)中随机地取出两个数，这两个数的和小于的概率是 ．
【能力提升】
7.如图，，，，在线段上任取一点，试求：(1)为钝角三角形的概率；
(2)为锐角三角形的概率．
8.（会面问题）甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.（见下图所示）
9. (选做) 在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
纠错矫正
总结反思
3. 3.1几何概型
教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．
教学目标：1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．
3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．
教学重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．
教学过程：
一、问题情境
如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．
问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．
二、建立模型
1. 提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．
注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．
（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．
2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
3. 再次提出问题，并组织学生讨论
（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．
通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．
三、典型例题
1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．
分析：我们有两种方法计算事件的概率．
（1）利用几何概型的公式．
（2）利用随机模拟的方法．
解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以
解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．
教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．
2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即
假设正方形的边长为2，则
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
这样就得到了π的近似值．
另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：
（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；
（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．
可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．
本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．
［练 习］
1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．
2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．
3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．
作业：课本
3.3.1几何概型
课前预习学案
一、预习目标
1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．
二、预习内容
1. ，简称为几何概型．
2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
3. 讨论：
（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（ 2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
学习重点与难点：几何概型的计算方法．
二、学习过程：
例1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．
分析：我们有两种方法计算事件的概率．
（1）利用几何概型的公式．
（2）利用随机模拟的方法．
解法1：
解法2：
例2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解：
用计算器或计算机模拟，步骤如下：
（1）
（2）
（3）
三、反思总结
1、数学知识：
2、数学思想方法：
四、当堂检测
一、选择题
1. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长
都不小于1 m的概率是.
A. B. C. D.不确定
2. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上
车的概率是
A. B. C. D.
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意
一点钻探，钻到油层面的概率是.
A. B. C. D.
二、填空题
1. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，
向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
2. 如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
三解答题
1在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
答案一、选择题
1. B 2. A 3. C
二、填空题
1. 2.
三、解答题 解：在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜）
=
答：AM的长小于AC的长的概率为.
课后练习与提高
1．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________.
2. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.
3. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.
4. 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
学业分层测评(二十) 几何概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
【答案】 A
2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.
当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝＝.
【答案】 A
3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004
C．0.002 D．0.005
【解析】 设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为＝0.005.
【答案】 D
4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B．
C. D．
【解析】 如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，
所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“＞”．
即P＝＝.
【答案】 C
5．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B．
C. D．
【解析】 由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB＞AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，∴＝.
【答案】 D
二、填空题
6．如图3-3-2，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________.
【导学号：28750064】
图3-3-2
【解析】 记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
【答案】
7．如图3-3-3，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．
图3-3-3
【解析】 设长、宽、高分别为a、b、c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动的概率P＝＝.
【答案】
8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
【解析】 记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝.
记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)＝－＝.
故P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
【答案】
三、解答题
9．(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；
(2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率．
【解】 (1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，又当AB＝BM时，∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝＝＝.
(2)设AB＝AC＝1，则BC＝，设“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，
则P(Ω)＝＝＝.
10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
【解】 如图，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．
问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．
∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，
S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，
∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根据几何概型的概率公式，得P(A)＝＝≈0.31.
[能力提升]
1．(2016·南昌高一检测)面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
【答案】 B
2．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( )
A．1－ B．1－
C. D．
【解析】 设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4－3×××1＝4－，故所求概率P＝＝1－.
【答案】 B
3．假设你在如图3-3-4所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．
图3-3-4
【解析】 设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝r，所以S△ABC＝AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝＝.
【答案】
4．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
图3-3-5
甲商场：顾客转动如图3-3-5所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇
形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
【解】 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为＝.
∴在甲商场中奖的概率为P1＝＝.
如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．
摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．
∴在乙商场中奖的概率为P2＝＝.
∵P1
∴顾客在乙商场中奖的可能性大．
