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第 三 章 概率知能整合提升热点考点例析答案： (1)B (2)C答案： A答案： B答案： B答案： C答案： B解析： ①③不正确，②④正确.
答案： ②④
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(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．问题：①有1 000个乒乓球分别装在3种箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
【解析】 本题考查三种抽样方法的定义及特点．
【答案】 B
2．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是( )
①至少有一个白球；都是白球．
②至少有一个白球；至少有一个红球．
③恰好有一个白球；恰好有2个白球．
④至少有1个白球；都是红球．
A．0 B．1
C.2 D．3
【解析】 由互斥事件的定义知，选项③④是互斥事件．故选C.
【答案】 C
3．在如图1所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )
图1
A．6 B．8
C.10 D．14
【解析】 由甲组数据的众数为14，得x＝y＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是＝10，故选C.
【答案】 C
4．101110(2)转化为等值的八进制数是( )
A．46 B．56
C.67 D．78
【解析】 ∵101110(2)＝1×25＋1×23＋1×22＋1×2＝46，46＝8×5＋6，5＝8×0＋5，∴46＝56(8)，故选B.
【答案】 B
5．从甲、乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取6件，测得其直径如下：(单位：cm)
甲：9.0，9.2，9.0，8.5，9.1，9.2；
乙：8.9，9.6，9.5，8.5，8.6，8.9.
据以上数据估计两人的技术的稳定性，结论是( )
A．甲优于乙 B．乙优于甲
C．两人没区别 D．无法判断
【解析】 x甲＝(9.0＋9.2＋9.0＋8.5＋9.1＋9.2)＝9.0，
x乙＝(8.9＋9.6＋9.5＋8.5＋8.6＋8.9)＝9.0；
s＝[(9.0－9.0)2＋(9.2－9.0)2＋(9.0－9.0)2＋(8.5－9.0)2＋(9.1－9.0)2＋(9.2－9.0)2]＝，
s＝[(8.9－9.0)2＋(9.6－9.0)2＋(9.5－9.0)2＋(8.5－9.0)2＋(8.6－9.0)2＋(8.9－9.0)2]＝.
因为s
【答案】 A
6．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图2所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )
图2
A. B．
C. D．
【解析】 从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是＝.
【答案】 B
7．(2014·北京高考)当m＝7，n＝3时，执行如图3所示的程序框图，输出的S值为( )
图3
A．7 B．42
C.210 D．840
【解析】 程序框图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6＞5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4＜5，输出S＝210.故选C.
【答案】 C
8．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，那么在区间[－5，5]内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为( )
A．0.1 B．
C.0.3 D．
【解析】 在[－5，5]上函数的图象和x轴分别交于两点(－1，0)，(2，0)，当x0∈[－1，2]时，f(x0)≤0.
P＝＝＝0.3.
【答案】 C
9．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )
【导学号：28750073】
A. B．
C. D．
【解析】 法一：设2个人分别在x层，y层离开，则记为(x，y)．基本事件构成集合Ω＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，…，(2，10)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，…，(3，10)，(10，2)，(10，3)，(10，4)，…，(10，10)}，所以除了(2，2)，(3，3)，(4，4)，…，(10，10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P＝＝.
法二：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为，故不在这一层离开的概率为.
【答案】 D
10．(2016·沾化高一检测)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B．
C. D．π
【解析】 如图所示，动点P在阴影部分满足|PA|<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S′＝，又正方形的面积是S＝1，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为＝.
【答案】 C
11．已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则( )
A．x＝5，s2<3 B．x＝5，s2>3
C．x>5，s2<3 D．x>5，s2>3
【解析】 由平均数和方差的计算公式可得x＝5，s2＝(3×8＋0)<3，故选A.
【答案】 A
12．圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 设圆O的半径为r，则圆O内接正三角形的边长为r，设向圆O内随机投一点，则该点落在其内接正三角形内的事件为A，则P(A)＝＝＝.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．
13．合肥市环保总站发布2014年1月11日到1月20日的空气质量指数(AQI)，数据如下：153，203，268，166，157，164，268，407，335，119，则这组数据的中位数是________．
【解析】 将这10个数按照由小到大的顺序排列为119，153，157，164，166，203，268，268，335，407，第5和第6个数的平均数是＝184.5，即这组数据的中位数是184.5.
【答案】 184.5
14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图4所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．
图4
【解析】 成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．
【答案】 100
15．在由1，2，3，4，5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21，22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为________．
【解析】 由1，2，3，4，5可组成的二位数有5×5＝25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为.
【答案】
16．执行如图5所示的程序框图，输出的a值为________．
图5
【解析】 由程序框图可知，第一次循环i＝2，a＝－2；第二次循环i＝3，a＝－；第三次循环i＝4，a＝；第四次循环i＝5，a＝3；第五次循环i＝6，a＝－2，所以周期为4，当i＝11时，循环结束，因为i＝11＝4×2＋3，所以输出a的值为－.
【答案】 －
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)
(1)指出其功能；(用数学式子表达)
(2)画出该算法的算法框图．
S1 输入x.
S2 若x<－2，执行S3；否则，执行S6.
S3 y＝2x＋1.
S4 输出y.
S5 执行S12.
S6 若－2≤x<2，执行S7；否则执行S10.
S7 y＝x.
S8 输出y.
S9 执行S12.
S10 y＝2x－1.
S11 输出y.
S12 结束．
【解】 (1)该算法的功能是：已知x时，
求函数y＝的值．
(2)算法框图是：
18．(本小题满分12分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
【解】 记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
19．(本小题满分12分)某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60)
5
0.05
第2组
[60，70)
a
0.35
第3组
[70，80)
30
b
第4组
[80，90)
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计
100
1.00
(1)求a、b的值；
(2)若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．
【解】 (1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，
所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.
20．(本题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率. 【导学号：28750074】
【解】 (1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．
(2)27×＝3，所以大于40岁的观众应抽取3名．
(3)由题意知，设抽取的5名观众中，年龄在20岁至40岁的为a1，a2，大于40岁的为b1，b2，b3，从中随机取2名，基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10个，设恰有一名观众年龄在20至40岁为事件A，则A中含有基本事件6个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，
所以P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)
图6
某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图6所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．
(1)若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求|m－n|≤8的概率．
【解】 (1)A组学生的平均分为＝85(分)，∴B组学生平均分为86分．
设被污损的分数为x，则＝86，解得x＝88，
∴B组学生的分数分别为93，91，88，83，75，其中有3人的分数超过85分．
∴在B组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为.
(2)A组学生的分数分别是94，88，86，80，77，
在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m，n)有(94，88)，(94，86)，(94，80)，(94，77)，(88，86)，(88，80)，(88，77)，(86，80)，(86，77)，(80，77)，共10个．
随机抽取2名同学的分数m，n满足|m－n|≤8的基本事件有(94，88)，(94，86)，(88，86)，(88，80)，(86，80)，(80，77)，共6个．
∴|m－n|≤8的概率为＝.
22．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2006
2008
2010
2012
2014
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1) 中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2010
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，
b＝
∴a＝－b ＝3.2，
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
y－257＝b(x－2 010)＋a＝6.5(x－2 010)＋3.2，
即y＝6.5(x－2 010)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为
6．5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
章末综合测评(三) 概率
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4℃时结冰．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．
【答案】 C
2．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【解析】 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.
【答案】 D
3．(2016·开封高一检测)给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A. B．
C. D．
【解析】 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝.故选B.
【答案】 B
4．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 由几何概型的概率计算公式可知x∈[0，1]的概率P＝＝.故选A.
【答案】 A
5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【解析】 本题考查的是体积型几何概型．
【答案】 A
6．(2016·天水高一检测)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥
【解析】 互斥事件是不可能同时发生的事件，所以B与C互斥．
【答案】 B
7．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为( )
A．100 m B．80 m
C．50 m D．40 m
【解析】 设河宽为x m，则1－＝，所以x＝100.
【答案】 A
8．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
【解析】 记“取到质量小于4.8 g”为事件A，“取到质量不小于4.85 g”为事件B，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.
【答案】 B
9．如图1，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( ) 【导学号：28750071】
图1
A. B．
C. D．
【解析】 点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
【答案】 C
10．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( )
A．x＝x1*2 B．x＝x1*4
C．x＝x1*2－2 D．x＝x1*4－2
【解析】 由题意可知x＝x1*(2＋2)－2＝4x1－2.
【答案】 D
11．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
【解析】 先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.
【答案】 B
12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以为概率的事件是( )
A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
【解析】 将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．
13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________．
【解析】 由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
【答案】
14．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为________．
【解析】 方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0，1)，所以【答案】
15．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图2所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．
图2
【解析】 由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝.
【答案】
16．(2016·合肥高一检测)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．
【解析】 此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
【解】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
18．(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
概率
0.02
0.04
0.17
0.36
0.25
0.15
(1)求该班成绩在[80，100]内的概率；
(2)求该班成绩在[60，100]内的概率．
【解】 记该班的测试成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．
(1)该班成绩在[80，100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.
(2)该班成绩在[60，100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
19．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由. 【导学号：28750072】
【解】 (1)由于x，y取值为1，2，3，4，5，6，
则以(x，y)为坐标的点有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个，即以(x，y)为坐标的点共有36个．
(2)满足x＋y≥10的点有：(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，所以小王赢的概率是＝，
满足x＋y≤4的点有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个，所以小李赢的概率是＝，
则小王赢的概率等于小李赢的概率，
所以这个游戏规则公平．
20．(本小题满分12分)(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
【解】 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
21．(本小题满分12分)(2014·四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解】 (1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
22．(本小题满分12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15，7.05)，[7.05，7.95)，[7.95，8.85)，[8.85，9.75)，[9.75，10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．
图3
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；
(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b 两位同学的成绩均为优秀，求a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率．
【解】 (1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.
∴参加这次铅球投掷的总人数为＝50.
根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为
(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.
(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，
∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95，8.85)内，即第4组．
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，
∴a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝.
第三章 概 率(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列事件中不是随机事件的是( )
A．某人购买福利彩票中奖
B．从10个杯子(8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品
C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾
D．某人投篮10次，投中8次
2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )
①选出1人是班长的概率为；
②选出1人是男生的概率是；
③选出1人是女生的概率是；
④在女生中选出1人是班长的概率是0.
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
4．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不是对立事件 D．以上答案都不对
5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
6．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为( )
A．16 B．16.32
C．16.34 D．15.96
8．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17A. B .
C. D.
9．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
10．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
11．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( )
A. B.
C. D.
12．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A. B. C．1－ D．1－
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
19．(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率．
20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？
(2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？
22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
第三章 概 率(A)
1．C
2．D [本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为＝；“选出1人为女生”的概率为＝，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0.]
3．C [抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率P＝.]
4．C [由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．]
5．B [从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.]
6．A [从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]
7．B [由题意＝，∴S阴＝×24＝16.32.]
8．C [∵a∈(15,25]，∴P(179．D [摸出红球的概率为＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]
10．A [任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．
故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.]
11．A
[建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为P＝＝.]
12．C [P＝＝＝1－.]
13．0.3
解析 所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3.
14.
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
15.
解析 基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，
即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，
所求概率为＝.
16.
解析 基本事件总数为36个，
若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c.
当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；
当c＝2时，b＝3,4,5,6；
当c＝3时，b＝4,5,6；
当c＝4时，b＝4,5,6；
当c＝5时，b＝5,6；
当c＝6时，b＝5,6.
符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为.
17．解 记“有0人等候”为事件A，“有1人等候”为事件B，“有2人等候”为事件C，“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，
则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
也可以这样解，G与H互为对立事件，
所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44.
18．解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
19.解 在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．
设事件A表示方程x2－x＋m＝0有实根，则事件A＝{(m，n)|}，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为，故P(A)＝＝，即关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率为.
20．解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.
21．解 把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个．
(1)事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123，
P(E)＝1/20＝0.05.
(2)事件F＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(F)＝2/20＝0.1，
假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次，不发生90次．
则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元．
22．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：
9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
第三章 概 率(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A. B. C. D.
3．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大( )
A．异性 B．同性
C．同样大 D．无法确定
4．在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
6．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是( )
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
7．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A. B.
C. D.
8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )
A. B.
C. D.
9．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)C．P(A)＝P(B) D．P(A)、P(B)大小不确定
10．如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AC＝BC，AB为圆O的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC内的概率是( )
A. B.
C. D.
11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率是( )
A. B.
C. D.
12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知半径为a的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
16．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．
18．(12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
19．(12分)如右图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于的概率．
20．(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
22．(12分)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．
(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；
(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．
第三章 概 率(B)
1．D 2.B
3．A [记“甲碰到同性同学”为事件A，“甲碰到异性同学”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，故P(A)4．A [在区间[－，]，05．B [由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.]
6．D [由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书．]
7．D [4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝]
8．B [可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54共4种，所以P＝＝.]
9．C [横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．]
10．A [连接OC，设圆O的半径为R，记“所投点落在△ABC内”为事件A，则P(A)＝＝.]
11．B [本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x2＋y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即＝.]
12．A [可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P＝＝.]
13.
解析 因为球半径为a，则正方体的对角线长为2a，设正方体的边长为x，则2a＝x，∴x＝，由几何概型知，所求的概率P＝＝＝.
14.
解析 如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，
因此P＝＝.
15.
解析
记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
16.
解析 由题意可知>，如图所示，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，因此＝＝>(PM，BN为其高线)，又＝，故>，故所求概率为(长度之比)．
17．解 a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a2≥4b”的概率为P＝.
18．解 设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件．
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1，
设D表示军火库爆炸这个事件，则有
D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，
∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
19．解 如下图所示，作OC⊥OA，C在半圆弧上，过OC中点D作OA的平行线交半圆弧于E、F，所以在上取一点B，则S△AOB≥.
连结OE、OF，因为OD＝OC＝OF，
OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以l＝π·1＝π.
所以P＝＝＝.
20．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同理乙胜的概率P2＝.因为P1＝P2，所以此游戏公平．
21．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，
所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P()＝1－＝.
22．解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．
设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A，“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B.
(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝＝.故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.
(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足≤1，即b2≤a2＋1.
若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；
若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；
若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值，
若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．
∴满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝＝.
故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.
课件38张PPT。第三章 概率习题课1.进一步了解频率与概率的关系；
2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件；
3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 频率与概率的关系答案问题导学 新知探究 点点落实随机事件A在 条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生
的频率＝ ，随着试验次数的增加，频率呈现 性，即频率总是
于某个常数P(A)，称P(A)为事件A的概率.相同规律接近?1.若事件A，B互斥，则A∩B为 事件，P(A∪B) 1(判别大小关系).
2.若事件A，B对立，则A∩B为 事件，P(A∪B) 1(判别大小关系).
3.若事件A，B互斥，则 (填“一定”“不一定”)对立；若事件A，B对立，则 (填“一定”“不一定”) 互斥.
4.若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝ ，若事件A，B对立，则P(A)＝ .答案知识点二 互斥事件、对立事件不可能≤不可能＝不一定一定P(A)＋P(B)1－P(B)1.解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：
(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有 个；(2)每个基本事件出现的可能性是否 .
2.利用古典概型求事件A的概率的步骤是：
(1)用 把古典概型试验的基本事件一一列出来；
(2)从中找出事件A包含的 ；
(3)P(A)＝______________________.答案知识点三 古典概型及其概率计算公式返回有限相等列举法基本事件及个数类型一 随机事件的频率与概率解析答案题型探究 重点难点 个个击破例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：(1)计算表中乒乓球优等品的频率；解 表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解析答案反思与感悟解 由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.?反思与感悟解析答案跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题.(1)完成上面表格；解 填入表中的数据依次为1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，
0.913，0.893，0.903，0.905.(2)该油菜子发芽的概率约是多少？解 该油菜子发芽的概率约为0.900.解析答案类型二 互斥事件的概率解析答案反思与感悟例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不超过7环的概率.解 记“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，“射中8环”为事件C，“射中7环”为事件D.
则事件A、B、C、D两两互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16.
(1)∵射中10环或9环为事件A∪B，
∴由概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.
(2)∵至少射中7环的事件为A∪B∪C∪D，
∴P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.解析答案反思与感悟(3)记“射中环数不超过7环”为事件E，
则事件E的对立事件为A∪B∪C.
∵P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，
∴P(E)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.71＝0.29.反思与感悟把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法.反思与感悟跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人.(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？解析答案(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？解析答案类型三 古典概型的概率解析答案例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；?解析答案反思与感悟(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.?处理古典概型时注意：
(1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意有无顺序要求.反思与感悟跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.
(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；解析答案解 将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，则第一次取1只，第二次取1只，基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，共9个.
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，共4个；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共4个.(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率.解析答案?类型四 古典概型概率的综合应用解析答案例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；解 样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.解析答案(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；?解析答案反思与感悟(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率.解 样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为?本题经历了获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策全过程.反思与感悟跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：解析答案(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；?(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.解析答案返回?1.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9A达标检测 12345解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.解析答案2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3.
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )12345解析答案B3.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )?解析答案A1234512345解析 因为事件A与事件B是互斥事件，D解析答案123455.一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是( )解析答案解析 摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，C规律与方法?返回3.事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件数有多少个.回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.课件35张PPT。第三章 概率章末复习课1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率；
2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率；
3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.知识整合题型探究达标检测学习目标[知识网络]知识整合 新知探究 点点落实答案[知识梳理]1.频率与概率
频率是概率的 ，是随机的，随着试验的不同而 ；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个 ，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
2.求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此 的事件的和；对立近似值变化常数互斥答案?区域整个区域返回类型一 频率与概率解析答案题型探究 重点难点 个个击破例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；解 表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.解析答案(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？解 当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解 设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.反思与感悟概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计.反思与感悟解析答案跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？解 由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.解析答案(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？解 击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？解 由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解 不一定.类型二 互斥事件与对立事件解析答案例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟解 把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20种.解析答案反思与感悟反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.反思与感悟跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券.
(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；解析答案解 把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}.
用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率.解析答案解 无放回地从债券中任取2张，所有可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}.
用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，类型三 古典概型与几何概型解析答案例3 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；解 计算10件产品的综合指标S，如下表：?解析答案反思与感悟(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.解 ①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种.反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限.反思与感悟跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )解析答案解得x＝1或x＝－5(舍去)，D类型四 列举法与数形结合解析答案例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？解 记三人为A、B、C,则4次传球的所有可能可用树状图方式列出：如下图.
每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，
而又回到A手中的事件个数为6个，反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达.反思与感悟跟踪训练4 设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率.解析答案?返回1.下列事件中，随机事件的个数为( )
①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰.
A.1 B.2 C.3 D.4达标检测 12345解析答案解析 ①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件.故选C.
答案 C123452.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.必然事件解析答案解析 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，
故两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，
故两者不是对立事件，
所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.B123453.下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12345解析答案解析 古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.
①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；
对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，
故选A.
答案 A1234512345解析答案?C12345解析答案?C规律与方法1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.
4.关于随机数与随机模拟试验问题
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组.
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.返回章末复习课
课时目标 1.加深对事件、概率、古典概型、几何概型及随机模拟意义的理解.2.提高应用概率解决实际问题的能力．
1．抛掷两颗骰子，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率为( )
A. B. C. D.
2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为( )
A．120 B．200 C．150 D．100
3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B. C. D.
4．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
5．在闭区间[－1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．
6．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
一、选择题
1．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A. B. C. D.
2．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在x2＋y2＝9内的概率为( )
A. B. C. D.
3．某单位电话总机室内有2部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.5
4．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集合，则C((A∩B)的概率是( )
A. B. C. D.
5．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( )
A. B. C. D.
6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．有1杯2 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1 L，这一小杯水中含有细菌的概率是________．
8．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.
9．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率为________．
三、解答题
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
能力提升
11．将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率．
12．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
①本试验是否是等可能的？
②本试验的基本事件有多少个？
③事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
4．关于随机数与随机模拟试验问题
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．
答案：
章末复习课
双基演练
1．B [抛掷两枚骰子出现的可能结果有6×6＝36(个)，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍，包含(1,2)，(2,4)，(3,6)，(2,1)，(4,2)，(6,3)共6个基本事件，故所求概率为＝.]
2．A [因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；所以＝0.25，从而有N＝120.]
3．C [由log2xy＝1?2x＝y，x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}．
∴共三种．∴P＝＝.]
4.
解析 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，∴概率为.
5.
解析
如图所示
P＝＝.
6．解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，
所以P(A)＝＝＝0.4.
作业设计
1．A [总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽得的概率为P＝＝＝.]
2．D [掷骰子共有36个结果，而落在圆x2＋y2＝9内的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种，∴P＝＝.]
3．B [所求的概率为0.4＋0.5－0.2＝0.7.]
4．A [A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{1,3,5}，
在A∪B中任取两个元素，共有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(种)不同的取法，
从A∩B中任取2个元素，共有1 3,1 5,3 5三种不同取法，因此，C((A∩B)的概率是P＝.]
5．A[从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32共6种，每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验属于古典概型，记事件B为“取出两个不同数字组成两位数大于23”，则B中包含31,32两个基本事件，根据古典概型概率公式，得P(A)＝＝.]
6．C
[如图，在AB边取点P′，
使＝，
则P只能在AP′内运动，则概率为＝.]
7.
解析 此为与体积有关的几何概型问题，
∴P＝＝.
8.
解析 由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
9.
解析 P＝＝.
10．解 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式，有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
11．解 设A＝{3段构成三角形}，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，则试验的全部结果可构成集合
Ω＝{(x，y)|0l－x－y?x＋y>，
x＋l－x－y>y?y<，
y＋l－x－y>x?x<.
故所求结果构成集合
A＝{(x，y)|x＋y>，y<，x<}．
如图，阴影部分表示集合A，△OBC表示集合Ω，故所求概率为P(A)＝＝＝，
即折成的3段能构成三角形的概率为.
12．解 在坐标系中画出矩形(x＝0，x＝2，y＝0，y＝8所围成的部分)，利用面积比与概率、频率的关系进行计算．
(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)进行伸缩变换a＝a1]N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴＝，∴S≈，即为阴影部分的面积的近似值．
