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华师大版数学八年级定理与证明教学设计
课题 定理与证明 单元 13.1.2 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 理解基本事实、定理的含义； 梳理所学的基本事实和定理； 通过实例理解证明过程；
重点 通过实例理解证明过程
难点 通过实例理解证明过程
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 练习下列语句是命题的是（ ） 延长AB到C； 两条直线互相垂直；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；命题“直角都相等”的条件是（ ） 直角 如果两个角是直角相等直角相等命题“三角形内角和为180°”的结论是（ ） A、180° 和为180° 三角形三个内角的和为180°说明命题“如果两个有理数的和为非正数，那么这两个有理数为非正数”是假命题，下列举反例正确的是（ ） 两个有理数是-2和-3； 两个有理数是-2和0；两个有理数是3和0；两个有理数是-5和3；提出问题 要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证。如何证明呢？ 动口 思考 巩固 引出新课
讲授新课 真命题的等级基本事实（公理）：公认的真命题； 两点确定一条直线； 两点之间，线段最短；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。定理：从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据。这样的真命题叫做定理。 平行线的判定定理和性质定理 三角形的内角和定理，外角和定理，外角的性质定理，三角形三边的性质定理； 多边形的内角和定理，外角和定理； 发现、猜想与证明 发现与猜想 一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3 2×3+1=7 2×3×5+1=31 2×3×5×7+1=211 于是，他根据上面的结果并利用表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定是质数，他的结论正确吗？ 计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509，不是质数。 因此，这个猜想的结论是错误的。如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条这的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部。他的结论正确吗？画一个钝角三角形试试看。钝角三角形的三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部。因此，这个猜想的结论是错误的。我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°。这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 这是一个正确的结论。 上面几个例子说明：通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，通过这种方式得到的结论，还需要进一步证实。 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。 推理的依据：已知条件、定义、基本事实、已知的定理，等式的性质和不等式的性质，等量代换； 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据。示例：直角三角形的两个锐角互余已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°。 求证：∠A+∠B=90°。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=180°-∠C=90°（等式的性质） 练习 一位同学在钻研数学题时发现： 3+2=5 32+2=11 33+2=29 34+2=83 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：3n+2一定是质数。他的结论正确吗？ 小兵学了定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，也大胆的提出猜想：n边形的一个外角等于与它不相邻的n-1个内角的和，他猜想的结论正确吗？3、如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4=∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程： 证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ED∥BC（已知） ∴∠5=∠2（ ） ∴∠1=∠5（等量代换） ∵∠4=∠5（已知） ∴EF∥ （ ） ∴∠3=∠1（ ） ∴∠3= （等量代换） ∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）布置作业课本P58页练习1、2题； 课本P58页习题13.1第3题； 读并理解 读并理解 回顾与交流 动口 动手 交流 观察与思考 动手 交流 回顾与思考 总结与交流 读并理解 动口 动手 梳理 再认识 体验 举反例 举反例 明确证明的重要性 明确证明的依据 体验证明 巩固
课堂小结 学生小结后，教师小结：这节课学习了定理与证明。定理是证明的依据。
板书
三、证明
定理
二、发现与猜想
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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(共22张PPT)
定理与证明PPT
数学华师大版 八年级上
新知导入
一、练习
1、下列语句是命题的是（ ）
A、延长AB到C； B、两条直线互相垂直；
C、同角的补角相等； D、两直线平行，内错角相等；
2、命题“直角都相等”的条件是（ ）
A、直角 B、两个角是直角
C、相等 D、直角相等
D
B
新知导入
一、练习
3、命题“三角形内角和为180°”的结论是（ ）
A、180° B、和为180°
C、三角形 D、三个内角的和为180°
4、说明命题“如果两个有理数的和为非正数，那么这两个有理数为非正数”是假命题，下列举反例正确的是（ ）
A、两个有理数是-2和-3； B、两个有理数是-2和0；
C、两个有理数是3和0； D、两个有理数是-5和3；
D
D
新知导入
二、提出问题
要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证。
如何证明呢？
新知讲解
一、真命题的等级
基本事实
公认的真命题。（也叫公理）
所学的基本事实有：
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
新知讲解
一、真命题的等级
从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据。这样的真命题叫做定理。
定 理
基本事实
定 理
定 理
新知讲解
一、真命题的等级
已学的主要定理
(1) 平行线的判定定理和性质定理
(2) 三角形的内角和定理，外角和定理，外角的性质定理，三角形三边的性质定理；
(3) 多边形的内角和定理，外角和定理；
新知讲解
二、发现、猜想与证明
发现与猜想
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
2+1=3
2×3+1=7
2×3×5+1=31
2×3×5×7+1=211
于是，他根据上面的结果并利用表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定是质数，他的结论正确吗？
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
新知讲解
二、发现、猜想与证明
发现与猜想
2×3×5×7×11+1=2311
2311是质数。
2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509
30031不是质数。
因此，这个猜想的结论是错误的。
新知讲解
二、发现、猜想与证明
发现与猜想
（2）如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条这的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部。他的结论正确吗？
新知讲解
二、发现、猜想与证明
发现与猜想
画一个钝角三角形试试看。
钝角三角形的三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部。
因此，这个猜想的结论是错误的
新知讲解
二、发现、猜想与证明
发现与猜想
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°。这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
这是一个正确的结论。
新知讲解
二、发现、猜想与证明
发现与猜想
特殊事例
发现、猜想
命 题
证 明
真命题
新知讲解
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。
二、发现、猜想与证明
证 明
已知事项
演绎推理
未知事项
推理的依据：已知条件、定义、基本事实、已知的定理，等式的性质和不等式的性质，等量代换；
新知讲解
二、发现、猜想与证明
示例：直角三角形的两个锐角互余
已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°
（三角形的内角和等于180°），
又∵∠C=90°
（已知），
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
（等式的性质）
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据。
课堂练习
1、一位同学在钻研数学题时发现：
3+2=5
32+2=11
33+2=29
34+2=83
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：3n+2一定是质数。他的结论正确吗？
不正确。因为35+2=245=5×7×7，不是质数。
课堂练习
2、小兵学了定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，也大胆的提出猜想：n边形的一个外角等于与它不相邻的n-1个内角的和，他猜想的结论正确吗？
不正确。因为正方形的一个外角为90°，不相邻的三个内角的和为90°×3=270°，90°≠270°。
课堂练习
3、如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4=∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：
证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵ED∥BC（已知）
∴∠5=∠2（ ）
∴∠1=∠5（等量代换）
∵∠4=∠5（已知）
∴EF∥ （ ）
∴∠3=∠1（ ）
∴∠3= （等量代换）
∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）
两直线平行，内错角相等
BD
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
∠4
课堂总结
这节课有哪些收获？
基本事实
（公理）
证 明
定 理
不等式的性质
等量代换
作业布置
1、课本P58页练习1、2题；
2、课本P58页习题13.1第3题；
谢谢
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