人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：03【基础】排列
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：03【基础】排列 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 191.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-21 17:50:18 | ||
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文档简介
排 列
【学习目标】
1．理解排列的概念.
2．能利用计数原理推导排列数公式．
3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、排列的概念
1. 排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
要点诠释：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
要点二：排列数
1.排列数的定义
从/个不同元素中，任取/（/）个元素的所有排列的个数叫做从/个元素中取出/元素的排列数，用符号/表示.
要点诠释：
（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．
比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号/表示排列数，在此题中/．
2．排列数公式
/，其中n，m∈N+，且m≤n．
要点诠释：
(1)公式特征：
第一个因数是/，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是/，共有/个因数。
(2)公式含义：
①/的意义：假定有排好顺序的2个空位，从/个元素/中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。
第一步：在第一个空位填一个元素，有/种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有/种方法；
由分步计数原理完成上述填空共有/种填法，
∴/=/.
②求/可以理解为：从/个元素/中任取/个不同的元素去填空（不能重复），
第一步：在第一个空位填一个元素，有/种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有/种方法；
第三步：在第三个空位填一个元素，有/种方法；
…
第/步：在第/个空位填一个元素，有/种方法；
依据分步记数原理，共有/种方法。
要点三：阶乘表示式
1．全排列：
/个不同元素全部取出的一个排列，叫做/个不同元素的一个全排列。
全排列/.
2．阶乘的概念：
把正整数1到/的连乘积，叫做/的阶乘.表示：/，即//.
规定：/．
3. 排列数公式的阶乘式：
/ 所以/．
要点四：排列的常见类型与处理方法
1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．
2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．
3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。
4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。
要点诠释：
当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。
即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。
【典型例题】
类型一、与排列数有关的运算
例1．计算：（1）/；（2）/；（3）/
【解析】
（1）/＝/
（2）/＝/＝/
（3）/＝/
【总结升华】
利用排列数公式要准确把握公式的结构特征——/就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。
举一反三：
【变式1】 计算：(1) / (2)/；
【答案】 (1) /＝/＝360.
(2) //．
【变式2】若/，则/ ，/ ．
【答案】由排列数定义，n是连乘式中最大的数，m是因数个数, 故/17，/14。
类型二、排列的定义及其理解
例2． 判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？
（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？
（3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？
（4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？
（5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？
【思路点拨】
判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．
【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题．
【总结升华】
判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．
举一反三：
【变式】判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？
【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
（2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题．
例3．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。
【解析】 任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是/=14×13=182.
【总结升华】
当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。
举一反三：
【变式1】5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？
【答案】120；
问题可以看作5个元素的全排列/；
【变式2】
(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【答案】
(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是/=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.
【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，
①能够组成多少个没有重复数字的三位数？
②能够组成多少个三位数？
【答案】
① 从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：/（个）
∴能组成60个无重复数字的三位数。
② 可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有/种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有/种不同的排法；第三步排个位也有/种不同的排法，由分步计数原理有：/（个）
∴能够组成125个三位数。
【变式4】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．
第114个数是多少？ ⑵ 3796是第几个数？
【答案】3968，95
因为千位数是1的四位数一共有/个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有/个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968” 是第114个数．
由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．
类型三、简单排列应用题的解法
例4． 有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？
（1）甲排在正中间；
（2）甲不在排头，乙不在排尾；
【思路点拨】 本题主要考查有限制条件的排列问题．注意对特殊元素的处理．
【解析】
（1）甲排在正中间位置，其他6人排在余下的六个位置上，共有/种排法．
（2）分四类考虑：
①甲不在排头，乙不在排尾，甲也不在排尾，乙也不在排头：（即甲、乙在中间5个位置上），有/种排法；
②乙在排头，甲不在排头也不在排尾，有/种排法；
③甲在排尾，乙不在排头也不在排尾，有/种排法；
④甲在排尾且乙在排头，共有/种排法．
根据分类计数原理，共有/（种）．
【总结升华】
本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．
举一反三：
【变式1】六人站成一排，其中甲必须排在排头，乙必须排在排尾的排法有多少种？
【答案】首先把甲排在排头，乙排在排尾，仅有一排法，再把其余的四名同学全排在中间的四个位置上有/种不同的排法，则总数有N=1，/（种）。
【变式2】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
【答案】
解法一：（从特殊位置考虑）/；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：/；若不选：/，
则共有/种；
解法三：（间接法）//
例5. 求下列不同的排法种数：
(1)6男2女排成一排，2女相邻；
(2)6男2女排成一排，2女不能相邻；
(3)5男3女排成一排，3女都不能相邻.
【思路点拨】显然题（1）是一个相邻问题，题（2）（3）是一个不相邻问题。
【解析】 (1)捆绑法：
把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，
组外排列为/，女生组内排列为/，
因此排法种数为/.
(2)法一：从总体排法数中除去2女相邻的排法，即得2女不相邻的排法/种.
法二：插空法
6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有/种排法.
(3)插空法：
5男先排实位，再在6个空位中排3女，共有/种排法.
【总结升华】
某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”．
举一反三：
【变式1】有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？
（1）三个女生排在一起；
（2）三个女生两两都不相邻．
【答案】
（1）（捆绑法）分两步：先把三个女生算一个元素与其他四个男生排，有/种排法，再排三个女生有/种排法，由分步计数原理，有/种不同排法．
（2）（插空法）分两步：先排四个男生有/种排法，再让三个女生插入5个空中，有/种插法，由分步计数原理，共有/种不同排法．
【变式2】有不同的数学书、语文书各5本，求下列不同的排法种数。
(1)数学书必须排在一起；
(2)数学书、语文书分别排在一起；
(3)数学书不全排在一起；
(4)任何两本数学书都不相邻；
【答案】
(1)将数学书捆在一起与语文书进行排列，有A66种排法，而数学书本身有A55种排法，故共有A65·A55种排法.
(2)同上法，有A22·A55·A55种排法.
(3)从反面考虑：10本书共有排法A1010种，剔除数学书全在一起的A66·A55种排法，故有A1010-A66·A55种排法.
(4)先将语文书排好，有A55种排法，再将5本数学书插到语文书形成的6个空档之中，有A65种排法，故共有A55·A65种排法.
【变式3】（2018 惠州模拟）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。
A．24 B．48 C．72 D．120
【答案】由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为种。
故选B。
【变式4】(2018 辽宁) 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A． 144 B． 120
C． 72 D． 24
【答案】
3人全排，有＝6种方法，
形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，
根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4＝24种．
故选：D．
例6. 由0，1，2，3这四个数字，
（1）能够组成多少个无重复数字的三位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
【思路点拨】
该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．
【解析】
（1）解法一：因为在一个三位数中，百位数字不能排0，所以可分两步来解：第一步从1，2，3这三个数字中任选一个排在百位有/种不同的排法；第二步再从余下的三个数中任选两个分别排在十位与个位有/种不同的排法；由乘法原理可得： 总数：/
解法二：由于0不能排在百位，则此问题可分为两类：第一类是不含0，则可组成/个不同的三位数；第二类是含0，先把0排在十位或个位上，有种/不同的排法，再从1，2，3中任选两个排在剩余的两位置上有/种不同的排法，那么含0的三位数有//个，由加法原理可得：总数///=6+12=18（个）。
解法三：先求出0排在首位的三个不重复数的三位数有/个，然后从所求不重复三位数字的排列数/中将它减去，有：/（个）
（2）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有/个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有/种），十位和百位从余下的数字中选（有/种），于是有/个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有/个．
由分类计数原理知，共有四位偶数：/（个）．
【总结升华】
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．
举一反三：
【变式1】用数字0，l，2，3，4，5组成没有重复数字的数．
（l）能组成多少个六位数？
（2）能组成多少个六位奇数？
【答案】
（l）第一位不能是0，有/种方法，其他各位有/种方法，共有六位数的个数是/
（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，所以所求六位奇数的个数是/
【变式2】 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
【答案】
能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有/个，末尾为25的有
/个，所以一共有/＋/＝21个．
注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．
⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有/个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有/个．
【变式3】用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）
【答案】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有/种，再将７、８插入4个空位中的两个有/种，故有/种．
【巩固练习】
一、选择题
1．若/，则/（ ）
A./ B./ C./ D./
2．四支篮球队争夺冠、亚军，不同的结果有( )
/．/种 /．10种 /．12种 /．16种
3．7名同学排成一排，其中甲、乙人必须排在一起的不同排法有（ ）．
A．720种 B．360种 C．1440种 D．120种
4. （2018 丰台区一模）有三对师徒共6人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ）
A．72 B．54 C．48 D．8
5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（??????）
A.36种???????????B.42种?????????????C.48种????????????D.54种
6．（2018 赣州一模）甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人。其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（ ）种。
A．36 B．39 C．42 D．45
7．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）．
A．60个 B．48个 C．36个 D．24个
8．某歌舞团要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，要求舞蹈节目不排第一，并且任何2个舞蹈节目不连排．不同的排法种数是（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
二、填空题
9．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可以组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________．
10．由0，1，3，5，7，9这六个数字可组成________个没有重复数字的六位奇数．
11、一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连续空位的坐法种数为 。
12、（2018 四川模拟改编）小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有 种。
三、解答题
13．（1）有5个不同的科研课题，从中选3个由高二（3）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
（2）有5个不同的科研课题，高二（3）班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？
14. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？
（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？
15．5名男生，4名女生站成一排，求：
（1）男女生相互间隔的排法种数？
（2）男生连排，女生也连排的排法种数？
（3）4名女生连排的排法种数？
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】///
2. 【答案】12
【解析】/
3【答案】96
【解析】/
4. 【答案】C
【解析】用分步原理：
第一步：把每一对师徒看成一整体，共有3×2=6种方法；
第二步：每对师徒都有两种站法共有2×2×2=8种；
∴总的方法为6×8=48种。
故选C。
5./
6. 【答案】 B
【解析】
第一类，甲在10月5日值，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有种，
第二类，甲不在10月5日值班，则甲在10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，
根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选B。
7．【答案】C
【解析】 个位/，万位/，其余/，共计/．
8．【答案】C
【解析】 5个独唱节目的排法是/，舞蹈节目不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈节目不连排，只要把舞蹈节目插入独唱节目构成的5个空隙中即可，即舞蹈节目的排法是/，∴排法种数是/．
9．【答案】12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
【解析】列举法
10．【答案】480
【解析】 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有/，其余的有/，共有/．
11、【答案】480
【解析】采用“捆绑法”，把5个连续空位看成一个整体，再采用“插空法”，把两个空位（一个是“一个空位”，一个是“五个连续空位”），插入4人的空档，故总数/
12、【答案】14
【解析】小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，
第一类小明在排尾，其余3人全排，故有种，
第二类小明有在排尾，先排小明，有种方法，再排小张有种方法，剩下的2人有种排法，故有2×2×2=8种
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故选A。
13．【解析】（1）从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法种数是/．
（2）3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且都选择完才算做完这件事，由分步计数原理知共有5×5×5=125种方法．
14. 【解析】（1）/,（2）（/）
15．【解析】（1）先排男生，有/种排法；
再将女生插空，有/种排法，
故共有/·/=2880种不同排法.
（2）将男生排左端，女生排右端，有/·/种排法；
还可将女生排左端，男生排右端，有/·/种排法，
故共有/·/+/·/=5760种排法.
（3）捆绑法，有/·/=17280种不同方法.
【学习目标】
1．理解排列的概念.
2．能利用计数原理推导排列数公式．
3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、排列的概念
1. 排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
要点诠释：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
要点二：排列数
1.排列数的定义
从/个不同元素中，任取/（/）个元素的所有排列的个数叫做从/个元素中取出/元素的排列数，用符号/表示.
要点诠释：
（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．
比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号/表示排列数，在此题中/．
2．排列数公式
/，其中n，m∈N+，且m≤n．
要点诠释：
(1)公式特征：
第一个因数是/，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是/，共有/个因数。
(2)公式含义：
①/的意义：假定有排好顺序的2个空位，从/个元素/中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。
第一步：在第一个空位填一个元素，有/种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有/种方法；
由分步计数原理完成上述填空共有/种填法，
∴/=/.
②求/可以理解为：从/个元素/中任取/个不同的元素去填空（不能重复），
第一步：在第一个空位填一个元素，有/种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有/种方法；
第三步：在第三个空位填一个元素，有/种方法；
…
第/步：在第/个空位填一个元素，有/种方法；
依据分步记数原理，共有/种方法。
要点三：阶乘表示式
1．全排列：
/个不同元素全部取出的一个排列，叫做/个不同元素的一个全排列。
全排列/.
2．阶乘的概念：
把正整数1到/的连乘积，叫做/的阶乘.表示：/，即//.
规定：/．
3. 排列数公式的阶乘式：
/ 所以/．
要点四：排列的常见类型与处理方法
1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．
2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．
3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。
4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。
要点诠释：
当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。
即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。
【典型例题】
类型一、与排列数有关的运算
例1．计算：（1）/；（2）/；（3）/
【解析】
（1）/＝/
（2）/＝/＝/
（3）/＝/
【总结升华】
利用排列数公式要准确把握公式的结构特征——/就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。
举一反三：
【变式1】 计算：(1) / (2)/；
【答案】 (1) /＝/＝360.
(2) //．
【变式2】若/，则/ ，/ ．
【答案】由排列数定义，n是连乘式中最大的数，m是因数个数, 故/17，/14。
类型二、排列的定义及其理解
例2． 判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？
（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？
（3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？
（4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？
（5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？
【思路点拨】
判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．
【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题．
【总结升华】
判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．
举一反三：
【变式】判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？
【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
（2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题．
例3．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。
【解析】 任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是/=14×13=182.
【总结升华】
当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。
举一反三：
【变式1】5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？
【答案】120；
问题可以看作5个元素的全排列/；
【变式2】
(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【答案】
(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是/=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.
【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，
①能够组成多少个没有重复数字的三位数？
②能够组成多少个三位数？
【答案】
① 从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：/（个）
∴能组成60个无重复数字的三位数。
② 可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有/种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有/种不同的排法；第三步排个位也有/种不同的排法，由分步计数原理有：/（个）
∴能够组成125个三位数。
【变式4】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．
第114个数是多少？ ⑵ 3796是第几个数？
【答案】3968，95
因为千位数是1的四位数一共有/个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有/个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968” 是第114个数．
由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．
类型三、简单排列应用题的解法
例4． 有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？
（1）甲排在正中间；
（2）甲不在排头，乙不在排尾；
【思路点拨】 本题主要考查有限制条件的排列问题．注意对特殊元素的处理．
【解析】
（1）甲排在正中间位置，其他6人排在余下的六个位置上，共有/种排法．
（2）分四类考虑：
①甲不在排头，乙不在排尾，甲也不在排尾，乙也不在排头：（即甲、乙在中间5个位置上），有/种排法；
②乙在排头，甲不在排头也不在排尾，有/种排法；
③甲在排尾，乙不在排头也不在排尾，有/种排法；
④甲在排尾且乙在排头，共有/种排法．
根据分类计数原理，共有/（种）．
【总结升华】
本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．
举一反三：
【变式1】六人站成一排，其中甲必须排在排头，乙必须排在排尾的排法有多少种？
【答案】首先把甲排在排头，乙排在排尾，仅有一排法，再把其余的四名同学全排在中间的四个位置上有/种不同的排法，则总数有N=1，/（种）。
【变式2】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
【答案】
解法一：（从特殊位置考虑）/；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：/；若不选：/，
则共有/种；
解法三：（间接法）//
例5. 求下列不同的排法种数：
(1)6男2女排成一排，2女相邻；
(2)6男2女排成一排，2女不能相邻；
(3)5男3女排成一排，3女都不能相邻.
【思路点拨】显然题（1）是一个相邻问题，题（2）（3）是一个不相邻问题。
【解析】 (1)捆绑法：
把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，
组外排列为/，女生组内排列为/，
因此排法种数为/.
(2)法一：从总体排法数中除去2女相邻的排法，即得2女不相邻的排法/种.
法二：插空法
6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有/种排法.
(3)插空法：
5男先排实位，再在6个空位中排3女，共有/种排法.
【总结升华】
某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”．
举一反三：
【变式1】有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？
（1）三个女生排在一起；
（2）三个女生两两都不相邻．
【答案】
（1）（捆绑法）分两步：先把三个女生算一个元素与其他四个男生排，有/种排法，再排三个女生有/种排法，由分步计数原理，有/种不同排法．
（2）（插空法）分两步：先排四个男生有/种排法，再让三个女生插入5个空中，有/种插法，由分步计数原理，共有/种不同排法．
【变式2】有不同的数学书、语文书各5本，求下列不同的排法种数。
(1)数学书必须排在一起；
(2)数学书、语文书分别排在一起；
(3)数学书不全排在一起；
(4)任何两本数学书都不相邻；
【答案】
(1)将数学书捆在一起与语文书进行排列，有A66种排法，而数学书本身有A55种排法，故共有A65·A55种排法.
(2)同上法，有A22·A55·A55种排法.
(3)从反面考虑：10本书共有排法A1010种，剔除数学书全在一起的A66·A55种排法，故有A1010-A66·A55种排法.
(4)先将语文书排好，有A55种排法，再将5本数学书插到语文书形成的6个空档之中，有A65种排法，故共有A55·A65种排法.
【变式3】（2018 惠州模拟）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。
A．24 B．48 C．72 D．120
【答案】由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为种。
故选B。
【变式4】(2018 辽宁) 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A． 144 B． 120
C． 72 D． 24
【答案】
3人全排，有＝6种方法，
形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，
根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4＝24种．
故选：D．
例6. 由0，1，2，3这四个数字，
（1）能够组成多少个无重复数字的三位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
【思路点拨】
该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．
【解析】
（1）解法一：因为在一个三位数中，百位数字不能排0，所以可分两步来解：第一步从1，2，3这三个数字中任选一个排在百位有/种不同的排法；第二步再从余下的三个数中任选两个分别排在十位与个位有/种不同的排法；由乘法原理可得： 总数：/
解法二：由于0不能排在百位，则此问题可分为两类：第一类是不含0，则可组成/个不同的三位数；第二类是含0，先把0排在十位或个位上，有种/不同的排法，再从1，2，3中任选两个排在剩余的两位置上有/种不同的排法，那么含0的三位数有//个，由加法原理可得：总数///=6+12=18（个）。
解法三：先求出0排在首位的三个不重复数的三位数有/个，然后从所求不重复三位数字的排列数/中将它减去，有：/（个）
（2）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有/个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有/种），十位和百位从余下的数字中选（有/种），于是有/个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有/个．
由分类计数原理知，共有四位偶数：/（个）．
【总结升华】
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．
举一反三：
【变式1】用数字0，l，2，3，4，5组成没有重复数字的数．
（l）能组成多少个六位数？
（2）能组成多少个六位奇数？
【答案】
（l）第一位不能是0，有/种方法，其他各位有/种方法，共有六位数的个数是/
（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，所以所求六位奇数的个数是/
【变式2】 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
【答案】
能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有/个，末尾为25的有
/个，所以一共有/＋/＝21个．
注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．
⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有/个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有/个．
【变式3】用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）
【答案】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有/种，再将７、８插入4个空位中的两个有/种，故有/种．
【巩固练习】
一、选择题
1．若/，则/（ ）
A./ B./ C./ D./
2．四支篮球队争夺冠、亚军，不同的结果有( )
/．/种 /．10种 /．12种 /．16种
3．7名同学排成一排，其中甲、乙人必须排在一起的不同排法有（ ）．
A．720种 B．360种 C．1440种 D．120种
4. （2018 丰台区一模）有三对师徒共6人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ）
A．72 B．54 C．48 D．8
5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（??????）
A.36种???????????B.42种?????????????C.48种????????????D.54种
6．（2018 赣州一模）甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人。其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（ ）种。
A．36 B．39 C．42 D．45
7．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）．
A．60个 B．48个 C．36个 D．24个
8．某歌舞团要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，要求舞蹈节目不排第一，并且任何2个舞蹈节目不连排．不同的排法种数是（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
二、填空题
9．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可以组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________．
10．由0，1，3，5，7，9这六个数字可组成________个没有重复数字的六位奇数．
11、一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连续空位的坐法种数为 。
12、（2018 四川模拟改编）小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有 种。
三、解答题
13．（1）有5个不同的科研课题，从中选3个由高二（3）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
（2）有5个不同的科研课题，高二（3）班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？
14. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？
（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？
15．5名男生，4名女生站成一排，求：
（1）男女生相互间隔的排法种数？
（2）男生连排，女生也连排的排法种数？
（3）4名女生连排的排法种数？
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】///
2. 【答案】12
【解析】/
3【答案】96
【解析】/
4. 【答案】C
【解析】用分步原理：
第一步：把每一对师徒看成一整体，共有3×2=6种方法；
第二步：每对师徒都有两种站法共有2×2×2=8种；
∴总的方法为6×8=48种。
故选C。
5./
6. 【答案】 B
【解析】
第一类，甲在10月5日值，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有种，
第二类，甲不在10月5日值班，则甲在10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，
根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选B。
7．【答案】C
【解析】 个位/，万位/，其余/，共计/．
8．【答案】C
【解析】 5个独唱节目的排法是/，舞蹈节目不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈节目不连排，只要把舞蹈节目插入独唱节目构成的5个空隙中即可，即舞蹈节目的排法是/，∴排法种数是/．
9．【答案】12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
【解析】列举法
10．【答案】480
【解析】 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有/，其余的有/，共有/．
11、【答案】480
【解析】采用“捆绑法”，把5个连续空位看成一个整体，再采用“插空法”，把两个空位（一个是“一个空位”，一个是“五个连续空位”），插入4人的空档，故总数/
12、【答案】14
【解析】小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，
第一类小明在排尾，其余3人全排，故有种，
第二类小明有在排尾，先排小明，有种方法，再排小张有种方法，剩下的2人有种排法，故有2×2×2=8种
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故选A。
13．【解析】（1）从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法种数是/．
（2）3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且都选择完才算做完这件事，由分步计数原理知共有5×5×5=125种方法．
14. 【解析】（1）/,（2）（/）
15．【解析】（1）先排男生，有/种排法；
再将女生插空，有/种排法，
故共有/·/=2880种不同排法.
（2）将男生排左端，女生排右端，有/·/种排法；
还可将女生排左端，男生排右端，有/·/种排法，
故共有/·/+/·/=5760种排法.
（3）捆绑法，有/·/=17280种不同方法.