人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：04【提高】排列

排 列
【学习目标】
1．理解排列的概念.
2．能利用计数原理推导排列数公式．
3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、排列的概念
1. 排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
要点二：排列数
1.排列数的定义
从/个不同元素中，任取/（/）个元素的所有排列的个数叫做从/个元素中取出/元素的排列数，用符号/表示.
要点诠释:
（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．
比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号/表示排列数，在此题中/．
2．排列数公式
/，其中n，m∈N+，且m≤n．
要点诠释:
(1)公式特征：
第一个因数是/，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是/，共有/个因数。
(2)公式含义：
①/的意义：假定有排好顺序的2个空位，从/个元素/中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。
第一步：在第一个空位填一个元素，有/种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有/种方法；
由分步计数原理完成上述填空共有/种填法，
∴/=/.
②求/可以理解为：从/个元素/中任取/个不同的元素去填空（不能重复），

第一步：在第一个空位填一个元素，有/种方法；
第二步：在第二个空位填一个元素，有/种方法；
第三步：在第三个空位填一个元素，有/种方法；
…
第/步：在第/个空位填一个元素，有/种方法；
依据分步记数原理，共有/种方法。
要点三：阶乘表示式
1．全排列：
/个不同元素全部取出的一个排列，叫做/个不同元素的一个全排列。
全排列/.
2．阶乘的概念：
把正整数1到/的连乘积，叫做/的阶乘.表示：/，即//.
规定：/．
3. 排列数公式的阶乘式：
/ 所以/．
要点四：排列的常见类型与处理方法
1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．
2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．
3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。
4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。
要点诠释：
当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。
即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。
【典型例题】
类型一、与排列数有关的运算
例1．计算：（1）/；（2）/；（3）/
【解析】
（1）/＝/
（2）/＝/＝/
（3）/＝/
【总结升华】利用排列数公式要准确把握公式的结构特征——/就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。
举一反三：
【变式1】若n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．
【答案】/
先确定最大数，即69－n，再确定因式的个数为(69－n)－(55－n)+1=15．
则由排列数公式得/．
【变式2】解方程：3/．
【答案】由排列数公式得：/，
∵/，∴ /，即/，
解得 /或/，∵/，且/，∴原方程的解为/．
类型二、排列的定义及其理解
例2． 判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？
（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？
（3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？
（4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？
（5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？
【思路点拨】
判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．
【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题．
【总结升华】
判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．
举一反三：
【变式1】从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
【答案】
这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：
甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素。
【变式2】判断下列问题是否是排列问题：
（1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？
【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
（2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题．
例3．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。
【解析】 任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是/=14×13=182.
【总结升华】
当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。
举一反三：
【变式1】从/这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？
【答案】20；
问题可以看作5个元素中任取2个元素的一个排列/；
【变式2】 某小组6个人排队照相留念，若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
【答案】分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．
∴/(种)
【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，
①能够组成多少个没有重复数字的三位数？
②能够组成多少个三位数？
【答案】
① 从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：/（个）
∴能组成60个无重复数字的三位数。
② 可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有/种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有/种不同的排法；第三步排个位也有/种不同的排法，由分步计数原理有：/（个）
∴能够组成125个三位数。
类型三、简单排列应用题的解法
例4.
（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
【思路点拨】 本题主要考查有限制条件的排列问题．注意对特殊元素的处理．
【解析】(1)问题可以看作：余下的6个元素的全排列——/=720．
(2)根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有/种；
第二步 余下的5名同学进行全排列有/种，所以，共有//=240种排列方法/
(3) 解法1（直接法）第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有/种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有/种方法，所以一共有//＝2400种排列方法/
解法2（排除法）若甲站在排头有/种方法；若乙站在排尾有/种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有/种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有/－/＋/=2400种．
【总结升华】
本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．
举一反三：
【变式1】7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
【答案】
方法一：直接法
第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有/种；
第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有/种，
所以共有//＝2400种方法。
方法二：排除法
若甲站在排头有/种方法；
若乙站在排尾有/种方法；
若甲站在排头且乙站在排尾则有/种方法，
所以，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有/－/＋2/=2400种。
【变式2】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？
【答案】
解法一：6门课总的排法是/，其中不符合要求的排法为：体育排在第一节，有/种排法，如图1-2-1中Ⅰ；数学排在最后一节，有/种排法，如图中Ⅱ．但这两种方法，都包括体育排在第一节且数学排在最后一节这种情况，如图中Ⅲ，有/种排法因此符合条件的排法应是：/．
解法二：根据要求，课表安排可分为4种情况：
①体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有/种；
②数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有排法/种；
③体育排在最后一节，但数学不排在第一节，有排法/种；
④数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法/种．
这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：/（种）．
例5.七位同学站成一排，下列情况有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
（4）甲、乙同学之间隔一人的排法共有多少种？
（5） 甲、乙两同学必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
【思路点拨】本题显然为相邻和不相邻问题。
【解析】
（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有/种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有/种方法．所以这样的排法一共有/种/
（2）方法同上，一共有//＝720种/
（3）先将其余四个同学排好有/种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有/种方法，所以一共有//＝1440种．
（4）先从其余5人中选1人有5中选法，放在甲、乙之间，将三人看成一个人有/种，然后甲乙互换位置以/种，共有5//＝1200种
（5）解法一：
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有/种方法；将剩下的4个元素进行全排列有/种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有/种方法．所以这样的排法一共有///＝960种方法/
解法二：
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2/种方法，
所以，丙不能站在排头和排尾的排法有/种方法/
解法三：
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有/种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有/种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有///＝960种方法．
【总结升华】
（1）某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”．
（2）某些元素顺序一定，可先求总的排列数，再求这些特殊元素的排列数，则符合条件的排列数为前者的排列数除以后者的排列数．
举一反三：
【变式1】(2018 北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　　　种．
【答案】
根据题意，分3步进行分析：
①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有A22＝2种情况，
②、将AB与剩余的2件产品全排列，有A33＝6种情况，
③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，
故不同的摆法有12×3＝36种，
故答案为：36．
【变式2】三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有多少种？
【答案】由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有/种不同的排法，再把三本不同的化学书在它们相邻的位置全排列有/种不同的排法，由乘法原理得：总数/（种）。
【变式3】用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）
【答案】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有/种，再将７、８插入4个空位中的两个有/种，故有/种．
【变式4】（2018 山东二模）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上。山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号1，3，5的三个品种有且只有两个邻邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种方法的种数为（ ）
A．432 B．456 C．534 D．720
【答案】
第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入在中间空中，再把4号插入到1，2，3，5所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有种，
第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有种，
从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有种，
故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240+288－72=456种，
故选B。
例6． 用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
【思路点拨】
该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．
【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有/个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有/种），十位和百位从余下的数字中选（有/种），于是有/个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有/个．
由分类计数原理知，共有四位偶数：/（个）．
（2）五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有/个；个位上的数字是5的五位数有/个．
故满足条件的五位数共有/．
（3）比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共/个；
第二类：形如14□□，15□□，共有/个；
第三类：形如134□，135□，共有/个；
由分类计数原理知，比1325大的四位数共有：/（个）．
【总结升华】
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．
举一反三：
【变式1】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（　　）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
【答案】选B．
对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有/个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有/个；故共有/个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
【变式2】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．
第114个数是多少？ ⑵ 3796是第几个数？
【答案】3968，95
因为千位数是1的四位数一共有/个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有/个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968” 是第114个数．
由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．
【变式3】由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，从小到大排列，42031是第几个数？（ ）
A、11 B、85 C、86 D、96
【答案】此题可分三类完成：第一类从1，2，3这三个数字中任选一个排在首位这样的数一定比42031小，其首位有/种不同的排法，再由余下的四个数在剩余的四个位置全排列有/种不同的排法，则第一类有/·/=72个，第二类是首位排4，千位排0或1的数一定比42031小，这样的数有/，第三类只有一个数42013，由加法原理得：/，所以42031是第86个数，故选C。
（注：比42031小的数有85个，但从小到大的顺序排列42031应是第86个数。）
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各式中，与排列数/相等的是（ ）．
A．/ B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C．/ D．/
2. 6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（??????）
A．240种????????B.360种?????????C.480种?????????D.720种
3. 6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列总数为：（ ）
A.3/ B.3/ C./·/ D./·/
4. 从a,b,c,d,e这5个元素中任取4个排成一列，b不排在第二的不同排法有（ ）
A./·/ B./·/ C./ D./·/
5．a，b，c，d，e共5人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（ ）种．
A．20 B．16 C．10 D．6
6．（2018 福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．72 B．96 C．144 D．240
7.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没重复数字的四位偶数，并将这些偶数从小到大排列起来，第71个数是（ ）
A.3140 B.3254 C.3012 D.3410
8. (2018 重庆)某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　 )
A． 72 B． 120 C． 144 D． 168
二、填空题
9、一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连续空位的坐法种数为 。
10. 在7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4×200米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有 种。
11．（2018 南昌校级二模）有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们排放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是 ．
12．点Z（a，b）的横、纵坐标可以从－3，－2，－1，0，1，2，3中取两个不同的数，以x轴的非负半轴为始边、向量/（O是原点）所在的射线为终边的角记为/．当/时，不同的点Z共有____个．
三、解答题
13．（1）有5个不同的科研课题，从中选3个由高二（3）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
（2）有5个不同的科研课题，高二（3）班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？
14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同奇排队方案的种数．
（1）全体站成一排，男生不能排在一起；
（2）全体站成一排，男、女生各不相邻；
（3）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
（4）全体站成一排，甲必须在乙的右边；
（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变．
15．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4310的四位偶数．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 /．
即/．
2./
3．【答案】D
【解析】采用“捆绑法”，把甲、乙、丙看作一整体，应选D。
4. 【答案】D
【解析】第二的位置有/种不同排法，其余三个位置则有/种不同的排法，由乘法原理故选D。
5. 【答案】B
【解析】 不考虑限制条件有/，若a偏偏要当副组长有/，/即为所求．
6. 【答案】C
【解析】先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有种，故选C。
7. 【答案】A
【解析】1排首位的没重复数字的四位偶数有/
2排首位的没重复数字的四位偶数有/
3排首位，0排百位的没重复数字的四位偶数有/
3排首位，1排百位的没重复数字的四位偶数有/
36+24+6+9=75>71
∴第71个数是3140，选A。
8．【答案】B
【解析】分2步进行分析：
1、先将三个歌舞类节目全排列，有A33＝6种情况，排好后，有4个空位，
2、因为三个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，
分2种情况讨论：
①、将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有2A22＝4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2＝48种；
②、将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22＝2种情况，
排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6＝72种；
则同类节目不相邻的排法种数是48＋72＝120，
故选：B．
9、【答案】480
【解析】采用“捆绑法”，把5个连续空位看成一个整体，再采用“插空法”，把两个空位（一个是“一个空位”，一个是“五个连续空位”），插入4人的空档，故总数/
10. 【答案】400
【解析】中间两棒的安排有/种，其余二棒的安排有/种，故由乘法原理，共有N=/·/=400种安排方法。
11．【答案】B
【解析】由题意，第一步将黄1和黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为 ,则不同的排法种数为.
12．【答案】36
【解析】 据题设，共有/个点Z，其中不满足/的点Z有（3，0）、（2，0）、（1，0）、（3，2）、（3，1）、（2，1）．所以符合要求的点Z共有/（个）．
13．【解析】（1）从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法种数是/．
（2）3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且都选择完才算做完这件事，由分步计数原理知共有5×5×5=125种方法．
14．【解析】（1）不相邻问题（插空法）：先排女生共有/种排法，男生在五个空中安插，有/种排法，故共有/种排法．
（2）让女生插空，共有/种排法．
（3）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故共有/种排法．
（4）甲与乙之间的左右关系各占一半，故共有/种排法．
（5）甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有排列的/，所以共有/种排法。
15．【解析】（1）解法一：从特殊位置入手（直接法）分三步完成，第一步先填个位，有/种填法；第二步再填十万位，有/三种填法；第三步填其他位，有/种填法，故共有/个六位奇数．
解法二：从特殊元素入手（直接法）0不在两端有/种排法，从1，3，5中任选一个排在个位有/种排法，其它各位上用剩下的元素作全排列有/种排法，故共有/个六位奇数．
解法三：（排除法）6个数字的全排列有/个，0，2，4在个位上的排列数为/个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数有/个，故对应的六位奇数的个数为/（个）．
（2）解法一：（排除法）0在十万位和5在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有/（个）．
解法二：（直接法）个位不排5，有A；种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：
第一类：当个位排0时，有/个．
第二类：当个位不排0时，有/个．
故共有符合题意的六位数/（个）．
（3）①当千位上排1，3时，有/．②当千位上排2时，有/个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有/个，形如41××的有/个，形如43××的只有4310和4302这两个数，故共有/（个）．