人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：05【基础】组合
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| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：05【基础】组合 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 187.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-21 17:51:24 | ||
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文档简介
组 合
【学习目标】
1．理解组合的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式．
3．能解决简单的实际问题．
4．理解组合与排列之间的联系与区别．
【要点梳理】
要点一：组合
1.定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
要点诠释：
从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.
要点二：组合数及其公式
1.组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
要点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．
2．组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到．
因此
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．
要点诠释：
组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
3. 组合数公式：
(1)（ 、，且）
(2) （ 、，且）
要点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
要点三：组合数的性质
性质1：（、，且）
性质2：（、，且）
要点诠释：
规定：.
要点四、纯组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数．
依据上述公式，其分法为（种）．
②分堆但不平均，其分法数为．
例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数．
依据上述公式，分到指定位置数为．
其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？
法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种）．
法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法；
第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）；
法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．
（5）指标问题用“隔板法”：
如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？
将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案．
注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．
要点五、组合组合的综合应用
处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：
先特殊后一般的原则
先取后排的原则
先分类后分步的原则
正难则反、等价转化原则．
【典型例题】
类型一、 组合概念及组合数公式
例1． 判断下列问题是组合问题还是排列问题．
（1）设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
（3）3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
（4）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
【思路点拨】 排列与顺序有关，组合与顺序无关．
【解析】
（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
（2）因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
（3）因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
（4）因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．
【总结升华】
区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”．
举一反三：
【变式1】平面内有10个点，
（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
【解析】线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．
（1）以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即以其中每2个点为端点的线段共有（条）
（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，
以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，
即以其中每2个点为端点的有向线段共(条)
【变式2】计算：（1）； （2）；
【答案】（1） ＝35；
（2）解法1：＝120．
解法2：＝120．
类型二、 组合应用题
例2．某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要选派5名参加赈灾医疗队,则
(1) 某内科医生必须参加,某外科医生不能参加,有几种选法?
(2) 至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加,有几种选法?
【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.
【解析】
(1) 某内科医生参加,某外科医生不参加,只需从剩下的18名医生中选4名即可,故有=3 060种.
(2)方法一(直接法):
至少有一名内科医生和至少有一名外科医生当选可分为四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656(种).
方法二(排除法):
事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的反面是“全部为内科医生或外科医生”,共有C512+C58种选法,则C520-(C512+C58)=14 656种.
【总结升华】
本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.
举一反三：
【变式1】（2018 西宁校级模拟）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】因为有且只有两个年级选择甲博物馆，
所以参观甲博物馆的年级有种情况，
其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，
根据乘法原理可得种情况，故选D。
【变式2】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员. 【答案】
（1）第一步：选3名男运动员，有种选法. 第二步：选2名女运动员，有种选法. 共有种选法.????????????
（2）方法一? 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 .?????????? 方法二? “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为.?????? （3）方法一：可分类求解： “只有男队长”的选法为； “只有女队长”的选法为； “男、女队长都入选”的选法为； 所以共有种选法.?????????
方法二：间接法： 从10人中任选5人有种选法. 其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为种.
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有种.??
【变式3】（2018 南昌一模）甲乙两从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）种。
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
1．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种。
2．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有种选法，由分步计数原理此时共有种。
综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种。
故选A。
例3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问各有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；（非均匀分组）
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；（均匀分组）
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本。
【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。
【解析】（1）先选出1本的方法有种，
再由剩下的5本中选出2本的方法有种，
剩下的3本为一组有种，
依分步计数原理得分组的方法有种。
（2）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有种。
（3）选2本为一组有种，剩下4本再选2本为另一组有种，最后2本为一组有种，
又每种分法只能算一种，所以不同的分法有（种）。
（重复情况列举如下：记6本书为a、b、c、d、e、f。以下种分法只能算一种：ab / cd / ef；ab / ef / cd；cd / ef / ab；cd / ab / ef；ef / cd / ab；ef / ab / cd。）
（4）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有种。
（或甲先选有种，接着乙选有，最后丙选有种。共种。）
【总结升华】 一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。 本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。
举一反三：
【变式1】（1）4名乒乓球选手，分为两组举行双打比赛，共有多少种分组方法？
（2）10名篮球队员，分成两队各5人，有多少种分组方法？
（3）将1，2，3，4，5，6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组方法？
【答案】（1）看似简单，容易认为有种分法．具体排一下：1、2～3、4，1、3～2、4，1、
4～2、3，2、3～1、4，2、4～1、3，3、4～1、2，即会发现各重复一次，总共
分组方法不是6种，而只有3种，一般规律是．
（2）与（1）同理，共有种分组方法．种中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10．
当取1，2，3，4，5时，相应的另一组是6，7，8，9，10．当取6，7，8，9，10时，相应的另一组是1，2，3，4，5．显然也是各重复一次．
（3）此题易误认为有方法种．分析一下下面的6种分组方法：1、2，3、4，5、6；
1、2，5、6，3、4；3、4，1、2，5、6；5、6，1、2，3、4；5、6，3、4，1、2．这实际上是同一种分组法，即这中间各有组是重复的同一种分组方法，所以，共有分组方法应是种．
【变式2】6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
【答案】第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；
第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．
根据分步计数原理，一共有＝1800种方法
【变式3】4个男同学和4个女同学各平均分成两组，每组2人，到4所不同的学校去学习．如果同样两人在不同的学校算作不同的情况，那么共有多少种不同的分配方法？
【答案】；
分三步完成:
第一步：把4个男同学平均分成两组有种方法，
第二步：把4个女同学平均分成两组有种方法，
第三步：把四个组分配到4所不同的学校去学习有种方法．
根据分步计数原理，共有不同的方法（种）．
例4. 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？
【思路点拨】本题是部分不同元素定序问题，可以用逐一插入法.
【解析】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选1个位置让丁站有种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有种不同的站法，根据分步计数原理，符合要求站法有1××=20种.
【总结升华】
对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用逐一插入法，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端.注意定序的元素之间顺序一定、部分相同元素是组合问题.
举一反三：
【变式】在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？
【答案】先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有种不同方法，再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵有种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有=20种.
例5. 学校从8个班中选10名同学参加活动，每班至少一名.现在要将这10个名额分配到8个班，共有多少种不同的分配方法？
【思路点拨】名额指标是相同的元素，分配的不同方法是指各班获得的数量不同。
【解析】方法一：
由班至少分到1个名额，可先给每班1个名额，只需考虑余下2个名额的分配方法有多少种不同情况。
第一类：将2个余额分给2所不同的班，共有种方法；
第二类：将2个余额分给1个班，共有8种方法；
不同分配结果的总数为
方法二：
可将10个名额分成非零的8份，将8所班看成是放置这8份名额的位置。
10个名额排一列，共有11个空档，去掉两端的空档，还有9个空档，
从中任取7个空档，则10个名额被取到的空档分成了8份，每一份对应地放在班的位置上，
即不同分配结果共有
【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
举一反三：
【变式】把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
【答案】
先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。
类型三、 排列组合的综合应用
例6．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
【思路点拨】
此类题目可按同一性质的对象选出的多少分类，应避免重复与遗漏.此题可从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类.
【解析】分类进行：
第一类：若3人都不参加，共有CCC种；
第二类：若3人都跳舞或都唱歌，共有2CCC种；
第三类：若3人中有两人唱歌或跳舞，共有2C·C·C种；
第四类：若3人中有一人唱歌或跳舞，共有2CCC种；
第五类：若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌，共有2CCCC种；
第六类：若3人中有一人唱歌，又有一人跳舞的情形有CCCC种.
【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.
举一反三：
【变式】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选取会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?
【答案】如图,以会英语为基础分类,选取的一名会英语可从只会英语的人员中抽取,也可从既会英语又会
日语的人员中抽取.
由题意可知,只会英语的有6人,只会日语的有2人,英语和日语都会的有1人.
以只会英语的人数分类,C06·C11·C12+C16·C23=20.
例7. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） ( )
(A) 150种 (B) 147种 (C) 144种 (D) 141种
【思路点拨】
取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．
【解析】 在10个点中任取4点，有种取法，取出的4点共面有三类(如图)．
第一类：共四面体的某一个面，有4种取法；
第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE，有6种取法；
第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM，共有3个．
故取4个不共面的点的不同取法共有－(4＋6＋3)＝141(种)
因此选D
【总结升华】有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不
共线，点共面与不共面，线共面与不共面等．
举一反三：
【变式】求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
【答案】从8个点中取4个点，共有种方法，其中取出的4个点共面的有种，所以符合条件的四面体的个数为个。
例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
【思路点拨】两个球的编号与盒子的编号相同即三个不同，可采用列表法。
【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种
3号盒 4号盒 5号盒
【总结升华】
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
举一反三：
【变式】a，b，c，d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有___种．
【答案】9，可采用画出树状图的方法。
【巩固练习】
一、选择题
1．共个人，从中选1名组长1名副组长，不同的选法总数是（ ）
A. B． C． D．
2. （2018 海南校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有（ ）
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（ ）．
A．18种 B．24种 C．45种 D．90种
4．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）．
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
5. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A 85 B 56 C 49 D 28
6．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2018 资阳三模）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张。则不同的取法的共有（ ）
A．135 B．172 C．189 D．216
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）．
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
二、填空题
9.平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有 条。
10.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级2个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种.
A.8 B.12 C.16 D.20
12. （2018·内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 。
三、解答题
13．在200件产品中，有2件次品，从中任取5件．（注：可以只列式子，不必求结果）
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？
（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
14.位实习教师全部分给高一年级的5个班级进行实习，每班至少1人，有多少种不同的分法？
15. 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】(种)
2. 【答案】D
【解析】三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：种。
故选D。
3．【答案】D
【解析】 （种）．
4．【答案】A
【解析】 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故（个），故选A．
5. 【答案】C
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。
6．【答案】A
【解析】 四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7．【答案】 C
【解析】由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有种。故选C。
8．【答案】A
【解析】 4个小球分2组有：①（种），②（种），不同的分组方法．
在①中这3种分组方式可以随便放，∴种放法．
在②中只能有1种放法．故总种数为6+4=10（种）．
9. 【答案】42
【解析】两点确定一条直线，先从7个点中选2个点出来，共有=21种选法，因为是有向线段，所以再乘以2，共有42种.
10. 【答案】36
【解析】把10个名额分成2份，每份至少一个名额即可，用隔板法： C=36.
11. 【答案】12
【解析】此题正面分析情形较多，若逆向思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的 情形：6个面中任意解取3个，共有C个，其中3个面两两相邻则对应于正方体的顶点个数，有8个，故所有不同选法有C-8=12（个）.
12. 【答案】60
【解析】分两类，第一类，有3名被录用，有种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有，
根据分类计数原理，共有24+36=60（种）
13．【解析】（1）要取5件，恰有2件次品，则3件正品要从198中抽取，有种．
（2）恰有l件次品，则4件正品要从198中抽取，有种．
（3）“没有次品”，则全为正品，有种．
（4）“至少有1件次品”，即要么l件次品，要么2件次品．即是（1）（2）中所得结果之和，为种．
14. 【解析】把实习教师先分成5组，人数分别为1，1，1，1，2，然后分给5个班级进行实习，共有C·C·C·C·C·A种分法.
但事实上有4个班级所分的实习老师数目相同，不用相互交换.因此上述分法种数是实际数的A倍，故应除以A.
所以不同分法种数应为=1800（种）.
15. 【解析】（1）C=126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C（CC）种，作后卫位有C（CC）种，共C（CC）+C（CC）=340种；③甲、乙都上场，有CC+CC+C（CC）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.
【学习目标】
1．理解组合的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式．
3．能解决简单的实际问题．
4．理解组合与排列之间的联系与区别．
【要点梳理】
要点一：组合
1.定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
要点诠释：
从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.
要点二：组合数及其公式
1.组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
要点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．
2．组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到．
因此
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．
要点诠释：
组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
3. 组合数公式：
(1)（ 、，且）
(2) （ 、，且）
要点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
要点三：组合数的性质
性质1：（、，且）
性质2：（、，且）
要点诠释：
规定：.
要点四、纯组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数．
依据上述公式，其分法为（种）．
②分堆但不平均，其分法数为．
例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数．
依据上述公式，分到指定位置数为．
其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？
法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种）．
法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法；
第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）；
法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．
（5）指标问题用“隔板法”：
如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？
将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案．
注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．
要点五、组合组合的综合应用
处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：
先特殊后一般的原则
先取后排的原则
先分类后分步的原则
正难则反、等价转化原则．
【典型例题】
类型一、 组合概念及组合数公式
例1． 判断下列问题是组合问题还是排列问题．
（1）设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
（3）3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
（4）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
【思路点拨】 排列与顺序有关，组合与顺序无关．
【解析】
（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
（2）因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
（3）因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
（4）因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．
【总结升华】
区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”．
举一反三：
【变式1】平面内有10个点，
（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
【解析】线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．
（1）以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即以其中每2个点为端点的线段共有（条）
（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，
以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，
即以其中每2个点为端点的有向线段共(条)
【变式2】计算：（1）； （2）；
【答案】（1） ＝35；
（2）解法1：＝120．
解法2：＝120．
类型二、 组合应用题
例2．某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要选派5名参加赈灾医疗队,则
(1) 某内科医生必须参加,某外科医生不能参加,有几种选法?
(2) 至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加,有几种选法?
【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.
【解析】
(1) 某内科医生参加,某外科医生不参加,只需从剩下的18名医生中选4名即可,故有=3 060种.
(2)方法一(直接法):
至少有一名内科医生和至少有一名外科医生当选可分为四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656(种).
方法二(排除法):
事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的反面是“全部为内科医生或外科医生”,共有C512+C58种选法,则C520-(C512+C58)=14 656种.
【总结升华】
本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.
举一反三：
【变式1】（2018 西宁校级模拟）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】因为有且只有两个年级选择甲博物馆，
所以参观甲博物馆的年级有种情况，
其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，
根据乘法原理可得种情况，故选D。
【变式2】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员. 【答案】
（1）第一步：选3名男运动员，有种选法. 第二步：选2名女运动员，有种选法. 共有种选法.????????????
（2）方法一? 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 .?????????? 方法二? “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为.?????? （3）方法一：可分类求解： “只有男队长”的选法为； “只有女队长”的选法为； “男、女队长都入选”的选法为； 所以共有种选法.?????????
方法二：间接法： 从10人中任选5人有种选法. 其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为种.
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有种.??
【变式3】（2018 南昌一模）甲乙两从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）种。
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
1．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种。
2．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有种选法，由分步计数原理此时共有种。
综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种。
故选A。
例3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问各有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；（非均匀分组）
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；（均匀分组）
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本。
【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。
【解析】（1）先选出1本的方法有种，
再由剩下的5本中选出2本的方法有种，
剩下的3本为一组有种，
依分步计数原理得分组的方法有种。
（2）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有种。
（3）选2本为一组有种，剩下4本再选2本为另一组有种，最后2本为一组有种，
又每种分法只能算一种，所以不同的分法有（种）。
（重复情况列举如下：记6本书为a、b、c、d、e、f。以下种分法只能算一种：ab / cd / ef；ab / ef / cd；cd / ef / ab；cd / ab / ef；ef / cd / ab；ef / ab / cd。）
（4）把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有种。
（或甲先选有种，接着乙选有，最后丙选有种。共种。）
【总结升华】 一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。 本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。
举一反三：
【变式1】（1）4名乒乓球选手，分为两组举行双打比赛，共有多少种分组方法？
（2）10名篮球队员，分成两队各5人，有多少种分组方法？
（3）将1，2，3，4，5，6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组方法？
【答案】（1）看似简单，容易认为有种分法．具体排一下：1、2～3、4，1、3～2、4，1、
4～2、3，2、3～1、4，2、4～1、3，3、4～1、2，即会发现各重复一次，总共
分组方法不是6种，而只有3种，一般规律是．
（2）与（1）同理，共有种分组方法．种中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10．
当取1，2，3，4，5时，相应的另一组是6，7，8，9，10．当取6，7，8，9，10时，相应的另一组是1，2，3，4，5．显然也是各重复一次．
（3）此题易误认为有方法种．分析一下下面的6种分组方法：1、2，3、4，5、6；
1、2，5、6，3、4；3、4，1、2，5、6；5、6，1、2，3、4；5、6，3、4，1、2．这实际上是同一种分组法，即这中间各有组是重复的同一种分组方法，所以，共有分组方法应是种．
【变式2】6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
【答案】第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；
第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．
根据分步计数原理，一共有＝1800种方法
【变式3】4个男同学和4个女同学各平均分成两组，每组2人，到4所不同的学校去学习．如果同样两人在不同的学校算作不同的情况，那么共有多少种不同的分配方法？
【答案】；
分三步完成:
第一步：把4个男同学平均分成两组有种方法，
第二步：把4个女同学平均分成两组有种方法，
第三步：把四个组分配到4所不同的学校去学习有种方法．
根据分步计数原理，共有不同的方法（种）．
例4. 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？
【思路点拨】本题是部分不同元素定序问题，可以用逐一插入法.
【解析】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选1个位置让丁站有种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有种不同的站法，根据分步计数原理，符合要求站法有1××=20种.
【总结升华】
对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用逐一插入法，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端.注意定序的元素之间顺序一定、部分相同元素是组合问题.
举一反三：
【变式】在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？
【答案】先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有种不同方法，再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵有种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有=20种.
例5. 学校从8个班中选10名同学参加活动，每班至少一名.现在要将这10个名额分配到8个班，共有多少种不同的分配方法？
【思路点拨】名额指标是相同的元素，分配的不同方法是指各班获得的数量不同。
【解析】方法一：
由班至少分到1个名额，可先给每班1个名额，只需考虑余下2个名额的分配方法有多少种不同情况。
第一类：将2个余额分给2所不同的班，共有种方法；
第二类：将2个余额分给1个班，共有8种方法；
不同分配结果的总数为
方法二：
可将10个名额分成非零的8份，将8所班看成是放置这8份名额的位置。
10个名额排一列，共有11个空档，去掉两端的空档，还有9个空档，
从中任取7个空档，则10个名额被取到的空档分成了8份，每一份对应地放在班的位置上，
即不同分配结果共有
【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
举一反三：
【变式】把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
【答案】
先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。
类型三、 排列组合的综合应用
例6．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
【思路点拨】
此类题目可按同一性质的对象选出的多少分类，应避免重复与遗漏.此题可从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类.
【解析】分类进行：
第一类：若3人都不参加，共有CCC种；
第二类：若3人都跳舞或都唱歌，共有2CCC种；
第三类：若3人中有两人唱歌或跳舞，共有2C·C·C种；
第四类：若3人中有一人唱歌或跳舞，共有2CCC种；
第五类：若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌，共有2CCCC种；
第六类：若3人中有一人唱歌，又有一人跳舞的情形有CCCC种.
【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.
举一反三：
【变式】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选取会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?
【答案】如图,以会英语为基础分类,选取的一名会英语可从只会英语的人员中抽取,也可从既会英语又会
日语的人员中抽取.
由题意可知,只会英语的有6人,只会日语的有2人,英语和日语都会的有1人.
以只会英语的人数分类,C06·C11·C12+C16·C23=20.
例7. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） ( )
(A) 150种 (B) 147种 (C) 144种 (D) 141种
【思路点拨】
取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．
【解析】 在10个点中任取4点，有种取法，取出的4点共面有三类(如图)．
第一类：共四面体的某一个面，有4种取法；
第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE，有6种取法；
第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM，共有3个．
故取4个不共面的点的不同取法共有－(4＋6＋3)＝141(种)
因此选D
【总结升华】有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不
共线，点共面与不共面，线共面与不共面等．
举一反三：
【变式】求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
【答案】从8个点中取4个点，共有种方法，其中取出的4个点共面的有种，所以符合条件的四面体的个数为个。
例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
【思路点拨】两个球的编号与盒子的编号相同即三个不同，可采用列表法。
【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种
3号盒 4号盒 5号盒
【总结升华】
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
举一反三：
【变式】a，b，c，d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有___种．
【答案】9，可采用画出树状图的方法。
【巩固练习】
一、选择题
1．共个人，从中选1名组长1名副组长，不同的选法总数是（ ）
A. B． C． D．
2. （2018 海南校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有（ ）
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（ ）．
A．18种 B．24种 C．45种 D．90种
4．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）．
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
5. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A 85 B 56 C 49 D 28
6．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2018 资阳三模）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张。则不同的取法的共有（ ）
A．135 B．172 C．189 D．216
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）．
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
二、填空题
9.平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有 条。
10.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级2个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种.
A.8 B.12 C.16 D.20
12. （2018·内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 。
三、解答题
13．在200件产品中，有2件次品，从中任取5件．（注：可以只列式子，不必求结果）
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？
（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
14.位实习教师全部分给高一年级的5个班级进行实习，每班至少1人，有多少种不同的分法？
15. 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】(种)
2. 【答案】D
【解析】三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：种。
故选D。
3．【答案】D
【解析】 （种）．
4．【答案】A
【解析】 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故（个），故选A．
5. 【答案】C
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。
6．【答案】A
【解析】 四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7．【答案】 C
【解析】由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有种。故选C。
8．【答案】A
【解析】 4个小球分2组有：①（种），②（种），不同的分组方法．
在①中这3种分组方式可以随便放，∴种放法．
在②中只能有1种放法．故总种数为6+4=10（种）．
9. 【答案】42
【解析】两点确定一条直线，先从7个点中选2个点出来，共有=21种选法，因为是有向线段，所以再乘以2，共有42种.
10. 【答案】36
【解析】把10个名额分成2份，每份至少一个名额即可，用隔板法： C=36.
11. 【答案】12
【解析】此题正面分析情形较多，若逆向思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的 情形：6个面中任意解取3个，共有C个，其中3个面两两相邻则对应于正方体的顶点个数，有8个，故所有不同选法有C-8=12（个）.
12. 【答案】60
【解析】分两类，第一类，有3名被录用，有种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有，
根据分类计数原理，共有24+36=60（种）
13．【解析】（1）要取5件，恰有2件次品，则3件正品要从198中抽取，有种．
（2）恰有l件次品，则4件正品要从198中抽取，有种．
（3）“没有次品”，则全为正品，有种．
（4）“至少有1件次品”，即要么l件次品，要么2件次品．即是（1）（2）中所得结果之和，为种．
14. 【解析】把实习教师先分成5组，人数分别为1，1，1，1，2，然后分给5个班级进行实习，共有C·C·C·C·C·A种分法.
但事实上有4个班级所分的实习老师数目相同，不用相互交换.因此上述分法种数是实际数的A倍，故应除以A.
所以不同分法种数应为=1800（种）.
15. 【解析】（1）C=126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C（CC）种，作后卫位有C（CC）种，共C（CC）+C（CC）=340种；③甲、乙都上场，有CC+CC+C（CC）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.