人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：06【提高】组合
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：06【提高】组合 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 190.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-21 17:52:15 | ||
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文档简介
组 合
【学习目标】
1．理解组合的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式．
3．能解决简单的实际问题．
4．理解组合与排列之间的联系与区别．
【要点梳理】
要点一：组合
1.定义：
一般地，从/个不同元素中取出/（/）个元素并成一组，叫做从/个不同元素中取出/个元素的一个组合．
要点诠释：
从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.
要点二：组合数及其公式
1.组合数的定义：
从/个不同元素中取出/（/）个元素的所有组合的个数，叫做从/个不同元素中取出/个元素的组合数．记作/．
要点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．
2．组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数/，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数/；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数/．
根据分步计数原理，得到/．
因此 /
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为/，所以组合数公式还可表示为：/．
要点诠释：
组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
3. 组合数公式：
(1)/（ /、/，且/）
(2)/ （ /、/，且/）
要点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值/、/较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
要点三：组合数的性质
性质1：/（/、/，且/）
性质2：/（/、/，且/）
要点诠释：
规定：/.
要点四、纯组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有/种不同的选法．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有/种不同的选法．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：/．
例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数．
依据上述公式，其分法为/（种）．
②分堆但不平均，其分法数为/．
例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数．
依据上述公式，分到指定位置数为/．
其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为/．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？
法一: 5人不加限制的排列方法有/种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有/（种）．
法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有/种选法；
第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有/种排法，共有/（种）；
法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有/种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．
（5）指标问题用“隔板法”：
如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？
将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有/种方案．
注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．
要点五、组合组合的综合应用
处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：
先特殊后一般的原则
先取后排的原则
先分类后分步的原则
正难则反、等价转化原则．
【典型例题】
类型一、 组合概念及组合数公式
例1．下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。
（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？
（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？
（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？
【思路点拨】 排列与顺序有关，组合与顺序无关．
【解析】
（1）组合问题，可以得到/个不同的和；
（2）排列问题，可以得到/个不同的商；
（3）排列问题，一共写了/封信；
（4）组合问题，共握了/次手.
【总结升华】
区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”．
举一反三：
【变式1】（1）从1，3，5，7中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（2）从1，3，5，7中任取两个数相乘，可以得到多少个不同的积？
以上两个问题有何区别？
【答案】问题（1）是排列问题，问题（2）是组合问题．
【变式2】计算：（1）/；（2）/.
【答案】（1）方法一：/；
方法二：/；
（2） 方法一：/；
方法二：/.
类型二、 组合应用题
例2. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生当选；
（2）两队长当选；
（3）至少有一名队长当选：
（4）至多有两名女生当选；
（5）既要有队长，又要有女生当选．
【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.
【解析】（1）一名女生，四名男生，故共有/种．
（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有/种．
（3）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．
故共有/种，或采用排除法：/种．
（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故共有/种．
（5）分两类：第一类女队长当选：/；
第二类女队长不当选：/．
故共有/种．
【总结升华】
本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.
举一反三：
【变式】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，
按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？
（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品．
【答案】（1）都不是次品，即全部为正品．共有抽法/种．
（2）至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．
共有抽法/种[或/种]．
（3）不都是次品，即至少有1件正品．
共有抽法/种[或/种]．
例3. 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本．
【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。
【解析】 （1）共有分法/（种）．
（2）共有分法/（种）．
（3）由于没指明谁得几本，在（2）的基础上，对甲、乙、丙作全排．
∴共有分法/（种）．
（4）共有分法/（种）．
（5）由于没指明谁得四本，在（4）的基础上，还有/种分法．
∴共有分法/（种）．
【总结升华】一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。
在（5）中，区别在谁得四本上，另外两人都得一本是没有区别的；而（3）中谁得一本、两本、三本都是有区别的．这就是乘以/和/的区别．本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。
举一反三：
【变式1】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 【答案】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，
3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，
然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另? 外2个盒子内，由分步乘法
计数原理，共有/ （2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即
另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”
是同一件事，所以共有144种放法. （3）确定2个空盒有/种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类
有序不均匀分组有/种方法；第二类有序均匀分组有/种方法. 故共有/种.
【变式2】（1）4名乒乓球选手，分为两组举行双打比赛，共有多少种分组方法？
（2）10名篮球队员，分成两队各5人，有多少种分组方法？
（3）将1，2，3，4，5，6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组方法？
【答案】（1）看似简单，容易认为有/种分法．具体排一下：1、2～3、4，1、3～2、4，1、
4～2、3，2、3～1、4，2、4～1、3，3、4～1、2，即会发现各重复一次，总共
分组方法不是6种，而只有3种，一般规律是/．
（2）与（1）同理，共有/种分组方法．/种中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10．
当取1，2，3，4，5时，相应的另一组是6，7，8，9，10．当取6，7，8，9，10时，相应的另一组是1，2，3，4，5．显然也是各重复一次．
（3）此题易误认为有方法/种．分析一下下面的6种分组方法：1、2，3、4，5、6；
1、2，5、6，3、4；3、4，1、2，5、6；5、6，1、2，3、4；5、6，3、4，1、2．这实际上是同一种分组法，即这中间各有/组是重复的同一种分组方法，所以，共有分组方法应是/种．
【变式3】把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A．168 B．96 C．72 D．144
【答案】D
本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．
本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为/，故本题的方法数为/种．故选（D）．
【变式4】（2018 太原校级模拟）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种。
A．24 B．48 C．95 D．114
【答案】
5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，1，1）两种，
当为（3，1，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有60―18=42种，
当为（2，2，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有90―18=72种，
根据分类计数原理共42+72=114种，故选D。
例4. 在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？
【思路点拨】本题是部分元素顺序一定排序问题，可以用定序法.
【解析】先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有/种不同方法，再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵有/种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有/=20种.
【总结升华】
对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用方法还有定序法，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.
举一反三：
【变式1】 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？
【答案】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选1个位置让丁站有/种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有/种不同
【变式2】（2018·朝阳区模拟）各大学在高考录取时采取专业专愿优先的录取原则。一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ）
A．210种 B．180种 C．120种 D．95种
【答案】
从7个专业选3个，有种选法，
甲乙同时兼报的有种选法，
则专业共有35－5=30种选法，
则按照专业顺序进行报考的方法为，
故选B
例5. 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
【思路点拨】把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。
【解析】将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。
第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；
第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，
由隔板法知，此时，有C/种不同分法。由分步计数原理知，共有C/种不同分法。
C/=C/=/=126（种）。
所以某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.
【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
举一反三：
【变式】将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
【答案】解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，放法有/（种）。
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，放法有/（种）。
类型三、 排列组合的综合应用
例6. 某篮球队有12名队员，有6名打前锋，4名打后卫，甲、乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫）共有多少种出场阵容？
【思路点拨】 本题中的甲、乙两名队员为“多面手”，应优先考虑．甲、乙两人是否上场，且上场后是前锋还是后卫，以此为分类标准．
【解析】 以2名既能打前锋又能打后卫的队员是否上场．且上场后是前锋还是后卫作分类标准：
①甲、乙都不上场有/（种）；
②甲、乙有一名上场，作前锋有/种，作后卫有/种，共/（种）；
③甲、乙都上场，都作前锋有/种，都作后卫有/种，一个作前锋一个作后卫有/种，共有/（种）．
据分类计数原理，共有120+340+176=636（种）．
【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.
举一反三：
【变式】由12个人组成文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，两个人既会跳舞又会唱歌。若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？
【答案】依题意有 / 按选出的8人中，会跳舞的四人中含几名全能的人分类 /
例7． 已知M、N是两个平行平面，在N内取4个点，在M内取5个点：这9个点中再无其他4点共面，则
（1）这些点最多能确定几个平面？
（2）以这些点为顶点，能作多少个三棱锥，多少个四棱锥？
【思路点拨】本题有直接发和排除法两种思路可选，但要注意直接法及排除法都容易将M、N这两个平面丢掉．另外，构成四棱锥底面的4个顶点必须共面，这点很容易忽视。
【解析】
直接法．
（1）在平面M内取2个点有/种方法，在平面N内取1个点有/种方法，这3个点肯定不共线，可构成/个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成/个平面，再有就是M、N这两个平面．
（2）在平面M内取3个点有/种方法，在平面N内取1个点有/种方法，这4个点可构成/个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可在平面M内取1个点，在平面N内取3个点．
要构成四棱锥，由于底面的4个顶点必须共面，因此只能从平面M内取4个点（平面N内取1个点）或在平面N内取4个点（平面M内取1个点）．
排除法．
（1）从9个点中任取3个点的方法有/种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即/种，从平面N内5个点中任取3个点，即/种，这/及/表示的都仅仅是平面M及平面N．
（2）从9个点中任取4个点的方法/中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥（仅是平面M或平面N）的情况．
从9个点中任取5个点的方法/中去掉构不成四棱锥的三类情况：平面M中取3个点同时平面N中取2个点；平面M中取2个点同时平面N中取3个点；平面N中全取5个点．
解法一：（1）共有/个平面；
（2）可构成/个三棱锥；
可构成/个四棱锥．
解法二：（1）能构成/个平面；
（2）能构成/个三棱锥；
能构成/个四棱锥．
【总结升华】 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
举一反三：
【变式】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？
【答案】 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体/-12＝58个.
（2）如图2， A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有/－8＝48种.
（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有/个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C. 所以共有/＝13条.
例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
【思路点拨】两个球的编号与盒子的编号相同即三个不同，可采用列表法。
【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有/种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有/种
/
3号盒 4号盒 5号盒
【总结升华】
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
举一反三：
【变式】 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）．
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
【答案】列举法（具体排、填方格）
设4人为A，B，C，D，他们自己所写的贺卡分别为a，b，c，d，满足条件的分配方式列举如下：
/
因此，共有3×3=9种不同的分配方式，故选B．
【巩固练习】
一、选择题
1. 从1,2，3，……，9这9个数中任选3个数分别作a,b,c的取值，则满足aA. 21种 B. 28种 C. 84种 D. 504种
2.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是（ ）
A.140 B.84 C.70 D.35
3．（2018秋 武汉校级期末）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ）
A．324 B．216 C．180 D．384
4．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）．
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
6．从正方体/的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
7．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
8．（2018 广州模拟）将5位同学分别保达到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．540种
二、填空题
9.（2018 黄冈校级自主招生改编）方程3x2+y2=3x－2y的非负整数解（x，y）的组数为
．
10.名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐3、4名,则大师赛共有_______________场比赛.
11.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有 种．
12./人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过/次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
三、解答题
13.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?
（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?
（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?
（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?
（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?
14.从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?
15.有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】/(种)
2. 【答案】C
【解析】取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C/·C/种；
②1台甲型2台乙型，有C/·C/种.
∴C/·C/+C/·C/=30+40=70（种）.
3.【答案】A
【解析】由题意知本题需要分类来解：
当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有90+234=324个．
故选A．
4．【答案】B
【解析】 本题为先组后排问题．5名教师先分成2、2、1三组，有/种方法，然后分配到三个班，则有/（种）．
5. 【答案】18
【解析】 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有/＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有/＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
6．【答案】A
【解析】 四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7. 【答案】28
【解析】 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有/＝28种走法．
8．【答案】A
【解析】当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，
当5名学生分成2，2，1时，共有种结果，
当5名学生分成3，1，1时，共有种结果，
∴根据分类计数原理知共有90+60=150
故不同保送的方法数为150种，故选A．
9. 【答案】2
【解析】3x2+y2=3x―2y，
3x2+y2―3x+2y=0，
，
当x=0时，y=0，即（0，0），
当x=1时，y=0，即（1，0），
当x=2时，y无解．
当x≥2时，y均无解，
综上所述方程3x2+y2=3x－2y的非负整数解（x，y）的组数为2．
10. 【答案】16
【解析】 一共进行三次比赛,所以本题分三类,第一类:单循环赛;第二类:淘汰赛;第三类:冠、亚军和第3、4名角逐赛.
(1)每组有C24场比赛,两组共有2C24场,
(2)每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场,(3)决出冠军和第3名各1场,所以共有2C24+2+1+1=16场.
11. 【答案】462
【解析】由于12个名额是不可区别的，所以将问题转化成——把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数，这样用6块闸板插在11个间隔中，共有C/种不同的插法.
所以所求选法种数为C/=462种.
12. 【答案】 /
【解析】对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果.
13. 【解析】（1）C/=561.
（2）C/=5984.
（3）C/·C/=2100.
（4）C/·C/+C/=2555.
（5）C/+C/C/+C/C/=6090.
14. 【解析】（1）若取出的2个数都大于50，则有C/种.
（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，
当取1时，另1个只能取100，有C/种取法；
当取2时，另1个只能取100或99，有C/种取法；
……
当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C/种取法，所以共有1+2+3+…+50=/.
故取法种数为C/+/=/+/=2500.
15. 【解析】
既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.
按“多面手”的参与情况分成三类.
第一类：多面手不参加，这时有C/C/种；
第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有C/C/C/+C/C/C/种；
第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C/C/C/+C/C/C/+C/C/C/C/种.
综上分析，共可开出C/C/+C/C/C/+C/C/C/+C/C/C/+C/C/C/+ C/C/C/C/=185种.
【学习目标】
1．理解组合的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式．
3．能解决简单的实际问题．
4．理解组合与排列之间的联系与区别．
【要点梳理】
要点一：组合
1.定义：
一般地，从/个不同元素中取出/（/）个元素并成一组，叫做从/个不同元素中取出/个元素的一个组合．
要点诠释：
从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.
要点二：组合数及其公式
1.组合数的定义：
从/个不同元素中取出/（/）个元素的所有组合的个数，叫做从/个不同元素中取出/个元素的组合数．记作/．
要点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．
2．组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数/，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数/；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数/．
根据分步计数原理，得到/．
因此 /
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为/，所以组合数公式还可表示为：/．
要点诠释：
组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
3. 组合数公式：
(1)/（ /、/，且/）
(2)/ （ /、/，且/）
要点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值/、/较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
要点三：组合数的性质
性质1：/（/、/，且/）
性质2：/（/、/，且/）
要点诠释：
规定：/.
要点四、纯组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有/种不同的选法．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有/种不同的选法．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：/．
例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数．
依据上述公式，其分法为/（种）．
②分堆但不平均，其分法数为/．
例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数．
依据上述公式，分到指定位置数为/．
其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为/．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？
法一: 5人不加限制的排列方法有/种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有/（种）．
法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有/种选法；
第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有/种排法，共有/（种）；
法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有/种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．
（5）指标问题用“隔板法”：
如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？
将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有/种方案．
注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．
要点五、组合组合的综合应用
处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：
先特殊后一般的原则
先取后排的原则
先分类后分步的原则
正难则反、等价转化原则．
【典型例题】
类型一、 组合概念及组合数公式
例1．下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。
（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？
（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？
（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？
【思路点拨】 排列与顺序有关，组合与顺序无关．
【解析】
（1）组合问题，可以得到/个不同的和；
（2）排列问题，可以得到/个不同的商；
（3）排列问题，一共写了/封信；
（4）组合问题，共握了/次手.
【总结升华】
区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”．
举一反三：
【变式1】（1）从1，3，5，7中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（2）从1，3，5，7中任取两个数相乘，可以得到多少个不同的积？
以上两个问题有何区别？
【答案】问题（1）是排列问题，问题（2）是组合问题．
【变式2】计算：（1）/；（2）/.
【答案】（1）方法一：/；
方法二：/；
（2） 方法一：/；
方法二：/.
类型二、 组合应用题
例2. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生当选；
（2）两队长当选；
（3）至少有一名队长当选：
（4）至多有两名女生当选；
（5）既要有队长，又要有女生当选．
【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.
【解析】（1）一名女生，四名男生，故共有/种．
（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有/种．
（3）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．
故共有/种，或采用排除法：/种．
（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故共有/种．
（5）分两类：第一类女队长当选：/；
第二类女队长不当选：/．
故共有/种．
【总结升华】
本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.
举一反三：
【变式】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，
按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？
（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品．
【答案】（1）都不是次品，即全部为正品．共有抽法/种．
（2）至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．
共有抽法/种[或/种]．
（3）不都是次品，即至少有1件正品．
共有抽法/种[或/种]．
例3. 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本．
【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。
【解析】 （1）共有分法/（种）．
（2）共有分法/（种）．
（3）由于没指明谁得几本，在（2）的基础上，对甲、乙、丙作全排．
∴共有分法/（种）．
（4）共有分法/（种）．
（5）由于没指明谁得四本，在（4）的基础上，还有/种分法．
∴共有分法/（种）．
【总结升华】一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。
在（5）中，区别在谁得四本上，另外两人都得一本是没有区别的；而（3）中谁得一本、两本、三本都是有区别的．这就是乘以/和/的区别．本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。
举一反三：
【变式1】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 【答案】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，
3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，
然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另? 外2个盒子内，由分步乘法
计数原理，共有/ （2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即
另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”
是同一件事，所以共有144种放法. （3）确定2个空盒有/种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类
有序不均匀分组有/种方法；第二类有序均匀分组有/种方法. 故共有/种.
【变式2】（1）4名乒乓球选手，分为两组举行双打比赛，共有多少种分组方法？
（2）10名篮球队员，分成两队各5人，有多少种分组方法？
（3）将1，2，3，4，5，6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组方法？
【答案】（1）看似简单，容易认为有/种分法．具体排一下：1、2～3、4，1、3～2、4，1、
4～2、3，2、3～1、4，2、4～1、3，3、4～1、2，即会发现各重复一次，总共
分组方法不是6种，而只有3种，一般规律是/．
（2）与（1）同理，共有/种分组方法．/种中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10．
当取1，2，3，4，5时，相应的另一组是6，7，8，9，10．当取6，7，8，9，10时，相应的另一组是1，2，3，4，5．显然也是各重复一次．
（3）此题易误认为有方法/种．分析一下下面的6种分组方法：1、2，3、4，5、6；
1、2，5、6，3、4；3、4，1、2，5、6；5、6，1、2，3、4；5、6，3、4，1、2．这实际上是同一种分组法，即这中间各有/组是重复的同一种分组方法，所以，共有分组方法应是/种．
【变式3】把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A．168 B．96 C．72 D．144
【答案】D
本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．
本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为/，故本题的方法数为/种．故选（D）．
【变式4】（2018 太原校级模拟）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种。
A．24 B．48 C．95 D．114
【答案】
5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，1，1）两种，
当为（3，1，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有60―18=42种，
当为（2，2，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有90―18=72种，
根据分类计数原理共42+72=114种，故选D。
例4. 在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？
【思路点拨】本题是部分元素顺序一定排序问题，可以用定序法.
【解析】先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有/种不同方法，再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵有/种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有/=20种.
【总结升华】
对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用方法还有定序法，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.
举一反三：
【变式1】 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？
【答案】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选1个位置让丁站有/种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有/种不同
【变式2】（2018·朝阳区模拟）各大学在高考录取时采取专业专愿优先的录取原则。一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ）
A．210种 B．180种 C．120种 D．95种
【答案】
从7个专业选3个，有种选法，
甲乙同时兼报的有种选法，
则专业共有35－5=30种选法，
则按照专业顺序进行报考的方法为，
故选B
例5. 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
【思路点拨】把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。
【解析】将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。
第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；
第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，
由隔板法知，此时，有C/种不同分法。由分步计数原理知，共有C/种不同分法。
C/=C/=/=126（种）。
所以某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.
【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
举一反三：
【变式】将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
【答案】解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，放法有/（种）。
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，放法有/（种）。
类型三、 排列组合的综合应用
例6. 某篮球队有12名队员，有6名打前锋，4名打后卫，甲、乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫）共有多少种出场阵容？
【思路点拨】 本题中的甲、乙两名队员为“多面手”，应优先考虑．甲、乙两人是否上场，且上场后是前锋还是后卫，以此为分类标准．
【解析】 以2名既能打前锋又能打后卫的队员是否上场．且上场后是前锋还是后卫作分类标准：
①甲、乙都不上场有/（种）；
②甲、乙有一名上场，作前锋有/种，作后卫有/种，共/（种）；
③甲、乙都上场，都作前锋有/种，都作后卫有/种，一个作前锋一个作后卫有/种，共有/（种）．
据分类计数原理，共有120+340+176=636（种）．
【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.
举一反三：
【变式】由12个人组成文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，两个人既会跳舞又会唱歌。若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？
【答案】依题意有 / 按选出的8人中，会跳舞的四人中含几名全能的人分类 /
例7． 已知M、N是两个平行平面，在N内取4个点，在M内取5个点：这9个点中再无其他4点共面，则
（1）这些点最多能确定几个平面？
（2）以这些点为顶点，能作多少个三棱锥，多少个四棱锥？
【思路点拨】本题有直接发和排除法两种思路可选，但要注意直接法及排除法都容易将M、N这两个平面丢掉．另外，构成四棱锥底面的4个顶点必须共面，这点很容易忽视。
【解析】
直接法．
（1）在平面M内取2个点有/种方法，在平面N内取1个点有/种方法，这3个点肯定不共线，可构成/个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成/个平面，再有就是M、N这两个平面．
（2）在平面M内取3个点有/种方法，在平面N内取1个点有/种方法，这4个点可构成/个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可在平面M内取1个点，在平面N内取3个点．
要构成四棱锥，由于底面的4个顶点必须共面，因此只能从平面M内取4个点（平面N内取1个点）或在平面N内取4个点（平面M内取1个点）．
排除法．
（1）从9个点中任取3个点的方法有/种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即/种，从平面N内5个点中任取3个点，即/种，这/及/表示的都仅仅是平面M及平面N．
（2）从9个点中任取4个点的方法/中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥（仅是平面M或平面N）的情况．
从9个点中任取5个点的方法/中去掉构不成四棱锥的三类情况：平面M中取3个点同时平面N中取2个点；平面M中取2个点同时平面N中取3个点；平面N中全取5个点．
解法一：（1）共有/个平面；
（2）可构成/个三棱锥；
可构成/个四棱锥．
解法二：（1）能构成/个平面；
（2）能构成/个三棱锥；
能构成/个四棱锥．
【总结升华】 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
举一反三：
【变式】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？
【答案】 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体/-12＝58个.
（2）如图2， A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有/－8＝48种.
（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有/个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C. 所以共有/＝13条.
例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
【思路点拨】两个球的编号与盒子的编号相同即三个不同，可采用列表法。
【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有/种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有/种
/
3号盒 4号盒 5号盒
【总结升华】
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
举一反三：
【变式】 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）．
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
【答案】列举法（具体排、填方格）
设4人为A，B，C，D，他们自己所写的贺卡分别为a，b，c，d，满足条件的分配方式列举如下：
/
因此，共有3×3=9种不同的分配方式，故选B．
【巩固练习】
一、选择题
1. 从1,2，3，……，9这9个数中任选3个数分别作a,b,c的取值，则满足a
2.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是（ ）
A.140 B.84 C.70 D.35
3．（2018秋 武汉校级期末）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ）
A．324 B．216 C．180 D．384
4．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）．
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
6．从正方体/的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
7．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
8．（2018 广州模拟）将5位同学分别保达到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．240种 D．540种
二、填空题
9.（2018 黄冈校级自主招生改编）方程3x2+y2=3x－2y的非负整数解（x，y）的组数为
．
10.名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐3、4名,则大师赛共有_______________场比赛.
11.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有 种．
12./人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过/次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
三、解答题
13.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?
（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?
（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?
（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?
（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?
14.从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?
15.有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】/(种)
2. 【答案】C
【解析】取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C/·C/种；
②1台甲型2台乙型，有C/·C/种.
∴C/·C/+C/·C/=30+40=70（种）.
3.【答案】A
【解析】由题意知本题需要分类来解：
当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有90+234=324个．
故选A．
4．【答案】B
【解析】 本题为先组后排问题．5名教师先分成2、2、1三组，有/种方法，然后分配到三个班，则有/（种）．
5. 【答案】18
【解析】 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有/＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有/＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
6．【答案】A
【解析】 四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7. 【答案】28
【解析】 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有/＝28种走法．
8．【答案】A
【解析】当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，
当5名学生分成2，2，1时，共有种结果，
当5名学生分成3，1，1时，共有种结果，
∴根据分类计数原理知共有90+60=150
故不同保送的方法数为150种，故选A．
9. 【答案】2
【解析】3x2+y2=3x―2y，
3x2+y2―3x+2y=0，
，
当x=0时，y=0，即（0，0），
当x=1时，y=0，即（1，0），
当x=2时，y无解．
当x≥2时，y均无解，
综上所述方程3x2+y2=3x－2y的非负整数解（x，y）的组数为2．
10. 【答案】16
【解析】 一共进行三次比赛,所以本题分三类,第一类:单循环赛;第二类:淘汰赛;第三类:冠、亚军和第3、4名角逐赛.
(1)每组有C24场比赛,两组共有2C24场,
(2)每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场,(3)决出冠军和第3名各1场,所以共有2C24+2+1+1=16场.
11. 【答案】462
【解析】由于12个名额是不可区别的，所以将问题转化成——把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数，这样用6块闸板插在11个间隔中，共有C/种不同的插法.
所以所求选法种数为C/=462种.
12. 【答案】 /
【解析】对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果.
13. 【解析】（1）C/=561.
（2）C/=5984.
（3）C/·C/=2100.
（4）C/·C/+C/=2555.
（5）C/+C/C/+C/C/=6090.
14. 【解析】（1）若取出的2个数都大于50，则有C/种.
（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，
当取1时，另1个只能取100，有C/种取法；
当取2时，另1个只能取100或99，有C/种取法；
……
当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C/种取法，所以共有1+2+3+…+50=/.
故取法种数为C/+/=/+/=2500.
15. 【解析】
既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.
按“多面手”的参与情况分成三类.
第一类：多面手不参加，这时有C/C/种；
第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有C/C/C/+C/C/C/种；
第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C/C/C/+C/C/C/+C/C/C/C/种.
综上分析，共可开出C/C/+C/C/C/+C/C/C/+C/C/C/+C/C/C/+ C/C/C/C/=185种.