人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：08【提高】二项式定理

二项式定理
【学习目标】
1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【要点梳理】
要点一：二项式定理
1.定义
一般地,对于任意正整数/,都有：
/(/)，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做/的二项展开式。
式中的/做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：/，
其中的系数/（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2．二项式(a+b)n的展开式的特点：
(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为/，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
3.两个常用的二项展开式：
①/(/)
②/
要点二、二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
/（/）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是/；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
③a与b的次数之和为n。
要点诠释：
（1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项/和(b+a)n的二项展开式的第r+1项/是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．
（2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是/（只需把－b看成b代入二项式定理）。
要点三：二项式系数及其性质
1.杨辉三角和二项展开式的推导。
在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。
/展开式中的二项式系数,当/依次取1,2,3,…时,如下表所示:
/………………………………………1 1
/……………………………………1 2 1
/…………………………………1 3 3 1
/………………………………1 4 6 4 1
/……………………………1 5 10 10 5 1
/…………………………1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。
用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中/的系数/的意义：为了得到(a+b)n展开式中/的系数，可以考虑在/这n个括号中取r个b，则这种取法种数为/，即为/的系数．
2./的展开式中各项的二项式系数/、/、/…/具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即/；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数/最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数/，/相等，且最大.
③各二项式系数之和为/，即/；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即/。
要点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项/的二项式系数是组合数/，展开式的系数是单项式/的系数，二者不一定相等。
如(a－b)n的二项展开式的通项是/，在这里对应项的二项式系数都是/，但项的系数是/，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
3./展开式中/的系数求法（/的整数且/）
/
如：/展开式中含/的系数为/
要点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
要点四：二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.
2.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设/
令x=0，则/
(2)令x=1，则/
(3)令x=－1，则/
(4)/
(5)/
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证：/能被64整除（/）
4.证明有关的不等式问题：
有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。①/；②/；（/）
如：求证：/
5.进行近似计算：
求数的/次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。
当/充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①/；②/；
如：求/的近似值，使结果精确到0.01；
【典型例题】
类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数
例1. 求/的二项式的展开式．
【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号．
【解析】
（1）解法一：/
/
/
/
解法二：/
/
/
/。
【总结升华】 记准、记熟二项式(a+b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷．
举一反三：
【变式】求/的二项式的展开式．
【答案】先将原式化简。再展开．
/
/
/
例2．试求：
（1）(x3－/)5的展开式中x5的系数；
（2）(2x2－/)6的展开式中的常数项；
【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x的项．因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式．
【解析】（1）Tr＋1＝/
依题意15－5r＝5，解得r＝2
故(－2)2/＝40为所求x5的系数
（2）Tr＋1＝/(2x2)6-r/＝(－1)r·26-r·/
依题意12－3r＝0，解得r＝4
故/·22/＝60为所求的常数项．
【总结升华】
1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的/是多少；
2. 注意系数与二项式系数的区别；
3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
举一反三：
【变式1】求/的展开式中/的二项式系数及/的系数.
【答案】/，/；
通项/，
∵/，∴/，
故展开式中/的二项式系数为/，
/的系数为/.
【变式2】求/的展开式中的第4项.
【答案】/；
/。
【变式3】(2018 湖北)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝( )
　 A． 2 B． C． 1 D．
【答案】
二项式(2x＋)7的展开式即(＋2x)7的展开式中x－3项的系数为84，
所以Tr＋1＝，
令－7＋2r＝－3，解得r＝2，
代入得：，
解得a＝1，
故选：C．
例3． 求二项式/的展开式中的有理项．
【思路点拨】 展开式中第r+1项为/，展开式中的有理项，就是通项中x的指数为正整数的项．
【解析】 设二项式的通项为/，
令/，即r=0，2，4，6，8时，/。
∴/，
/，
/，
/，
/。
∴二项式/的展开式中的常数项是第9项：/；有理项是第1项：x20，第3项：/，第5项：/，第7项：/，第9项：/．
【总结升华】 求有理项是对x的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求．
举一反三：
【变式】如果在/ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
【答案】（1）展开式中前三项的系数分别为1，/ ，/，
由题意得：2×/=1+/得/=8。
设第r+1项为有理项，/，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。
有理项为/。
类型二、 二项式之积及三项式展开问题
例4．求/的展开式中/的系数.
【思路点拨】 将/变形为/，要使两个因式的乘积中出现/，根据式子的结构可以分类讨论：当前一个因式为1时，后面的应该为/；当前一个因式为/时，后面的应该为/；当前一个因式为/时，后面的应该为/；也可以利用通项公式/化简解答。
【解析】
解法一：
/，
/的通项公式/（/），
分三类讨论：
（1）当前一个因式为1时，后面的应该为/，即/；
（2）当前一个因式为/时，后面的应该为/，即/；
（3）当前一个因式为/时，后面的应该为/，即/；
故展开式中/的系数为/。
解法二：
/的通项公式/（/），
/的通项公式/,（/），
令/,则/或/或/，
从而/的系数为/。
　举一反三：
【变式1】求/的展开式中/的系数.
【答案】/；
/的通项公式/（/），
分二类讨论：
（1）当前一个因式为1时，后面的应该为/，即/；
（2）当前一个因式为/时，后面的应该为/，即/；
故展开式中/的系数为/。
　
【变式2】在(1＋x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为________．
【答案】 (1＋x)5(1-x)4＝(1＋x)(1-x2)4，其中(1-x2)4展开的通项为·(-x2)r，
故展开式中x3的系数为＝-4．
例5. 求(1+x+x2)8展开式中x5的系数．
【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开/
【解析】
解法一：(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8，所以/，则x5的系数由(x+x2)r来决定，/，令r+k=5，解得/或/或/。
含x5的系数为/。
解法二：/
/，
则展开式中含x5的系数为/。
解法三：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)…(1+x+x2)（共8个），这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三：
（1）有2个括号各出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有/种；
（2）有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有/种；
（3）没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有/种．所以x5的系数是
/．
【总结升华】 高考题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．
举一反三：
【变式1】(2018 新课标Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
【答案】在(x2+x+y)5的5个因式中，2个因式中取x2，剩余3个因式中1个取x，其余因式取y
∴x5y2的系数为
故选C
【变式2】在(1+x+px2)10的展开式中，试求使x4的系数为最小值时p的值．
【答案】由通项/，
又(1+px)r的通项为/。
∴/。
而m+r=4，且0≤m≤r≤10。
∴/，或/，或/。
∴x4的系数为
/。
∴仅当p=－4时，x4的系数为最小。
类型三：有关二项式系数的性质及计算的问题
例6. （1）求(1+2x)7展开式中系数最大的项；
（2）求(1－2x)7展开式中系数最大的项。
【思路点拨】 利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。
【解析】 （1）设第r+1项系数最大，则有
/
即//，
解得/，即/，∴r=5。
∴系数最大的项为/。
（2）展开式共有8项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得。又因(1－2x)7括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较T5和T7两项系数大小即可，
/，
所以系数最大的项是第五项，/。
【总结升华】求展开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组/。
举一反三：
【变式】设/展开式的第10项系数最大，求n.
【答案】展开式的通项为/
∴/
∵第10项系数最大，/
/又∵/
∴n=13或n=14
【变式2】 已知/的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项。
【答案】 因为/，所以/。
即n2－21n+98=0，解得n=14或7。
当n=14时，第8项的二项式系数最大，/。
当n=7时，第4项与第5项的二项式系数最大，
/，/。
类型四、利用赋值法进行求有关系数和。
例7. 已知(1―2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。
【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法
【解析】 令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=―1 ①，
令x=―1，则a0―a1+a2―a3+a4―a5+a6―a7=37 ②，
（1）因为a0=/（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+…+a7=―2。
（2）由（①―②）÷2得/。
（3）由（①+②）÷2得/。
（4）方法一：因为(1―2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)―(a1+a3+a5+a7)=1093―(―1094)=2187。
方法二：|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|，即(1+2x)7展开式中各项的系数和，所以|a0|+|a1|+…+|a7|=37=2187。
【总结升华】 求展开式的各项系数之和常用赋值法。
“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值。一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=―1可得偶次项系数之和与奇次数系数之和的差，而当二项展开式中含负值时，令x=―1则可得各项系数绝对值之和。
举一反三：
【变式1】已知/，求：
（1）/； （2）/； （3）/.
【答案】（1）当/时，/，展开式右边为
/
∴//，
当/时，/，∴/，
（2）令/， // ①
令/，/ ②
①/② 得：/，∴ ///.
（3）由展开式知：/均为负，/均为正，
∴由（2）中①+② 得：/，
∴ /，
∴//
/ /
举一反三：
【变式1】求值：/.
【答案】/
【变式2】设//，
当/时，求/的值/
【答案】令/得：
//，
∴/，
类型四、 二项式定理的综合运用
例8.求证：/（/）能被64整除.
【思路点拨】可将/化成/再进行展开,化简即可证得.
【解析】∵//
∴//
/
故/（/）能被64整除。
【总结升华】利用二项式定理进行证明,需要多项式展开后的各项尽量多的含有/的式子.
举一反三：
【变式1】求证/能被10整除
【答案】∵//
∴//
/
故/能被10整除。
例9：当/且/>1，求证/
【解析】
/
/
/
/ 从而/
【总结升华】 用二项式定理证明不等式时，根据n的最小值，确定展开的最少项，然后分析具体情况确定其中有多少项即可．
举一反三：
【变式】求证：/，其中/，/，/。
【答案】//
∵/，∴/，
∴//。
例10. 求/的近似值，使误差小于0．001．
【思路点拨】因为/，所以可以用二项式定理来计算．
【解析】/，
∵/．
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，
∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，
即/．
【总结升华】由/知，当x的绝对值与1相比很小且n足够大时，/，/，…，/等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽略不计．因此可以使用近似计算公式/．在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍．
举一反三：
【变式】0.9915精确到0.01的近似值是 /
【答案】0.9915=(1-0.009)5=/
【巩固练习】
一、选择题
1．在二项/的展开式中，含x4的项的系数是（ ）．
A．－10 B．10 C．－5 D．5
2．若/（a，b为有理数），则a+b=（ ）．
A．33 B．29 C．23 D．19
3．（2018 南昌校级二模）若的展开式中第四项为常数项，则n=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4． (1+3x)n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在/的展开式中，系数是有理数的项共有（ ）．
A．4项 B．5项 C．6项 D．7项
6．用二项式定理计算9.985精确到1的近似值是（ ）．
A．99000 B．99002 C．99004 D．99005
7．（2018 江西模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．5 B．11 C．―21 D．―29
8．(2018 浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A． 45 B．60 C．120 D． 210
二、填空题
9． /的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．
10．在/的展开式中，x的系数为________（用数字作答）．
11．已知/的展开式中x2的系数与/的展开式中x3的系数相等，则cos/=________．
三、解答题
12．（1）求/展开式中的第三项。
（2）求(1+2x－3x2)5展开式中x5的系数．
13．已知/，求证：当/为偶数时，/能被64整除．
14. 已知二项式/，（n∈N/）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
15．求(1－3x)12的展开式中，（1）各项二项式系数和；（2）奇数项二项式系数和；（3）偶数项二项式系数和；（4）各项系数和；（5）各项系数绝对值和；（6）奇数项系数和与偶数项系数和。
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 /。
要求含x4的系数，则10－3r=4，3r=6，则r=2。
所以/。
2．【答案】B
【解析】 ∵/，
∴/，故选B。
3．【答案】B
【解析】依题意，
∵其展开式中第四项为常数项，
∴，
∴n=5。
故选B。
4．【答案】B
【解析】 二项式(1+3x)n的展开式的通项/。于是依题意有
/，即/（n≥6），
由此解得n=7。
5．【答案】A
【解析】 /。
∴/为有理数，即/为整数。则r为2，8，14，20共有4项。
6．【答案】C
【解析】 /≈100000－1000+4=99004。
7．【答案】D
【解析】∵，
其展开式中的系数是由以下几部分的和；
(1－x2)4的常数项与的展开式中含的系数的乘积；
(1－x2)4含x2的系数与的展开式中含的系数的乘积；
(1－x2)4含x4的系数与的展开式中含的系数的乘积；
∵(1－x2)4、的展开式中的通项公式分别为：
，，
∴的展开式中的系数为：
。
故选D。
8．【答案】C
【解析】(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，含x3y0的系数是：＝20．f(3，0)＝20；
含x2y1的系数是＝60，f(2，1)＝60；
含x1y2的系数是＝36，f(1，2)＝36；
含x0y3的系数是＝4，f(0，3)＝4；
∴f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120．
故选：C．
9．【答案】0
【解析】 二项式/的展开式的通项是/，因此，/的展开式中，x的系数与x9的系数之差等于/。
10．【答案】7
【解析】 /，令r=1，得系数/，
/，令r=3，得系数为/，
∴x的系数为/。
11．【答案】/
【解析】 /的展开式中x3的系数为/，
∴/的展开式中x2的系数为/。
∴/，/。
12．【解析】
（1）展开式中的第三项/。
（2）∵(1+2x―3x2)5=(1―x)5(1+3x)5，
∴展开式中x5的系数为243－5×405+10×270－10×90+5×15－1=92。
13. 【解析】
证明：/，
//为偶数，设/，
/，　　/
当/时，/，显然/能被64整除；
当/时，/式能被64整除．
/为偶数时，/能被64整除．
14. 【解析】
（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴/，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)/=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为/,/,/,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
/≤/ 并且/ ≤/，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T/=1792/；二项式
15．【解析】（1）各项二项式系数和为/。
（2）奇数项二项式系数和为/。
（3）偶数项二项式系数和为/。
（4）/，
令x=1，得各项系数和为(1－3)12=4096。
（5）令x=－1，得各项系数的绝对值为(1+3)12=412=16777216。
（6）令奇数项系数和为A，偶数项系数和为B。
令x=1得A+B=212；令x=―1得A―B=412。
∴/，
/。