人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：14【基础】独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布
【学习目标】
1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．
2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、n次独立重复试验
每次试验只考虑两种可能结果/与/，并且事件/发生的概率相同。在相同的条件下重复地做/次试验，各次试验的结果相互独立，称为/次独立重复试验。
要点诠释：
在/次独立重复试验中，一定要抓住四点：
①每次试验在同样的条件下进行；
②每次试验只有两种结果/与/，即某事件要么发生，要么不发生；
③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；
④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
要点二、独立重复试验的概率公式
1.定义
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
/（k=0，1，2，…，n）．
令/得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为/
令/得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为/。
要点诠释：
1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．
2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．
要点三、n次独立重复试验常见实例：
1.反复抛掷一枚均匀硬币
2.已知产品率的抽样
3.有放回的抽样
4.射手射击目标命中率已知的若干次射击
要点诠释：
抽样问题中的独立重复试验模型：
①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；
②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；
③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
要点四、离散型随机变量的二项分布
1. 定义：
在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在/次独立重复试验中事件A发生的次数/是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是/，则此事件不发生的概率为/，那么在/次独立重复试验中事件A恰好发生/次的概率是
/，（/）．
于是得到离散型随机变量/的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
/
/
…
/
…
/
由于表中第二行恰好是二项展开式
/中各对应项的值，所以称这样的随机变量/服从参数为/，/的二项分布，记作/．
要点诠释：
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：
其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；
其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；
其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。
2．如何求有关的二项分布
（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；
（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；
（3）用表格形式列出随机变量的分布列。
【典型例题】
类型一、独立重复试验的概率
例1． 有一批种子，每粒发芽的概率为0.90，播下5粒种子，计算：
（1）其中恰有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）；
（2）其中至少有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）．
【思路点拨】 播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．
【解析】 （1）播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式，5粒种子恰好4粒发芽的概率为
/．
（2）5粒种子至少有4粒发芽的概率，就是5粒种子恰有4粒发芽与5粒种子都发芽的概率的和，
即/．
【总结升华】 解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．
举一反三：
【变式1】某气象站天气预报的准确率为/，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率/
【答案】
（1）记“预报1次，结果准确”为事件/．则/，
且预报5次相当于5次独立重复试验，
故5次预报中恰有4次准确的概率/；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率：
/
//
【变式2】（2018秋 青海校级期末）若/，则/等于（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D
/。
【变式3】某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是/，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
【答案】记事件/＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验/
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率/，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率/，
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为
//
答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为/．
例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜（即5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛）
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
（2）按比赛规则甲获胜的概率。
【思路点拨】首先要真正弄明白打完4局、5局才能取胜的比赛具体情况。
【解析】（1）甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲、乙获胜的概率均为/，
记事件A=“甲打完3局就取胜”，
记事件B=“甲打完4局才能取胜”，
记事件C=“甲打完5局才能取胜”。
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜/
∴甲打完3局取胜的概率为/．
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负/
∴甲打完4局才能取胜的概率为/．
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负/
∴甲打完5局才能取胜的概率为/．
(2)事件/＝“按比赛规则甲获胜”，则/，
又因为事件/、/、/彼此互斥，
∴按比赛规则甲获胜的概率为/．
【总结升华】在“五局三胜制”的规则下，比赛不一定要打满五局，这就要根据实际比赛情况分类讨论，切不可盲目套用n次独立重复试验概率公式，否则会得到错误的结论。
本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛4局，甲以3：1获胜，须前三局中甲胜二局负一局，第四局甲胜．
举一反三：
【变式】甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？
【答案】三局两胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜两局；甲前两局中胜一局，第三局胜．
故P(甲获胜)＝0.62＋/×0.62×0.4＝0.648.
五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜．
故P(甲获胜)＝0.63＋/×0.63×0.4＋/×0.63×0.42≈0.683.
可以看出五局三胜制对甲有利，并由此可以猜测比赛的总局数越多甲获胜的概率越大．因此，为使比赛公平，比赛的局数不能太少．
类型二、离散型随机变量的二项分布
例3.已知一袋中装有6个黑球，4个白球，有放回地依次取出3个球，求取到的白球个数X的分布列。
【思路点拨】有放回地依次取出3个球，相当于三次独立重复试验，其取到的白球个数X服从二项分布，即/，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。
【解析】设“取一次球，取到白球”为事件A，可得/，/，
因为这三次摸球互不影响，所以
/
/
/。
所以离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
/
/
/
/
【总结升华】
①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量X服从二项分布，即/，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。
②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即/，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。
举一反三：
【变式1】（2018春 葫芦岛期末）设随机变量服从X～B（2，P），Y～B（3，P），若，则P（Y=2）=________
【答案】
∵随机变量服从X～B（2，P），
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
【变式2】9粒种子分别种在3个坑内，每个坑内种3粒种子，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑就不需要补种，若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑就需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种子1次需10元，写出补种费用X的分布列。（精确到0.01）
【答案】因为单个坑内3粒子种都不发芽的概率为/，
所以单个坑内不需要补种的概率为/；
3个坑都不需要补种的概率为/；
恰有1个坑需要补种的概率为/；
恰有2个坑需要补种的概率为/；
3个坑都需要补种的概率为/。
所以补种费用X的分布列为
X
0
10
20
30
P
0.670
0.287
0.041
0.002
【变式3】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．
【答案】
错解： X的可能取值是1，2，3，4．
P（X=1）=0.8；/；
/；
/．
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.32
0.096
0.0256
错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现/．
正解 X的可能取值是1，2，3，4．
P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.2×0.8=0.16；
P（X=3）=0.22×0.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008．
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.16
0.032
0.008
类型三、独立重复试验与二项分布综合应用
例4．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为/，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
（2）其中恰有3次击中目标的概率；
（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。
【思路点拨】由于“每次射击击中目标”的概率相同，各次射击的结果互不影响，相互独立，所以射击5次，即为5次独立重复试验。
【解析】
（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，
相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，
又因为各次射击的结果互不影响，
故所求概率为/；
（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。
相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有/种情况。
故所求概率为/；
法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。
该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为
/；
（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，
把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有/种情况。
故所求概率为/。
【总结升华】注意“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的差异。
举一反三：
【变式1】某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
【答案】设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击/次/
记事件/＝“射击一次，击中目标”，则/．
∵射击/次相当于/次独立重复试验，
∴事件/至少发生1次的概率为/．
由题意，令/，∴/，∴/，
∴/至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次/
【变式2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是/ .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【答案】
（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=/
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为/ ；
(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 /，由于各事件相互独立，
故//
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是/
【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为/.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖/人数ξ的分布列.
【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
P(A)=P(B)=P(C)=/
P(/)=P(A)P(/)P(/)=/
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为/……………………………………6分
（2）ξ的可能值为0,1,2,3
P(ξ=k)=/(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
/
/
/
/
例6．一袋中装有分别标记着1、2、3、4 数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为ξ.(1) 求ξ=3时的概率; (2) 求ξ的概率分布列.
【思路点拨】取出的三个球中数字最大者为3的事件分为三类，每类为典型的独立重复试验。
【答案】
(1) ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3
①三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=/
②三取取球中有2次出现最大数字3的概率/
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率/
三次取出的球中数字最大的数为3的概率/
(2) 在ξ=k时, 利用(1)的原理可知: //
/ (k=1,2,3,4). ξ 的概率分布列为:
ξ
1
2
3
4
P
?/
?/
?/
?/
【总结升华】本题主要考查限制条件下的概率计算.处理离散型变量时，注意正确判断随机变量的取值，全面剖析各个随机变量所包含的各种事件及相互关系，准确计算变量的每个取值的概率。
举一反三：
【变式1】一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，
则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
（2）记抽检的产品件数为/，求/的分布列和数学期望．
【答案】（1）设“这箱产品被用户接收”为事件/，/.
即这箱产品被用户接收的概率为/．
（2）/的可能取值为1，2，3．
/=/，
/=/，
/=/，
∴/的概率分布列为：
/
1
2
3
/
/
/
/
∴/=/．
【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。
【答案】
（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，
则/
（Ⅱ）/的可能取值为0，1，2，
/
所以/的概率分布为
/
0
1
2
/
/
/
/
/
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春 三明校级月考）若随机变量，则P（X=2）=（ ）
A． B． C． D．
2．若在某一次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件/发生k次的概率为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为/，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
4．下列离散型随机变量X的分布列不属于二项分布的是（ ）
A．据中央电视台新闻联播报道，下周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65.设在这一周内，某台电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为X
B．某射手射击一次击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X
C．某射手射击一次击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，射击n次恰好击中目标的次数为X
D．某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X
5．接处某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3个出现发热反应的概率为（精确到0.001） （ ）
A、0.942 B、0.205 C、0.737 D、0.993
6．有一道竞赛题，甲解出的概率为/，乙解出的概率为/，丙解出的概率为/．若甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有1人解出的概率为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．1
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）．
A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648
8．（2018秋 河南校级月考）已知随机变量，要使P（X=k）的值最大，则k=（ ）
A．5或6 B．6或7 C．7 D．7或8
二、填空题
9．某篮球运动员投球的命中率是/，则“投球10次，恰好投进3个球”（视他各次投球是否投进相互之间没有影响）的概率是________.
10．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为/，则此射手的命中率是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
11．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率为0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题
12．（2018秋 汉川市期末改编）设X～B（2，p），Y～B（4，p），已知/，求P（Y≥1）．
13．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2.
(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
14．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是/，遇到红灯时停留的时间都是2 min．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
15．在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以
往战况，中国女排每一局赢的概率为/.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，
（Ⅰ）求中国女排取胜的概率；
（Ⅱ）设决赛中比赛总局数/，求/的分布列.
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵随机变量，
∴
故选：D
2. 【答案】 D
【解析】由n次独立重复试验的概率公式易得.
3．【答案】B
【解析】 由独立重复试验的概率公式得/.
4．【答案】B
【解析】由二项分布的概率可知，从开始射击到击中目标所需要的射击次数X取值不确定，
故不是二项分布.
5. 【答案】A
【解析】 /.
6．【答案】B
【解析】将一人对两人错的三种情况的概率相加.
7．【答案】D
【解析】 甲获胜有两种情况，2∶0；2∶1，
∴甲获胜的概率为/.
8．【答案】B
【解析】，则
由题意，，∴k=6或7
故选：B
9．【答案】/
【解析】由题意可知，“投球10次，恰好投进3个球”这一事件服从二项分布，其中n=10，/，故/.
10．【答案】B
【解析】“至少命中一次”的对立事件为“4次都不命中”，
由相互独立及独立重复试验的概率公式可得/，
解得/.
11．【答案】①③
【解析】“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，
由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，
因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，
故①正确.
“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次击中目标，其概率是/，
故②不正确.
事件“他至少击中目标1次”的对立事件是“他1次也没有击中目标”，
而事件“他1次也没有击中目标”的概率是0.14，
故事件“他至少击中目标1次”的概率是1－0.14，
故③正确.
12．【解析】∵P（X=0）=P（X＜1），∴/，即(3p―1)(3p―5)=0，/或/（舍去）.
又Y～B（4，p），∴/，
∴/.
13. 【解析】(1)这批食品不能出厂的概率是：P＝1－0.85－C×0.84×0.2≈0.263.
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
P1＝/×0.2×0.83×0.8，
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
P2＝/×0.2×0.83×0.2，
由互斥事件只能有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝/×0.2×0.83＝0.409 6≈0.410.
14．【解析】（1）设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A发生的概率为
/.
（2）设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk（k=0，1，2）.
由题意得/，
/，
/.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的概率为
/.
15. 【解析】（Ⅰ）解：中国女排取胜的情况有两种：
①中国女排连胜三局；
②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.
故中国女排取胜的概率为
/ / ，/所求概率为/
（Ⅱ）比赛局数/
则/ /
/
/的分布列为: