人教版高中数学理科选修2-3同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【提高】独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布

【学习目标】
1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．
2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、n次独立重复试验
每次试验只考虑两种可能结果/与/，并且事件/发生的概率相同。在相同的条件下重复地做/次试验，各次试验的结果相互独立，称为/次独立重复试验。
要点诠释：
在/次独立重复试验中，一定要抓住四点：
①每次试验在同样的条件下进行；
②每次试验只有两种结果/与/，即某事件要么发生，要么不发生；
③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；
④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
要点二、独立重复试验的概率公式
1.定义
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
/（k=0，1，2，…，n）．
令/得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为/
令/得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为/。
要点诠释：
1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．
2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．
要点三、n次独立重复试验常见实例：
1.反复抛掷一枚均匀硬币
2.已知产品率的抽样
3.有放回的抽样
4.射手射击目标命中率已知的若干次射击
要点诠释：
抽样问题中的独立重复试验模型：
①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；
②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；
③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
要点四、离散型随机变量的二项分布
1. 定义：
在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在/次独立重复试验中事件A发生的次数/是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是/，则此事件不发生的概率为/，那么在/次独立重复试验中事件A恰好发生/次的概率是
/，（/）．
于是得到离散型随机变量/的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
/
/
…
/
…
/
由于表中第二行恰好是二项展开式
/中各对应项的值，所以称这样的随机变量/服从参数为/，/的二项分布，记作/．
要点诠释：
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：
其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；
其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；
其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。
2．如何求有关的二项分布
（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；
（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；
（3）用表格形式列出随机变量的分布列。
【典型例题】
类型一、独立重复试验的概率
例 1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．
【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为
/．
（2）5次预报中至少有2次准确的概率为
/．
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为
/．
【总结升华】 解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．
举一反三：
【变式1】甲每次投资获利的概率是p=0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：
（1）有5次获利的概率；
（2）6次都获利的概率；
（3）至少5次获利的概率．
【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，0.8），且
/，
/．
（1）他5次获利的概率约等于0.39．
（2）他6次都获利的概率约等于0.26．
（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．
由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以
P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈0.39+0.26=0.65．
故他至少5次获利的概率约等于0.65．
【变式2】（2018春 大庆校级期中）若随机变量，则p（ξ＜3）=________
【答案】
∵，
∴

故答案为：
【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次/
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
/
//
设从低层到顶层停/次，则其概率为/，
∴当/或/时，/最大，即/最大，
答：从低层到顶层停不少于3次的概率为/，停4次或5次概率最大．
例2． 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为/，没有平局．
（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？
（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？
【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．（2）中用同样的方法分类．
【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则
/．
（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则
/．
【总结升华】 本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜．
举一反三：
【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是/，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。
（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；
（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。
【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：
①记事件A1=“甲连胜四局”，
所以甲打完四局就获胜的概率为：
/；
②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，
所以甲打完五局才获胜的概率为：
/；
③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，
所以甲打完六局才获胜的概率为：
/；
④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，
所以甲打完七局才获胜的概率为：
/。
（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，
故离散型随机变量X的分布列为
X
4
5
6
7
P
/
/
/
/
类型二、离散型随机变量的二项分布
例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分/的概率分布列。
【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分/服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。
【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则/
（Ⅱ）由题意，/的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为/
/
/
/
/
/的分布列为
/
3
4
5
6
P
/
/
/
/
【总结升华】
①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量/服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。
②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即/，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。
举一反三：
【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
【答案】依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)=/(95%)/=0.9025，P(ξ=1)=/(5%)(95%)=0.095，
P(/)=/(5%)/=0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025
【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是/。
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解：（1）B(5, /)，ξ的分布列为P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5；
（2）η的分布列为P(η=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5个均为绿灯)=；
（3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－≈0.8683.
【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）．
【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是/，取得白球的概率是/，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k－1）次取得9次红球．
∴X的分布列为
/（k=10，11，…），
（表格略）
/．
【变式4】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．
【答案】
错解： X的可能取值是1，2，3，4．
P（X=1）=0.8；/；
/；
/．
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.32
0.096
0.0256
错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现/．
正解 X的可能取值是1，2，3，4．
P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.2×0.8=0.16；
P（X=3）=0.22×0.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008．
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
0.8
0.16
0.032
0.008
类型三、独立重复试验与二项分布综合应用
例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是/ .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【思路点拨】
本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.
【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=/
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为/ ；
(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 /，由于各事件相互独立，
故//
答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是/
【总结升华】
射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。
举一反三：
【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，
(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？
【答案】已知n次独立射击中至少击中一次的概率为/；
(1)要使/，/,必须/，即射击次数必须不小于/次.
(2)要使/，必须/，即射击次数必须不小于/次
【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为/，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
（2）其中恰有3次击中目标的概率；
（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。
【答案】
（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，
相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，
又因为各次射击的结果互不影响，
故所求概率为/；
（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。
相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有/种情况。
故所求概率为/；
法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。
该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为
/；
（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，
把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有/种情况。
故所求概率为/。
【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为/.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖/人数ξ的分布列.
【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
P(A)=P(B)=P(C)=/
P(/)=P(A)P(/)P(/)=/
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为/……………………………………6分
（2）ξ的可能值为0,1,2,3
P(ξ=k)=/(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
/
/
/
/
例5．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是/．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布．
【思路点拨】
从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次．而利用对立事件去分析更好理解．
【解析】 （1）解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5．
X=2表明第一次击中，第二次也击中，
/；
X=3表明前2次击中一次，第3次击中，
/；
X=4表明前3次击中一次，第4次击中，
/；
X=5表明前4次击中一次，第5次击中，
/．
所以，/．
解法二：利用/．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．
所以/．
（2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2．
∴/．
所以X的概率分布为
X
2
3
4
5
P
/
/
/
/
【总结升华】 要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P（X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验．
举一反三：
【变式1】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p，且各发动机互不影响．如果至少50％的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P而言，四发动机比二发动机更安全？
【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为
/，
二发动机飞机成功飞行的概率为
/．
要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要/，
化简整理，得/．
∴当发动机不出故障的概率大于/时，四发动机飞机比二发动机飞机安全．
【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。
【答案】
（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，
则/
（Ⅱ）/的可能取值为0，1，2，
/
所以/的概率分布为
/
0
1
2
/
/
/
/
/
例6.（2018 桐城市一模）一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）。现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回。若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中。
（1）求每次中奖的概率p（用m表示）；
（2）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？
【答案】（1）（2）（3）2
【思路点拨】（1）因为取出2球的颜色相同则为中奖，可得每次中奖的概率；
（2）m=3，每次中奖的概率，可得三次摸奖恰有一次中奖的概率为；
（3）求出三次摸奖恰有一次中奖的概率为，利用导数确定单调性，可得时，f（p）取得最大值，从而求出m的值。
【解析】（1）∵取出2球的颜色相同则为中奖，
∴每次中奖的概率；
（2）若m=3，每次中奖的概率，
∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为；
（3）三次摸奖恰有一次中奖的概率为，
∴f＇（p）=3(p―1)(3p―1)，
∴f（p）在上单调递增，在上单调递减，
∴时，f（p）取得最大值，即
∴m=2，即m=2时，f（p）取得最大值。
【总结升华】（1）本题主要体现了超几何分布的概念及其应用（2）和（3）主要考查二项分布与n次独立重复试验.
举一反三：
【变式】在某批很大数量的产品中，有20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率。
【答案】从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于2次独立重复试验，
抽出的二等品的件数/，
所以取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率：
/。
【巩固练习】
一、选择题
1．独立重复试验应满足的条件是（ ）．
①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中某事件发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
2．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为/，则此射手的命中率是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
3．若X～B（50，0.1），则P（X≤2）等于（ ）．
A．0.0725 B．0.00856 C．0.91854 D．0.11173
4．设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它 （ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
5．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
6．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰好有3次取到白球的概率为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
7．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为/，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
// // // //
8．（2018秋 武汉校级期末）如果，则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（ ）
A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错
二、填空题
9．下列四个随机变量：
①随机变量ξ表示重复投掷一枚硬币n次中正面向上的次数；
②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，用η表示n次抽取中出现次品的件数；
③某命中率为p（0＜p＜1）的射手对同一目标进行射击，一旦命中目标则停止射击，记ξ为该射手从开始射击到命中目标所需要的射击次数；
④随机变量ξ为n次射击中命中目标的次数．
上述四个随机变量服从二项分布的是________．
10．（2018秋 汉川市期末）设随机变量X～B（2，p），Y～B（3，P），若，则P（Y=1）=________
11．某人猜谜的猜中率为60％，他共猜10个谜，其中猜中的个数最多为________个，10次猜谜猜中个数最多的概率为________．（只列出式子即可）
12．设有八门大炮独立地同时向某一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，目标被击毁．若每门大炮命中目标的概率都是0.6，则目标被击毁的概率约为________．（保留3位小数）
三、解答题
13．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为/和/，且各株大树是否成活互不影响．求：移栽的4株大树中，
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活1株的概率．
14．（2018春 宁夏校级期末）某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，
（1）恰有8次击中目标的概率；
（2）至少有8次击中目标的概率。
15．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B级，若投中4次及以上则可确定为A级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5.
（1）求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；
（2）设阿明投篮投中次数为X，求X的分布列；
（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由独立重复试验的概念可知应选C。
2．【答案】B
【解析】“至少命中一次”的对立事件为“4次都不命中”，
由相互独立及独立重复试验的概率公式可得/，
解得/。
3．【答案】D
【解析】 由二项分布的公式可得。
4. 【答案】D
【解析】/，n>5,n=6。
5．【答案】C
【解析】 两班各自派出1名同学是相互独立事件，设A、B分别代表甲班、乙班派出的是三好学生，则AB代表两班派出的都是三好学生，则/。
6．【答案】D
【解析】 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为
/。
7. 【答案】 A
【解析】即前三局甲胜2局负1局，第4局获胜
8．【答案】B
【解析】随机变量，
∴当，
由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值，这和期望的意义接近。
∵，
∴k=6，或k=7都可能是极值，
∵P（ξ=6）=P（ξ=7），
∴p（ξ=k）取最大值时k的值是6或7
故选：B
9．【答案】①②④
【解析】是否为独立重复试验中的结果。
10．【答案】
【解析】 ∵随机变量X～B（2，P），
∴，解得。
∴，
故答案为：
11．【答案】6 /
【解析】 本题就是求在10次独立重复试验中，事件A发生6次的概率，利用独立重复试验的概率公式求解。
12．【答案】0.991
【解析】 /。
13．【解析】设Ak表示第k株甲种大树成活，k=1，2，
/表示第/株乙种大树成活，/=1，2。
则A1，A2，B1，B2相互独立，且 /，/。
（1）至少有1株成活的概率为
///。
（2）由独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式知，所求概率为
/。
14．【解析】（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为
（2）至少有8次击中目标的概率为
15. 【解析】（1）阿明投篮4次才被确定为B级的概率/.
（2）由已知X—B/，X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
/
/
/
/
/
/
（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：　
①5次投中3次，有/种投球方式，其概率为/；
②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是
/；
③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为/；
④投中0次只有否否一种，概率为/；
所以阿明不能入围这一事件的概率是/。