课件15张PPT。弧度制知识回顾1、角度制的定义
规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。可以计算弧长L=1、1弧度角的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度设弧AB的长为L，若L=r，则∠AOB= 1 弧度若L=2r，则∠AOB= 2 弧度2弧度若圆心角∠AOB表示一个负角，且它
所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是-3弧度2.一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r
为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的
制度叫做弧度制。3、弧度与角度的换算若L=2 π r，则∠AOB= 2π弧度由180°= π 弧度 还可得4、例1（1）、把67°30′化成弧度。练习. 课本P8表格
“填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表”注：1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。0例2：已知扇形AOB的周长是8cm，该扇形的中心角是2rad。求该扇形的面积。弧度制中关于扇形的几个公式：2、用弧度为单位表示角的大小时，
“弧度”二字通常省略不写，但用
“度”（°）为单位时不能省。3、用弧度为单位表示角时，通常写
成“多少π”的形式。4、用弧度来度量角，实际上角的集合
与实数集R之间建立一一对应的关系：正实数零负实数对应角的弧度数小结：2、量角的制度，除了角度制与弧度制以外，
还有其它的制度，弧度制除了使角与实
数有一一对应关系外，为以后学习三角
函数打下基础。3、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个仅与角α大小有关的常数,所以作为度量角的标准.1. 1.2 弧度制
【教学目标】
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
【教学重难点】
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
【教学过程】
（一）复习引入.
复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系
提出问题：
①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？
② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？
③ 角的范围是什么？如何分类的？
（二）概念形成
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
(1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？
(3)弧度是如何定义的？
(4)角度制与弧度制的区别与联系?
2．学生动手画图来探究：
(1)平角、周角的弧度数
(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
3．角度制与弧度制如何换算？
rad 1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1) （2） (3) (4)
解：(1) （2） (3) (4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
解：(1) （2） (3)
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)
解：（1）108 o (2)200.5 o (3)114.6 o (4)45 o
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）— （3）
解：（1）15 o （2）-240 o （3）54 o
弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4
变式练习：
1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案：
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 2 倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm2 ．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为 ．
课堂小结：
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（四）作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。
（五）课后检测
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
答案：A= B= C=
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
答案：
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
答案：
〖板书设计〗
1.1.2 弧度制
（一）复习引入
概念形成 例1 例2
（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式
例3
小结：
1.1.2 弧度制
课前预习学案
一、预习目标：
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
二、预习内容
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
角的弧度制是如何引入的？
为什么要引入弧度制？好处是什么？
弧度是如何定义的？
角度制与弧度制的区别与联系?
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数？
2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
课内探究学案
一、学习目标
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；
4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算；
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程
（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？
（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：
，的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
（三）角度与弧度的换算
rad 1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1) （2） (3) (4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）— （3）
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
变式练习 1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为 ．
课堂小结：
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（七）作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。
课后练习与提高
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
课件33张PPT。§1.1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.明目标、知重点1.度量角的单位制
(1)角度制
用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 .
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.度填要点·记疑点?半径长弧度②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是 .
③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .正数负数零?2.角度制与弧度制的换算
(1)2π360°π180°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系??????3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则?????探要点·究所然情境导学?探究点一 弧度制思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半
径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律. 00°?－90°π180°－2π－360°（?1°1－2?思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.2π360°π180°例1 (1)把67°30′化成弧度；反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 即可.??288探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为α).例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.?探究点三 利用弧度制表示终边相同的角导引 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.
思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.{α|α＝kπ，k∈Z}思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.?解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.又β∈[－4 π ，0]，当堂测·查疑缺 12341.时针经过一小时，时针转过了( )解析 时针经过一小时，转过－30°，B12342.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4
解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为α，C12343.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为__________________.
解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，1234呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.第2课时弧度制
课时目标
1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．
2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．
识记强化
1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.
2．弧长计算公式：l＝|α|·r(α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S＝l·r或S＝|α|·r2(α是弧度数且0<α<2π)．
3．角度与弧度互化
度数
360°
180°
1°
()°
弧度数
2π
π
1
课时作业
一、选择题
1．－315°化为弧度是()
A．－πB．－
C．－ D．－π
答案：C
解析：－315°×＝－
2．在半径为2 cm的圆中，有一条弧长为 cm，它所对的圆心角为()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设圆心角为θ，则θ＝＝.
3．与角－终边相同的角是()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：与角－终边相同的角的集合为αα＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.
4．下列叙述中正确的是()
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
答案：D
解析：由弧度的定义，知D正确．
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B为()
A．?
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π}
答案：D
解析：求出集合A在[－4,4]附近区域内的x的数值，k＝0时，0≤x≤π；k＝1时，4<2π≤x≤3π；在k＝－1时，－2π≤x≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A∩B.
6．下列终边相同的一组角是()
A．kπ＋与k·90°，(k∈Z)
B．(2k＋1)π与(4k±1)π，(k∈Z)
C．kπ＋与2kπ±，(k∈Z)
D.与kπ＋，(k∈Z)
答案：B
解析：(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z，都表示π的奇数倍．
二、填空题
7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.
答案：2
解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为＝2 rad.
8．设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.
答案：
解析：由－π<－<π，得－9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．
答案：－
解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－＝－
三、解答题
10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车以30 km/h的速度通过，求火车经过10 s后转过的弧度数．
解：∵圆弧半径R＝2 km＝2 000 m，
火车速度v＝30 km/h＝ m/s，
∴经过10 s后火车转过的弧长l＝×10＝(m)，
∴火车经过10 s后转过的弧度数|α|＝＝＝.
11．已知角α＝2010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.
又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为r＝＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤r<0，
∴k＝－3，－2，－1.
∴与α终边相同的角为－π，－π，－π.
(3)令0≤r＝π＋2kπ＜5π，
∴k＝0,1，
∴与α终边相同的角为π，π.
能力提升
12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA围绕点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则θ等于()
A．－4π B．－6π
C．－8π D．－10π
答案：B
解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA旋转了＋＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.
13．已知集合M＝，
N＝，
P＝，试确定M、N、P之间满足的关系．
解：解法一：集合M＝；
N＝
＝
＝；
P＝
＝
＝.
所以M?N＝P.
解法二：M＝
＝
＝；
N＝
＝；
P＝
＝
＝＝N.
所以MN＝P.
1.1.2 弧度制
整体设计
教学分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
三维目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.
在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?
图1
活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.
讨论结果:
①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.
②能,用弧度制.
提出问题
问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?
问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?
活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.
讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.
②α=;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=rad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=()°,n°=n(rad).
提出问题
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?
问题②:填写下列的表格,找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
r
逆时针方向
2πr
逆时针方向
R
1
2r
-2
-π
0
180°
360°
活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.
由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
图2
讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=lR.
②
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
Π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
R
逆时针方向
1
57.3°
2r
顺时针方向
-2
-114.6°
πr
顺时针方向
-π
-180°
0
未旋转
0
0°
πr
逆时针方向
Π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
应用示例
例1 下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案:D
例2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-;②;③-20;④-.
活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z},
{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},
{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z},
{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.
解:①=-4π+,是第一象限角.
②=10π+,是第二象限角.
③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.
④-23≈-3.464,是第二象限角.
点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与,π,比较大小,估计出角所在的象限.
变式训练
(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;
(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.
解:(1)∵-1 480°=-=-10π+,0≤ <2π,
∴-1 480°=2(-5)π+.
(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+,k∈Z.
又∵β∈［-4π,0),∴β1=,β2=.
例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.
活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=π.
又∵0<θ<2π,∴0<π<2π.
∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ=、、π、、.
点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k的值,进而求适合条件的角.
例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.
活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.
解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.
由已知,2r+l=a,即l=a-2r.
∴S=l·r=(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.
∵r>0,l=a-2r>0,∴0∴当r=时,Smax=.
此时,l=a-2·=,∴α==2.
故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积取最大值.
点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.
变式训练
已知一个扇形的周长为+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×=,
∴扇形的弧长为r,由已知,r+2r=+4,∴r=2.
∴S=·r2=.故扇形的面积为.
点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.(1);(2);(3).
点评:能进行角度与弧度的换算.
2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.
点评:能进行弧度与角度的换算.
3.(1){α|α=kπ,k∈Z};(2){α|α=+kπ,k∈Z}.
点评:用弧度制表示终边分别在x轴和y轴上的角的集合.
4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2° 点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制).
5.m.
点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.
6.弧度数为1.2.
点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.
课堂小结
由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.
重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.
作业
①课本习题1.1 A组6、8、10.
②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.
设计感想
本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.
根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.
1.1.2 弧度制
课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________ rad
2π rad＝________
180°＝______ rad
π rad＝________
1°＝______rad≈
0.017 45 rad
1 rad＝______≈57°18′
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝________
l＝______
扇形的面积
S＝________
S＝______＝______
一、选择题
1．集合A＝与集合B＝的关系是( )
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．以上都不对
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1
3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．?
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A. B．－ C.π D．－π
6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
二、填空题
7．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.
三、解答题
11．把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；(2)π；(3)－4.
12．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
能力提升
13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
1.1.2 弧度制
答案
知识梳理
1．(1) (2)半径长 1 rad (3)|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0
2．2π 360° π 180° °
3. αR αR2 lR
作业设计
1．A
2．C [r＝，∴l＝|α|r＝.]
3．A [设扇形半径为r，圆心角为α，
则，
解得或.]
4．C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．D [∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.]
6．B [设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S内切＝πr2.
S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.]
7．－10π＋π
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋π.
8．25
解析 216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.
9.π或π
解析 －π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.
10．－，－，，
解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π.
11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，
∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．
(2)π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．
(3)－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad.
13．4
解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.
14．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°＝50 (cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋cR＝－(R－)2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
