1. 2.1任意角的三角函数
【教学目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
【教学重难点】
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
【教学过程】
一、【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
; .
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; .
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、【探究新知】
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中)
6.三角函数线
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
7.例题讲解
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
解：
变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
解：,,.
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0
（2）
（3）
变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值.
解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.
变式训练3： 求函数的值域.
解析：分四个象限讨论.
答案：{2，-2，0}
例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1.与 2.tan与tan
三、【学习小结】
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
(5)三角函数线的做法.
四、【作业布置】
作业：习题1.2 A组第1,2题．
五、【板书设计】
1.2.1任意角的三角函数
（一）复习引入
概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线
（三）例题讲解
小结：
1.21任意角的三角函数
课前预习学案
一、预习目标：
1.了解三角函数的两种定义方法；
2.知道三角函数线的基本做法.
二、预习内容：
根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
二、重点、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学习过程
（一）复习：
1、初中锐角的三角函数 ______________________________________________________
2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________
（二）新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________
（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________
（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；
2．三角函数的定义域、值域
函 数
定 义 域
值 域
3．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为_____（），对于第三、四象限为____（）；
②余弦值对于第一、四象限为_____（），对于第二、三象限为____（）；
③正切值对于第一、三象限为_______（同号），对于第二、四象限为______（异号）．
4．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：__________________________
即有：_________________________
_________________________
_________________________
5．当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，_______ ，________
．_________
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
（三）例题
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。
变式训练3： 求函数的值域
例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1. 与 2. tan与tan
（四）、小结
课后练习与提高
一、选择题
1. 是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 是第二象限角，且，则是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3、如果那么下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
4. 已知的终边过（9，）且，，则的取值范围是 。
5. 函数的定义域为 。
6. 的值为 （正数，负数，0，不存在）
三、解答题
7.已知角α的终边上一点P的坐标为（）（），且，求
课件15张PPT。任意角的三角函数2知识一：根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有何关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.
即有诱导公式一 知识二：三种三角函数能否找到一种几何表示呢？三角函数线有向线段：像MP,OM这种被看作带有方
向的线段，叫做有向线段；三角函数线：上图中三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT,分别叫做角а的正弦线、余弦线、正切线，
统称为三角函数线. α的终边TPMPMATA(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1） ；（2） ．练习：BDBB+t＞0时，t＜0时，TA导学第10页（14题）课堂小结1、三角函数线的作法；2、三角函数线的作用：①利用三角函数线确定角的终边；
②利用三角函数线比较三角函数值的大小；
③利用三角函数线确定角的集合或范围.探究：当0＜α＜π/2时，总有
sinα＜α＜tanα.S△POA＜S扇形AOP＜S△AOTMP·OA/2＜α·OA ·OA /2＜OA ·AT /2MP＜α＜ATsinα＜α＜tanα例4 利用单位圆中的三角函数线⑵若 ≤θ≤ ，试确定sinθ的取值范围.cosθ呢?课件38张PPT。§1.2 任意角的三函数
1.2.1 任意角的三角函数(二)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.明目标、知重点1.三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是
.填要点·记疑点2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段 、 、 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .MPOMATMPOMAT探要点·究所然情境导学角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函数，主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一 三角函数线的概念及其作法??思考2 若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x都是负数，此时角α的正弦值
和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、
OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的
坐标一致？答 过角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足为M，则，－|MP|＝y＝sin α，－|OM|＝x＝cos α.我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方
向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点，
另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负
值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时
为正方向，反向时为负方向. 即规定当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样，无论哪种情况都有OM＝x＝cos α.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP＝y＝sin α.小结 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.思考3 当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
答 如下图：探究点二 三角函数线的应用导引 三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负.
思考1 若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？
答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得
－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.思考2 设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？
答 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1.
在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即
sin α＋cos α>1.思考3 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α＋cos2α与1的关系？
答 当α的终边落在x轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1，
sin2α＋cos2α＝1；
当α的终边落在y轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1；
当α的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM.
在Rt△OMP中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1.
∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.?反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处.解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，
由图可知：例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： ① ②反思与感悟 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.跟踪训练2 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围.探究点三 利用三角函数线求函数的定义域思考 任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集.根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sin x的定义域是 ；余弦函数y＝cos x的定义域是 ；正切函数y＝tan x的定义域是 .在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域.例如：RR{x|x∈R，且x≠kπ?{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}解 由题意，得自变量x应满足不等式组则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，反思与感悟 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.?如图所示.当堂测·查疑缺 12341.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )D12342.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A.正弦线PM，正切线A′T′
B.正弦线MP，正切线A′T′
C.正弦线MP，正切线AT
D.正弦线PM，正切线ATC1234?B4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：12341234答案 (1)> (2)> (3)<呈重点、现规律1.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解容易了.第4课时 三角函数线
课时目标
借助单位圆理解任意角三角函数定义(正弦、余弦、正切)．
识记强化
1．在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．利用单位圆定义求任意角的三角函数．设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
(3)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
3．三角函数线
图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．
课时作业
一、选择题
1．已知有向线段MP、OM、AT分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有( )
A．MP＜OM＜AT
B．OM＜MP＜AT
C．AT＜OM＜MP
D．OM＜AT＜MP
答案：B
解析：画出三角函数线可作出判断．
2．下列判断错误的是( )
A．角α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．角α与角α＋π有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
答案：B
3．已知角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
答案：D
解析：依题意，角α的终边是第二、四象限角的平分线．
4．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上
答案：B
解析：当角α的正弦线的长度为单位长度，即单位圆的半径，此时角α的终边在y轴上．
5．sin1，cos1，tan1的大小关系是( )
A．sin1＜cos1＜tan1
B．sin1＞tan1＞cos1
C．cos1＜sin1＜tan1
D．tan1＜sin1＜cos1
答案：C
解析：作出角1的正弦线MP，余弦线OM和正切线AT，比较大小可知：OM＜MP＜AT.所以sin1、cos1、tan1从小到大排列顺序为cos1＜sin1＜tan1(如图所示)．
6．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
答案：C
解析：如图所示，当α∈时，恒有MP>OM，而当α∈∪时，则是MP
二、填空题
7．若sinα≥，则α的取值范围是________．
答案：{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
解析：如图作直线y＝交单位圆于A，B两点，
连结OA，OB，则图中的阴影部分即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的取值范围为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2,3]
解析：∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα>0，cosα≤0，∴，解得－29．观察角α从0°增大到360°时正弦线长度的变化，填写空格：
①当α从0°逐渐增大到90°时，sinα从________逐渐________到________；
②当α从90°逐渐增大到180°时，sinα从________逐渐________到________；
③当α从180°逐渐增大到270°时，sinα从________逐渐________到________；
④当α从270°逐渐增大到360°时，sinα从________逐渐________到________．
答案：①0，增大，1；②1，减小，0；③0，减小，－1；④－1，增大，0.
三、解答题
10．利用三角函数线比较sin，cos，tan的大小．
解：如图所示：
由图可知cos<0，tan>0，
sin>0，且tan＝tan，∵0<<，sin11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sinx>－且cosx>；
(2)tanx≥－1.
解：
(1)由图①，知当sinx>－且cosx>时，
角x满足的集合为
.
(2)由图②，知当tanx≥－1时，角x满足的集合为
∪x2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z，
即.
能力提升
12．如果<θ<，那么下列各式中正确的是( )
A．cosθB．sinθC．tanθD．cosθ答案：D
解析：如图所示，由三角函数线易知，
cosθsinθ>sin＝，tanθ>tan＝1.
13．已知0<α<，求证：
(1)sinα＋cosα>1；
(2)sinα<α证明：如图所示，设α的终边与单位圆交于P，作PM⊥x轴于M，过点A(1,0)作AT⊥x轴，交α的终边于T，则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.
(1)在△OMP中，
∵OM＋MP>OP，∴sinα＋cosα>1.
(2)连接PA，
则S△POA＝OA·MP，S扇形AOP＝OA2·α，
S△OTA＝OA·AT.又∵S△POA∴OA·MP<OA2·α＜OA·AT，
∴MP<α?1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
整体设计
教学分析
学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.
本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.
利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.
三维目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.
重点难点
教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.
思路2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?
问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?
活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.
教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.
图1
如图1,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.
根据初中学过的三角函数定义,我们有
sinα==,cosα==,tanα==.
讨论结果:
①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.
②sinα==,cosα==,tanα==.
提出问题
问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?
问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?
活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.
过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.
此时sinα==b,cosα==a,tanα==.
在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.
图2
如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;
(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;
(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).
所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.
教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数.
在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质.
教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.
讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有
sinα==,cosα==,
tanα==.
由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.
②能.
提出问题
问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?
问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?
活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.
按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内.
三角函数
定义域
sinα
cosα
tanα
图3
教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论.对于正弦函数sinα=y,因为y恒有意义,即α取任意实数,y恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα=,因为x=0时,无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠ +kπ(k∈Z).(由学生填写下表)
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
讨论结果:①定义域、值域、单调性等.
②y=sinα与y=cosα的定义域都是全体实数R,值域都是[-1,1].y=tanα的定义域是{α｜α≠ +kπ(k∈Z)},值域是R.
应用示例
思路1
例1 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.
活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P与原点的距离r=>0,那么:
图4
①叫做α的正弦,即sinα=;
②叫做α的余弦,即cosα=;
③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).
这样定义三角函数,突出了点P的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点.
解:由已知,可得OP0==5.
图5
如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,
于是sinα=y====;
cosα=x====;
tanα===.
点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.
变式训练
求的正弦、余弦和正切值.
图6
解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=,如图6.
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,),
所以sin=,cos=,tan=.
例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.
活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.
证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.
因为①sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上;
又因为②式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.
于是角θ为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.
变式训练
(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
答案:C
例3 求下列三角函数值:
(1)sin390°;(2)cos;(3)tan(-330°).
活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么?
引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.
由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):
sin(α+k·2π)=sinα,
cos(α+k·2π)=cosα,
tan(α+k·2π)=tanα,
其中k∈Z.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.
解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=;
(2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=;
(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=.
点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.
思路2
例1 已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3secα=.
活动:要让学生独立思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是个大的计算题应该怎样组织步骤.
解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则
x=k,y=-3k,r==｜k｜.
(1)当k>0时,r=,α是第四象限角,
sinα===,secα===,
∴10sinα+3secα=10×+3=-3+3=0.
(2)当k<0时,r=,α为第二象限角,
sinα===,secα===,
∴10sinα+3secα=10×+3×()=3-3=0.
综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.
点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y=-3x上是一致的.
变式训练
设f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值.
解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0,
f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2π=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.
而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π,
∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.
同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.
求函数y=+tanα的定义域.
活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示.
解:要使函数y=+tanα有意义,则sinα≥0且α≠kπ+(k∈Z).
由正弦函数的定义知道,sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负.
∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z).
∴函数的定义域是{α｜2kπ≤α<+2kπ或+2kπ<α≤(2k+1)π,k∈Z}.
点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义,必须sinα≥0,且tanα有意义,由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.
变式训练
求下列函数的定义域:
(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx;
(3)y=;(4)y=+tanx.
解:(1)∵使sinx,cosx有意义的x∈R,∴y=sinx+cosx的定义域为R.
(2)要使函数有意义,必须使sinx与tanx有意义.∴有
∴函数y=sinx+tanx的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z}.
(3)要使函数有意义,必须使tanx有意义,且tanx≠0.
∴有(k∈Z),
∴函数y=的定义域为{x｜x≠,k∈Z}.
(4)当sinx≥0且tanx有意义时,函数有意义,
∴有(k∈Z).
∴函数y=+tanx的定义域为
［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z).
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.sin=;cos=;tan=
点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值.
2.sinθ=;cosθ=;tanθ=.
点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.
3.
角α
0°
90°
180°
270°
360°
角α的弧度数
0
Π
2π
sinα
0
1
0
-1
0
cosα
1
0
-1
0
1
tanα
0
不存在
0
不存在
0
点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一.
4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.
点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符号.
5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.
点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号.
6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;
(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.
点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符号.
7.(1)0.874 6;(2);(3)0.5;(4)1.
点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一.
课堂小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符号,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.
作业
课本习题1.2A组题1—9.
设计感想
关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力,以巩固对知识的理解和掌握.
教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.
(设计者：房增凤)
第2课时
导入新课
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?
思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?
问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?
活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P作x轴的垂线,垂足为M;过A作单位圆的切线,这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标.显然,线段OM的长度为|x|,线段MP的长度为|y|,它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段:
如果x>0,OM与x轴同向,规定此时OM具有正值x;如果x<0,OM与x轴正向相反(即反向),规定此时OM具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.
如果y>0,把MP看作与y轴同向,规定此时MP具有正值y;如果y<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.
引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段.
于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有
sinα===y=MP,
cosα===x=OM.
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地,我们把OA、AT也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tanα===AT.
这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.
讨论结果:①能.
②被看作带有方向的线段叫做有向线段.
提出问题
问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?
问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?
活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:
(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.
(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
讨论结果:①略.
②略.
示例应用
思路1
例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交
图7
射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则
sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.
活动:根据三角函数线的定义可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ
=ON,tanβ=AT′.
答案:MP OM AT NQ ON AT′
点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.
变式训练
利用三角函数线证明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以｜sinα｜+｜cosα｜=1.
当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合:(1)sinα=;(2)sinα≥.
活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以要作出满足sinα=的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点A,则OA即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.
图8
解:(1)作直线y=交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB为角α的终边,如图8所示.
故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线y=交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
点评:在解简单的特殊值(如±,等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来.
变式训练
已知sinα≥,求角α的集合.
解:作直线y=交单位圆于点P,P′,则sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)内∠POx=,∠P′Px=.
∴满足条件的集合为{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
思路2
例1 求下列函数的定义域:
(1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x).
活动:先引导学生求出x所满足的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允许的范围内研究,否则无意义.再利用三角函数线画出满足条件的角x的终边范围.求解时,可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围,写出适合条件的x的取值集合.
解:(1)由题意,得
则(k∈Z).
∴函数的定义域为{x|2kπ(所求x的终边所在的区域如图9中的阴影部分所示)
(2)∵3-4sin2x>0,∴sin2x<.∴∴x∈(2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+)(k∈Z),
即x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z).
(所求x的终边所在的区域如图10中的阴影部分所示)
图9 图10
变式训练
求函数y=的定义域.
解:要使函数有意义,需满足2cosx-1≥0,所以cosx≥.
故由余弦函数线可知函数的定义域为［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
例2 证明恒等式+++=2.
活动:引导学生总结证明恒等式的方法与步骤,特别地,在证明三角恒等式时,一般地是从较繁的一边推向较简的一边.从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法,即:从左边推向右边;从右边推向左边;左、右两边同推向第三个式子.
解:证法一:
设M(x,y)为角α终边上异于原点的一点,｜OM｜=r,由三角函数定义有
sinα=,cosα=,secα=,cscα=.
原式左边=
=
=
=2=右边.
∴原等式成立.
证法二:
左边=
=
=
∴左边=右边.∴原等式成立.
点评:根据本题的特点,被证式的左边比较复杂,故可由左边证向右边.
变式训练
求证:
证明:设M(x,y)为α终边上异于原点的一点,｜OM｜=r,由三角函数定义有
左边=
=
=
=
右边=
∴左边=右边,故原等式成立.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况,包括三角函数值的符号情况,终边相同的角的同一三角函数的值相等.
点评:利用单位圆中的三角函数线认识三角函数的性质,对未学性质的认识不作统一要求.
2.(1)如图11所示,
图11
(2)(3)(4)略.
点评:作已知角的三角函数线.
3.225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5 cm、3.5 cm、5 cm;330°角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5 cm、4.3 cm、2.9 cm,其中5,2.5是准确数,其余都是近似数(图略).
sin225°==-0.7,cos225°==-0.7,tan225°=-1;
sin330°=-0.5,cos330°==0.86,tan330°==-0.58.
点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.
4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来,可以从数和形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.
点评:反思单位圆中的三角函数线对认识三角函数概念的作用.
课堂小结
本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示.
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.
作业
1.利用单位圆和三角函数线证明:
若α为锐角,则(1)sinα+cosα>1;(2)sin2α+cos2α=1.
图12
证明:如图12,记角α与单位圆的交点为P,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP,cosα=OM.
(1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.
(2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2α+cos2α=1.
2.求下列函数的定义域:
(1)y=;(2)y=.
答案:(1)x∈[kπ-,kπ+],k∈Z.
(2)x∈［+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ, +2kπ］,k∈Z.
设计感想
对于三角函数线,开始时学生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.
1.2.1 任意角的三角函数(二)
课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是______；余弦函数y＝cos x的定义域是______；正切函数y＝tan x的定义域是_____________________________________________________________．
2．三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.
一、选择题
1. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B. C. D.或
3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5
5．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
6．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin α二、填空题
7．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围为________．
8．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α9．不等式tan α＋>0的解集是______________．
10．求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
三、解答题
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
12．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
能力提升
13．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
1．2.1 任意角的三角函数(二)
答案
知识梳理
1．R R {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
2．MP OM AT MP OM AT
作业设计
1．C
2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．]
3．A [设α终边与单位圆交于点P，
sin α＝MP，cos α＝OM，
则|OM|＋|MP|>|OP|＝1，即sin α＋cos α>1.]
4．C [∵1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，
∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.]
5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D正确．]
6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM7.
8.∪
9.
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
10.，k∈Z
解析 如图所示．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－∴x∈∪ (k∈Z)．即x∈ (k∈Z)．
11．解 (1)
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
12．解 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，故kπ＋<作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos 当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，sin 13．解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α<tan α，即sin α<α