课件23张PPT。1. 3.2三角函数诱导公式（二）
【教材分析】
《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。这节是诱导公式（二）的推导，在诱导公式（一）的推导中用到了一次对称变换，这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合诱导公式（一）、（二）总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。
【教学目标】
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
【教学重点难点】
教学重点：掌握角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路
教学难点：角的正弦、余弦诱导公式的推导.
【学情分析】
学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。但由于诱导公式多，学生记忆困难，应用时易错，应该渗透归纳总结的学习方法，让学生找规律，体现自主探究、共同参与的新课改理念。
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“三角函数的诱导公式”，完成预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学.
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复?习导入、展示目标
1.创设情境：
问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的与、、的三角函数关系。?
设置意图：利用几何画板的演示回顾旧知及公式推导过程中所涉及的重要思想方法（对
称变换，数形结合）激发学生学习动机。
学生活动：结合几何画板的演示，学生回忆诱导公式(一)的推导过程，回答诱导公式(一)
的内容。
多媒体使用：几何画板；PPT
问题2： 如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关
于y轴对称呢？
设置意图：检验学生对两种对称变换的点的坐标的变化规律的掌握程度，为后面的教学
作铺垫。通过分析问题情境，提出本节课研究的问题。
学生活动：点P(a,b) 关于直线y=x的对称点Q的坐标为(b,a)；点P(a,b) 关于y轴的对称点R的坐标为(-a,b)。
?2.探究新知：
问题1：如图：设的终边与单位圆相交于点P，则P点坐标为??? ，点P关于直线y=x的轴对称点为M，则M点坐标为??? ， 点M关于y轴的对称点N，则N的坐标为??? ，
∠XON的大小与的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？
??
设置意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出诱导公式，渗透对称变换思想和数形结合思想。
学生活动：学生看图口答
P（，），M（，），N（-，），∠XON=
N（，）
（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价）
多媒体使用：几何画板；PPT
问题2：观察点N的坐标，你从中发现什么规律了？
设置意图：让学生总结出公式=-，=
三、例题分析
例1? 利用上面所学公式求下列各式的值：
（1）??? （2）??? （3）???? （4）
解析：直接利用公式解决问题
解：
变式训练1：将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）??? （2）????? （3）
思考：我们学习了的诱导公式，还知道的诱导公式，那么对于，又有怎样的诱导公式呢？
设置意图：利用已学诱导公式推导新公式。
学生活动：??? ????
??? ??????
例2?已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求的值
解析：先利用诱导公式化简
解： ∵sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4() ∴( sin(3( ( () = 2cos(4( ( ()
∴( sin(( ( () = 2cos(( () ∴sin( = ( 2cos( 且cos( ( 0
∴
变式训练2：已知，求的值。
四、课堂练习
1．利用上面所学公式求下列各式的值：
（1）?? （2）
2．将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）??? （2）
五、反思总结
请学生从以下几方面总结：
知识：前一节课我们学习了，，，的诱导公式，这节我们又学习了，的诱导公式
思想方法：从特殊到一般；数形结合思想；对称变换思想；
规律： “奇变偶不变，符号看象限”。 你对这句话怎么理解？
设置意图：引导学生养成自己归纳总结的习惯及方法，体会知识的形成、发展、应用的过程。
学生活动：观察、思考、口答。
达标检测：1．已知，则值为（ ）
A. B. — C. D. —
2．cos (+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ）
A. B. C. D. —
3．化简：得（ ）
A. B. C. D.±
4．已知，，那么的值是
5．如果且那么的终边在第 象限
6．求值：2sin(－1110o) －sin960o+＝ ．
7．已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求的值。
练习答案：1．C 2．Ａ 3．C 4． 5．二 6．－2
7.解： ∵sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()
∴( sin(3( ( () = 2cos(4( ( ()
∴( sin(( ( () = 2cos(( ()
∴sin( = ( 2cos( 且cos( ( 0
∴
六、发导学案、布置作业
1. 若，则?????? 。
2.求的值。
【板书设计】
三角函数的诱导公式（二）
一、诱导公式1-6 例一
二、探究新知 例二
三、练习
【教学反思】
通过本节内容的教学，在诱导公式与的教学过程中经历对对称有关的图形进行观察、分析、操作、抽象概括，探索旋转变换的性质，探求如何运用“一个图形经旋转变换后都可以分解为两个轴对称变换的乘积”方法和过程，体验“以局部带整体”的作图思想方法，进一步发展学生对对称图形的欣赏和探索能力，使学生体会旋转变换在现实生活的意义，激发学生的数学学习兴趣，增强审美观念，培养学生的科学探究精神。
诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的．
在教学方式上采用自主探索，创造性解决问题，并激发学生积极主动参与课堂活动，提高学生学习数学的兴趣，使学生在活动过程中，积极探索发现。为了完成与三角函数间的关系这一节的教学任务，我采用让学生自主学习的教学方法。面对这个问题，学生的兴趣立刻被触发了，求知欲也十分强烈，大家都跃跃欲试，争着进行推倒.。当学生做完三道例题时，马上提出对于与三角函数间的关系如何推导，这时课堂气氛十分热烈，学生的思维十分活跃，大家竞相发言，课堂高潮跌起。待同学们弄明白后，及时引导学生从特殊到一般，问与三角函数间的关系如何，最后总结出：“奇变偶不变,符号看象限”整个课堂得到升华。
§1.3.2三角函数诱导公式（二）
课前预习学案
一、预习目标
熟记正弦、余弦和正切的诱导公式，理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简
二、复习与预习
1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；____________________
2．诱导公式一及其用途：
______________________________
______________________________
______________________________
3、对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：
4、 诱导公式二：
5、诱导公式三：
6、诱导公式四：
7、诱导公式五：
8、诱导公式六：
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
学习重难点：
重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.
难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
二、学习过程
创设情境：
问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的与、、的三角函数关系。?
问题2： 如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关于y轴对称呢？
?探究新知：
问题1：如图：设的终边与单位圆相交于点P，则P点坐标为??? ，点P关于直线y=x的轴对称点为M，则M点坐标为??? ， 点M关于y轴的对称点N，则N的坐标为??? ，
?? ∠XON的大小与的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？
??
问题2：观察点N的坐标，你从中发现什么规律了？
?
例1? 利用上面所学公式求下列各式的值：
（1）??? （2）??? （3）???? （4）
变式训练1： 将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）??? （2）????? （3）
思考：我们学习了的诱导公式，还知道的诱导公式，那么对于，又有怎样的诱导公式呢？
例2?已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求的值
变式训练2：已知，求的值。
课堂练习
1．利用上面所学公式求下列各式的值：
（1）?? （2）
2．将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）??? （2）
归纳总结：
课后练习与提高
1．已知，则值为（ ）
A. B. — C. D. —
2．cos (+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ）
A. B. C. D. —
3．化简：得（ ）
A. B. C. D.±
4．已知，，那么的值是
5．如果且那么的终边在第 象限
6．求值：2sin(－1110o) －sin960o+＝ ．
7．已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求的值。
课件36张PPT。§1.3 三角函数的诱导公式(二) 明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.明目标、知重点1.诱导公式五～六cos α填要点·记疑点以－α替代公式五中的α，可得公式六.sin αcos α－sin α?异名锐角时原函数值的符号函数名改变，符号看象限探要点·究所然情境导学?探究点一 诱导公式五思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有根据上述结论，你有什么猜想？???从而得诱导公式五探究点二 诱导公式六?＝－sin α，思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用???∴左边＝右边，故原等式成立.＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值.解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式.解 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又B，C为△ABC的内角，∴C＝B.
∴△ABC为等腰三角形.当堂测·查疑缺 1234D12342.已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为( )解析 sin(α－180°)－sin(270°－α)
＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)]
＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m，1234sin(180°＋α)sin(270°＋α)
＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α答案 C12343.代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是 .
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.1123412341234呈重点、现规律?2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.第8课时诱导公式五、六
课时目标
1.理解公式五、六的推导．
2．运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明．
识记强化
公式五：sin＝cosα，cos＝sinα；
公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα.
课时作业
一、选择题
1．已知cosx＝，且x是第四象限角，那么cos＝()
A.B．－
C．－ D.
答案：D
解析：∵x是第四象限角，cosx＝，∴sinx＝－＝－.∴cos＝－sinx＝.
2．已知sin40°＝a，则cos50°等于()
A．±a B．－a
C．a D.
答案：C
3．下面诱导公式使用正确的是()
A．sin＝cosθ
B．cos＝－sinθ
C．sin＝－cosθ
D．cos＝－sinθ
答案：C
4．若sin(＋α)＋cos＝，则sin＋cos等于()
A．－ B.
C．－ D.
答案：C
解析：由已知得cosα＋sinα＝，∴sin＋cos＝－cosα－sinα＝－.
5．若＝2，则sin(θ－5π)sin等于()
A. B．±
C. D．－
答案：C
解析：由＝2，可得tanθ＝3，∴sin(θ－5π)sin＝(－sinθ)(－cosθ)
＝
＝
＝.
6．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ等于()
A．－ B.
C．－ D.
答案：C
解析：由cos＝－sinφ＝，得sinφ＝－.又|φ|<，∴φ＝－，∴tanφ＝－.
二、填空题
7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________.
答案：2
解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°)
＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°)
sin(－30°＋3×360°)＋tan225°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°)
sin(－30°)＋tan(180°＋45°)
＝－－＋1＝2.
8．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
答案：2
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以原式＝＝＝＝＝2.
9．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2－2asin，若f(3)＝6，则a＝________.
答案：
解析：f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－6，即f(－3)＝9－2asin＝9＋2asin＝9－2a＝－6，∴a＝.
三、解答题
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos＝－sinα，∴sinα＝－.
又α是第三象限角，∴cosα＝－＝－，
∴f(α)＝.
11．(1)设f(α)
＝，
求f的值．
(2)化简：sin·cos(n∈Z)．
解：(1)∵f(α)＝
＝
＝
＝，
∴f＝＝＝＝.
(2)当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝sin·cos
＝sinπ·cosπ
＝sin·
＝×
＝－.
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝sin·
cos
＝sin·cos
＝－sinπ·cos
＝－sin·cos
＝－×
＝－.
综上，原式＝－.
能力提升
12．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于()
A．3－cos2x B．3－sin2x
C．3＋cos2x D．3＋sin2x
答案：C
解析：f(cosx)＝f
＝3－cos2＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.
13．已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：cos＝sin＝cos－.
证明：cos＝sin
＝sin.
又因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以＝－，所以＝－.
所以cos＝cos
＝cos＝cos.
所以cos＝sin＝cos.
1.3 三角函数的诱导公式
整体设计
教学分析
本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.
本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.
在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用.
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在.
课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习.
三维目标
1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.
2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.
3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.
教学难点:六组诱导公式的灵活运用.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.
②复习诱导公式一及其用途.
思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.
推进新课
新知探究
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?
活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.
图1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.
β=
提出问题
①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?
②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°+α呢?
活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.
无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
提出问题
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:
任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
讨论结果:
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.
提出问题
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一—四:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;
②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.
示例应用
思路1
例1 利用公式求下列三角函数值:
(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040°).
活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.
解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;
(2)sin=sin(4π)=-sin=;
(3)sin()=-sin=-sin(5π+)
=-(-sin)=;
(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)
=cos120°=cos(180°-60°)
=-cos60°=.
点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:
(1)cos(-510°15′);(2)sin(π).
解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)
=-cos29°45′=-0.868 2;
(2)sin(π)=sin(-3×2π)=sin=.
例2 2007全国高考,1
cos330°等于( )
A. B. C. D.
答案:C
变式训练
化简:
解:
=
=
=.
例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.
活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.
解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°
=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)
=cos(-45°)-sin45°+cos120°
=cos45°+cos(180°-60°)
=-cos60°=-1.
点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
变式训练
求证:.
分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.
证明:左边=
=
==tanθ=右边.
所以原式成立.
规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
知能训练
课本本节练习1—3.
解答:1.(1)-cos;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6′.
点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.
2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).
点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α.
点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.
课堂小结
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.
作业
课本习题1.3 A组2、3、4.
设计感想
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.
(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.
(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”
(2)公式中的α是任意角.
(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
基本步骤是:任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2π角的三角函数锐角的三角函数三角函数.
即负化正,大化小,化为锐角再查表.
(设计者：沈献宏)
第2课时
导入新课
上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.
推进新课
新知探究
提出问题
终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?
活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.
教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.
图3
讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有
sinα=y,cosα=x,
cos(-α)=y,sin(-α)=x.
从而得到公式五:
cos(-α)=sinα,
sin(-α)=cosα.
提出问题
能否用已有公式得出+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?
活动:教师点拨学生将+α转化为π-(-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为+α可以转化为π-(-α),所以求+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.
讨论结果:公式六
Sin(+α)=cosα,
cos(+α)=-sinα.
提出问题
你能概括一下公式五、六吗?
活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.
讨论结果:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.
利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
公式一—六都叫做诱导公式.
提出问题
学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?
讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是±α,-α.其中,是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.
教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.
示例应用
思路1
例1 证明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.
活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.
证明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα;
(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.
点评:由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.
例2 化简
活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.
解:原式=
===-tanα.
思路2
例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;
(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?
活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.
证明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.
(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=
故所求的整数n=4k+1(k∈Z).
点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.
变式训练
已知cos(-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.
解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).
∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.
点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.
(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.
例2 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,
求的值.
活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.
解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x=,
∵-1≤x≤1,∴sinα=.
又∵α为第三象限角,∴cosα==.
∴tanα=.
∴原式==tana=
点评:综合运用相关知识解决综合问题.
变式训练
若函数f(n)=sin(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.
解:∵=sin(+2π)=sin,
∴f(n)=f(n+12).
从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)
=2［f(1)+f(2)+f(3)］
=2+.
例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.
活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.
解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)
=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asinα-bcosβ
=-(asinα+bcosβ),
∵f(2 003)=-1,
∴asinα+bcosβ=1.
∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)
=asinα+bcosβ=1.
点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带.
知能训练
课本练习4—7.
4.
Α
Sinα
Cosα
5.(1)-tan;(2)-tan79°39′;(3)-tan;(4)-tan35°28′.
6.(1)(2);(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5);(6)-0.647 5.
7.(1)sin2α;(2)cos2α+
课堂小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度.
作业
1.课本习题1.3 B组2.
2.求值:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°.
答案:44.5.
设计感想
1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自主探究.因为公式多,学生容易记混,所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉,在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式.通过学生的自主探究、推导公式,培养学生独立思考、知难而上的科学态度,更进一步地体会数学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望,培养学生会学习的良好品质.
2.用口诀记忆公式:①π±α,-α,2kπ+α的三角函数公式为:“函数名不变,符号看象限.”
②±α,±α的三角函数公式为:“函数名改变,符号看象限.”其中α看成锐角.
3.用类比的方法学习本节课的基础知识,用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明.
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆
－α，＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于( )
A．－ B. C. D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－ B. C. D.
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于( )
A．－ B. C．－ D.
6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A. B. C．－ D．－
二、填空题
7．若sin＝，则cos＝________.
8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
三、解答题
11．求证：＝－tan α.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
能力提升
13．化简：sin＋cos (k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α
2．异名 符号
作业设计
1．A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.]
3．A [cos＝sin＝sin＝－sin＝－.]
4．C [∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.]
5．C [由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.]
6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.]
7．－
解析 cos＝cos＝－sin＝－.
8．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
9.
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋
＝.
10．2
解析 原式＝＝＝＝2.
11．证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
13．解 原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋sin2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
