1. 3.1三角函数的诱导公式（一）
一、教学目标：
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：
重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；
三、学法与教学用具：
（1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；
（2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学过程：
创设情境：我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想
研探新知
1. 诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：
（公式一）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
，是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？
若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：
（公式二）
特别地，角与角的终边关于轴对称，故有
（公式三）
特别地，角与角的终边关于原点对称，故有
（公式四）
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
【说明】：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；
【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
2、例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角
函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内
角的三角函数的值。
解：（1）（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
（2）（诱导公式三）
（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
例2 化简．
解：原式
．
3 课堂练习：
（1）．若，则的取值集合为 （ ）
A． B．
C． D．
（2）．已知那么 （ ）
A． B． C． D．
（3）．设角的值等于 （ ）
A． B．－ C． D．－
（4）．当时，的值为 （ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关
（5）．设为常数），且
那么 A．1 B．3 C．5 D．7 （ ）
（6）．已知则 .
4、课堂练习答案：
（1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 2
5、作业：根据情况安排
6 板书设计：
三角函数的诱导公式（一）
基本概念： 例1 课堂练习
例2
1.3.1三角函数的诱导公式（一）
课前预习学案
预习目标：
回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。
预习内容：
1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；
2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。
提出疑惑：
我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢？
课内探究学案
一、学习目标：
（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：
重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；
三、学习过程：
（一）研探新知
1. 诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：
（公式一）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
，是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？
若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：
（公式二）
特别地，角与角的终边关于轴对称，故有
（公式三）
特别地，角与角的终边关于原点对称，故有
（公式四）
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
【说明】：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；
【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
① ；
② ；
③ 。
可概括为：“ ”（有时也直接化到锐角求值）。
（二）、例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角
函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内
角的三角函数的值。
例2 化简．
（三） 课堂练习：
（1）．若，则的取值集合为 （ ）
A． B．
C． D．
（2）．已知那么 （ ）
A． B． C． D．
（3）．设角的值等于 （ ）
A． B．－ C． D．－
（4）．当时，的值为 （ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关
（5）．设为常数），且
那么 A．1 B．3 C．5 D．7 （ ）
（6）．已知则 .
课后练习与提高
一、选择题
1．已知，则值为（ ）
A. B. — C. D. —
2．cos (+α)= —，<α<,sin(-α) 值为（ ）
A. B. C. D. —
3．化简：得（ ）
A. B. C. D.±
4．已知，，那么的值是（ ）
A B C D
二、填空题
5．如果且那么的终边在第 象限
6．求值：2sin(－1110o) －sin960o+＝ ．
三、解答题
7．设，求的值．
8．已知方程sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()，求的值。
∴ ＝＝
8．解： ∵sin(( ( 3() = 2cos(( ( 4()
∴( sin(3( ( () = 2cos(4( ( ()
∴( sin(( ( () = 2cos(( ()
∴sin( = ( 2cos( 且cos( ( 0
∴
课件23张PPT。课件42张PPT。§1.3 三角函数的诱导公式(一) 明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.明目标、知重点1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系如表原点填要点·记疑点x轴y轴2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，
tan(π＋α)＝ .
(3)公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .
(4)公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，
tan(π－α)＝ .sin αcos αtan α－sin α－cos αtan α－sin αcos α－tan αsin α－cos α－tan α探要点·究所然情境导学在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是本节学习的内容.探究点一 诱导公式二思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 角π＋α的终边与单位
圆的交点P2的坐标如何？答 角π＋α与角α的终边关于原点O对称；
P2(－x，－y)思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.思考3 公式二有何作用？
答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：探究点二 诱导公式三思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位
圆的交点P2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称；
角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).?即诱导公式三sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.思考3 诱导公式三有何作用？
答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.思考1 利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？
答 由诱导公式二和诱导公式三可得：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α，
cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α.
tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tan α.探究点三 诱导公式四即sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
即诱导公式四sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.思考2 诱导公式四有何作用？
答 将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.思考3 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例1 利用公式求下列三角函数的值：
(1)cos 225°；解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)(4)cos(－2 040°).?反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到 范围内的角的三角函数值.跟踪训练1 求下列三角函数值.(3)tan(－855°).解 tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]
＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]
＝cos(180°＋α)＝－cos α，反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.?∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)当堂测·查疑缺 12341.求下列三角函数的值.
(1)sin 690°；?12341234(3)tan(－1 845°).
解 tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)
＝－tan 45°＝－1.12341234解 当k＝2n(n∈Z)时，1234当k＝2n＋1(n∈Z)时，综上，原式＝－1.1234证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，1234右边＝(－1)2kcos α＝cos α，
∴左边＝右边.
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，1234右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边.呈重点、现规律1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.第7课时诱导公式一、二、三、四
课时目标
1.理解公式的推导过程．
2．能正确利用公式求值、化简证明．
识记强化
诱导公式：
公式一：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，
tan(2kπ＋α)＝tanα；
公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα；
公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα；
公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα；
课时作业
一、选择题
1．sin2 015°＝()
A．sin35°B．－sin35°
C．sin58° D．－sin58°
答案：B
解析：sin2 015°＝sin(5×360°＋215°)＝sin215°＝sin(180°＋35°)＝－sin35°.故选B.
2．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为()
A．1 B．2sin2α
C．0 D．2
答案：D
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
3．计算：cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°＝()
A．0 B．1
C．－1 D．以上均不对
答案：C
解析：cos1°＋cos179°＝0，cos2°＋cos178°＝0，…，cos89°＋cos91°＝0，原式＝cos90°＋cos180°＝－1.
4．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于()
A．cosC B．－cosC
C．sinC D．－sinC
答案：B
解析：cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC
5．tan(π＋α)＝－2，则的值为()
A．3 B．－3
C．2 D．－2
答案：B
解析：＝＝
又tan(π＋α)＝－2，tanα＝－2，∴原式＝＝－3.
6．已知f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)的值为()
A. B．－
C. D．－
答案：D
解析：f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－.
二、填空题
7.＝________.
答案：
解析：＝|cos120°|＝|－cos60°|＝＝.
8．化简函数式
的结果是________________．(其中x∈(π，2π))．
答案：－sinx
解析：
原式＝
＝＝＝
＝－sinx.
9．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
答案：{－2,2}
解析：当k为偶数时，由诱导公式得
A＝＋＝＋＝2
当k为奇数时，则有A＝＋
＝＋＝－2.
三、解答题
10．求下列三角函数值：
(1)sin(－1320°)；
(2)cos；
(3)tanπ.
解：(1)sin(－1320°)＝sin(－1440°＋120°)＝sin120°＝.
(2)cos＝cos＝cosπ＝－cos＝－.
(3)tanπ＝tan＝tanπ＝－tan＝－.
11．化简下列各式：
(1)；
(2)·sin(α－2π)·cos(2π－α)；
(3)cos2(－α)－.
解：(1)原式＝＝－；
(2)原式＝·(sinα)·cosα＝－cos2α；
(3)原式＝cos2α＋＝cos2α＋.
能力提升
12．若k∈Z，则＝________
答案：－1
解析：若k为偶数，则左边＝
＝＝－1；若k为奇数，则
左边＝＝＝－1.
13．已知＝3＋2，求cos2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin2(α－π)的值．
解：∵＝3＋2 ，∴tanα＝＝.
∴cos2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin2(α－π)＝cos2α＋sinαcosα＋2sin2α＝cos2α(1＋tanα＋2tan2α)＝(1＋tanα＋2tan2α)＝＝＝.
1.3 三角函数的诱导公式
整体设计
教学分析
本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.
本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.
在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用.
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在.
课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习.
三维目标
1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.
2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.
3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.
教学难点:六组诱导公式的灵活运用.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.
②复习诱导公式一及其用途.
思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.
推进新课
新知探究
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?
活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.
图1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.
β=
提出问题
①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?
②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°+α呢?
活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.
无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
提出问题
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:
任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
讨论结果:
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.
提出问题
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一—四:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;
②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.
示例应用
思路1
例1 利用公式求下列三角函数值:
(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040°).
活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.
解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;
(2)sin=sin(4π)=-sin=;
(3)sin()=-sin=-sin(5π+)
=-(-sin)=;
(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)
=cos120°=cos(180°-60°)
=-cos60°=.
点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:
(1)cos(-510°15′);(2)sin(π).
解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)
=-cos29°45′=-0.868 2;
(2)sin(π)=sin(-3×2π)=sin=.
例2 2007全国高考,1
cos330°等于( )
A. B. C. D.
答案:C
变式训练
化简:
解:
=
=
=.
例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.
活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.
解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°
=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)
=cos(-45°)-sin45°+cos120°
=cos45°+cos(180°-60°)
=-cos60°=-1.
点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
变式训练
求证:.
分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.
证明:左边=
=
==tanθ=右边.
所以原式成立.
规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
知能训练
课本本节练习1—3.
解答:1.(1)-cos;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6′.
点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.
2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).
点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α.
点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.
课堂小结
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.
作业
课本习题1.3 A组2、3、4.
设计感想
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.
(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.
(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”
(2)公式中的α是任意角.
(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
基本步骤是:任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2π角的三角函数锐角的三角函数三角函数.
即负化正,大化小,化为锐角再查表.
(设计者：沈献宏)
第2课时
导入新课
上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.
推进新课
新知探究
提出问题
终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?
活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.
教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.
图3
讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有
sinα=y,cosα=x,
cos(-α)=y,sin(-α)=x.
从而得到公式五:
cos(-α)=sinα,
sin(-α)=cosα.
提出问题
能否用已有公式得出+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?
活动:教师点拨学生将+α转化为π-(-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为+α可以转化为π-(-α),所以求+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.
讨论结果:公式六
Sin(+α)=cosα,
cos(+α)=-sinα.
提出问题
你能概括一下公式五、六吗?
活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.
讨论结果:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.
利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
公式一—六都叫做诱导公式.
提出问题
学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?
讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是±α,-α.其中,是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.
教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.
示例应用
思路1
例1 证明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.
活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.
证明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα;
(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.
点评:由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.
例2 化简
活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.
解:原式=
===-tanα.
思路2
例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;
(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?
活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.
证明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.
(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=
故所求的整数n=4k+1(k∈Z).
点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.
变式训练
已知cos(-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.
解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).
∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.
点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.
(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.
例2 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,
求的值.
活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.
解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x=,
∵-1≤x≤1,∴sinα=.
又∵α为第三象限角,∴cosα==.
∴tanα=.
∴原式==tana=
点评:综合运用相关知识解决综合问题.
变式训练
若函数f(n)=sin(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.
解:∵=sin(+2π)=sin,
∴f(n)=f(n+12).
从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)
=2［f(1)+f(2)+f(3)］
=2+.
例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.
活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.
解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)
=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asinα-bcosβ
=-(asinα+bcosβ),
∵f(2 003)=-1,
∴asinα+bcosβ=1.
∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)
=asinα+bcosβ=1.
点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带.
知能训练
课本练习4—7.
4.
Α
Sinα
Cosα
5.(1)-tan;(2)-tan79°39′;(3)-tan;(4)-tan35°28′.
6.(1)(2);(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5);(6)-0.647 5.
7.(1)sin2α;(2)cos2α+
课堂小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度.
作业
1.课本习题1.3 B组2.
2.求值:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°.
答案:44.5.
设计感想
1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自主探究.因为公式多,学生容易记混,所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉,在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式.通过学生的自主探究、推导公式,培养学生独立思考、知难而上的科学态度,更进一步地体会数学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望,培养学生会学习的良好品质.
2.用口诀记忆公式:①π±α,-α,2kπ+α的三角函数公式为:“函数名不变,符号看象限.”
②±α,±α的三角函数公式为:“函数名改变,符号看象限.”其中α看成锐角.
3.用类比的方法学习本节课的基础知识,用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明.
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
一、选择题
1．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )
A．±tan α B．－tan α
C．tan α D.tan α
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．± C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C．－1 D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－ C. D．－
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B．－
C．± D．以上都不对
二、填空题
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
8．三角函数式的化简结果是______.
9．代数式的化简结果是______．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝____.
三、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
能力提升
13．化简：(其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α
作业设计
1．A 2.C
3．D [由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－ (α为第四象限角)．]
4．A [原式＝＝＝.]
5．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]
6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]
7．－
8．tan α
解析 原式＝＝＝＝＝tan α.
9．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
10．3
解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin α＋bcos β)＝1，
∴asin α＋bcos β＝1，
f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝3.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴上式的值为－1.
14．解 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
