课件23张PPT。§1.4.3正切函数的图像与性质
【教材分析】
正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。教材上直接圈定了区间（），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】
正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：
1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】
教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x=，是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
【学情分析】
知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
心理特征：高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“正切函数的图像与性质”，初步把握作图的方法与性质的推导。
2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复?习导入、展示目标。
问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？
三角函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性及周期
2
2
奇偶性
奇
偶
奇
大家怎么知道正切函数的值域是R?
通过单位圆中的正切线可以得到。
那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。
（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）
问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？
利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。
问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。
方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象；
第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；
第三步：根据图象总结性质。
三、合作探究、精讲点拨。
①请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx在一个周期内的简图。
给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。
注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0.）的图象，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。
②教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将（0，）的图象与的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。
通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？
③投影仪展示完整图像。目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。
（设计意图：在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。而根据知识的发生发展和获得结论这个过程，在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象）
④总结正切函数的性质。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质（主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及）。一组总结后，其它各小组补充或改正。培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。
有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。
判断下列语句是否正确：
(1) y=tanx在定义域上是单调增函数；
（2）y=tanx在第一象限是单调增函数；
（3），而y=tanx 是单调增函数，
在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上，再完成两个比大小的问题。
不求值，判断下列各式的大小
①tan1380 tan1430， ②tan（— ） tan（）
引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图象，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。
（设计意图：根据原来的教学经验，学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数，或者对第一象限的认识就认为是0~，所以准备这些辨析题就是让学生缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来）
四、例题分析
例1.讨论函数的性质
解析：考察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移单位得到
解：定义域：值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在上是增函数
点评：本题考察了图像的平移变换，培养学生的作图能力与通过图像观察性质的能力
变式训练1. 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期
解：要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z
即x≠＋，ｋ∈Z ∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝
（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z
∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）
（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x ∴y＝tan2x的周期为．
例2.求函数y＝的定义域
解析：通过图像解三角不等式
解：tanx≠1且x≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z
则定义域为{x| x∈R且x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}
点评：通过本题培养学生数形结合的能力
变式训练2. y＝
解：tanx＋1≥0，即tanx≥－1，得kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z
则定义域为{x| kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z}
例3. 比较tan与tan的大小
解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小
解：tan＝tan ∵0＜＜＜ 又∵y＝tanx在(0，)上单调递增
∴tan＜tan，则tan＜tan
点评：注意诱导公式的准确应用
变式训练3. tan与tan (－)
解：tan ＝－tan ，tan (－)＝－tan ＝－tan
∵0＜＜＜π 又∵y＝tan x在(0，π)上单调递增
∴tan＜tan，则tan＞tan (－)
由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。
五、反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
课堂小结：
1、数学知识：正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。
2、数学思想方法：数形结合。
达标检测：
1. 函数的周期是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.函数的定义域为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.
5.给出下列命题:
(1)函数y=sin|x|不是周期函数; (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是π/2;
(3)函数y=tanx在定义域内是增函数; (4)函数y=sin(5π/2+x)是偶函数;
(5)函数y=tan(2x+π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)
其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)
6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域
参考答案：1.C 2.D 3.C 4. tan2
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
六、发导学案、布置预习。
（1）y=|sinx|的周期变成了2,那y=|tanx|变成了什么？
（2）在书本P34有正切、余切的由来，请同学们仔细阅读，并想想为什么直阴影是余切，反阴影是正切？
七、板书设计
正切函数的图象及性质
一、正切函数图像 例1
1．画出正切函数的在一个周期内的图象； 例2
2．将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 例3
二、正切函数的性质 根据图象总结性质
八、教学反思
（1）根据知识的前后联系在本节课设计时主要采取类比学习，学生自己动手绘图、自己研究性质、自己完成辨析、判断和例题的过程。在学生能够自己独立完成的地方，教师退到幕后起到一个推波助澜的作用和汇总学生意见，形成正确知识和方法的作用。
（2）根据学生学习知识的发生发展成熟过程，在生成图象的过程中让学生自己先独立画，然后小组交流，再用投影仪来纠正学生错误图象，比较不同周期的图象，最后用投影仪展现定义域内的标准图象，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。
九、学案设计(见下页)
§1.4.3正切函数的图像与性质
课前预习学案
一、预习目标
利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质
二、预习内容
1.画出下列各角的正切线：
2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数图象：
3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”
4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：
定义域： 值域：
最值： 渐近线：
周期性： 奇偶性
单调性： 图像特征：
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。
二、学习过程
例1.讨论函数的性质
变式训练1. 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期
例2.求函数y＝的定义域
变式训练2. y＝
例3. 比较tan与tan的大小
变式训练3. tan与tan (－)
三、反思总结
1、数学知识：
2、数学思想方法：
四、当堂检测
一、选择题
1. 函数的周期是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.函数的定义域为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.
5.给出下列命题:
（1）函数y=sin|x|不是周期函数; (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是π/2;
(3)函数y=tanx在定义域内是增函数; (4)函数y=sin(5π/2+x)是偶函数;
(5)函数y=tan(2x+π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)
其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)
三、解答题
6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域
课后练习与提高
一、选择题
1、在定义域上的单调性为（ ）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个开区间上为增函数
2、下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．大小关系不确定
3、若,则（ ）.
A． B．
C． D．
二、填空题
4、函数的定义域为 .
5、函数的定义域为 .
三、解答题
6、 函数的定义域是（ ）.
课件35张PPT。§1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.明目标、知重点函数y＝tan x的性质与图象填要点·记疑点奇函数Rπ探要点·究所然情境导学三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函数的图象与性质就成为学习的必然.你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质？探究点一 正切函数的性质思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的周期是多少？
答 由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π.
∵y＝Atan(ωx＋φ)＝Atan(ωx＋φ＋π)思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图象有何对称性？
答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x)＝－tan x.故正切函数是奇函数.
正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为思考3 观察下图中的正切线，当角x在 内增加时，正切函数值发生什么变化？答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性.所以y＝tan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R.思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
答 正切函数在每一个开区间 (k∈Z) 上都是增函数.正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间 (k∈Z) 上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数.反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求下列函数的定义域：探究点二 正切函数的图象思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间 的图象，具体应如何操作？(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆.(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线.(4)把角x的正切线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan x，x∈
的图象，如图所示.思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？ 一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期.例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小.(2)tan 2与tan 9.∴tan 2(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；
解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)
＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)，
tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°)
＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，∴tan(－20°)即tan(－1 280°) 课时目标
1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题．
2．了解正切函数的图象，会利用其解决有关问题．
识记强化
1．正切函数y＝tanx的最小正周期为π；y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
2．正切函数y＝tanx的定义域为，值域为R.
3．正切函数y＝tanx在每一个开区间，k∈Z内均为增函数．
4．正切函数y＝tanx为奇函数．
5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k∈Z)．正切函数无对称轴．
课时作业
一、选择题
1．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
答案：B
2．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
答案：A
解析：要使函数f(x)＝ 有意义，
必须使，
即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，k∈Z.
所以函数f(x)＝的定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以函数f(x)＝为奇函数．故选A.
3．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|tanx|
C．y＝sin|x| D．y＝|cosx|
答案：B
解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题．
4．函数y＝tan(＋)的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案：C
解析：由y＝tanx的单调递增区间为，
∴kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z
?2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.故选C.
5．函数y＝tan的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，0)
答案：C
解析：令x＋＝，得x＝－，k∈Z，∴函数y＝tan的对称中心是.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
6．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案：B
解析：∵y＝tanωx在内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
答案：
解析：要使函数y＝有意义，只需，k∈Z，解得x≠kπ＋且x≠kπ－，k∈Z.∴函数y＝的定义域为.
8．方程x－tanx＝0的实根有________个．
答案：无数
解析：方程x－tanx＝0的实根个数就是直线y＝x与y＝tanx的图象的交点的个数，由于y＝tanx的值域为R，所以直线y＝x与函数y＝tanx图象的交点有无数个．
9．直线y＝a(a为常数)与曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．
答案：
解析：∵ω>0，∴函数y＝tanωx的周期为，∴两交点间的距离为.
三、解答题
10．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．
解：①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调递增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
11．求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．
解：由题意，得，即－1≤tanx<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tanx的周期为π，
所以所求x的取值范围是(k∈Z)．
即函数的定义域为(k∈Z)．
能力提升
12．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f＝________.
答案：
解析：由图像知＝π－＝，T＝，ω＝2，
2×＋φ＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|＜，∴φ＝.
∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atan＝A＝1.
∴f(x)＝tan.
∴f＝tan＝tan＝.
13．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
1.4.3 正切函数的性质与图象
整体设计
教学分析
本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.
通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.
三维目标
1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.
重点难点
教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.
思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
推进新课
新知探究
提出问题
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？
③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.
(1)周期性
由诱导公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z
可知,正切函数是周期函数,周期是π.
这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.
(2)奇偶性
由诱导公式
tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z
可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0)k∈Z.
(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.
(4)定义域
根据正切函数的定义tanα=,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.
(5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集R.
问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.
图1
问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-,)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.
根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3.
图2 图3
问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.
讨论结果:①略.
②正切线是AT.
③略.
④能,“三点两线”法.
提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.
②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.
活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.
问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.
讨论结果:①略.
②略.
应用示例
例1 比较大小.
(1)tan138°与tan143°；(2)tan()与tan().
活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.
解:(1)∵y=tanx在90°∴由138°<143°,得tan138°(2)∵tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,
tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.
又0<<<,
而y=tanx在(0, )上是增函数,
∴tan-tan,
即tan()>tan().
点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.
例2 用图象求函数y=的定义域.
活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.
图4 图5
解:由tanx-≥0,得tanx≥,
利用图4知,所求定义域为［kπ+,kπ+)(k∈Z).
点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.
变式训练
根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.
(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.
解:(1)tanx≥-1,
∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;
(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.
例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.
活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将x+作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.
解:函数的自变量x应满足x+≠kπ+,k∈Z,
即x≠2k+,k∈Z.
所以函数的定义域是{x|x≠2k+,k∈Z}.
由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),
因此,函数的周期为2.
由-+kπ因此,函数的单调递增区间是(+2k,+2k),k∈Z.
点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.
变式训练
求函数y=tan(x+)的定义域,值域,单调区间,周期性.
解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.
值域为R.
由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.
周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.
例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.
活动:引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有:
错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1 错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.
又∵函数y=tanx是增函数,且2<3,1<4,∴tan2 教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.
图6
解法一:∵函数y=tanx在区间(,)上是单调递增函数,
且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,
∴tan2解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,
∴tan2 点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的.
知能训练
课本本节练习1—5.
解答:
1.在x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分成左右两个半圆,过右半圆与x轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于,,,0,,,等角的正切线.相应地,再把x轴上从到这一段分成8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点x重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图象.
点评:可类比正弦函数图象的作法.
2.(1){x|kπ点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式.
3.x≠+,k∈Z.
点评:可用换元法.
4.(1) ;(2)2π.
点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=得解.
5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.
(2)不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有+kπ(k∈Z)这样的数,那么函数y=tanx,x∈A是增函数;如果A至少含有一个+kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线x=+kπ两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).
点评:理解正切函数的单调性.
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.
2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？
作业
课本习题1.4 A组6、8、9.
设计感想
1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.
2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高.
1.4.3 正切函数的性质与图象
课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
函数y＝tan x的性质与图象见下表：
y＝tan x
图象
定义域
__________________________
值域
______
周期
最小正周期为______
奇偶性
__________
单调性
在开区间______________________内递增
一、选择题
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z}
D．{x|x≠π，k∈Z}
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
4．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|tan x|
C．y＝|sin 2x| D．y＝cos 2x
5．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°>tan 800° B．tan 1>－tan 2
C．tan6．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝的定义域是____________．
8．函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝____.
9．已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c按从小到大的排列是________________．
10．函数y＝3tan的对称中心的坐标是_________________________________．
三、解答题
11．判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．
12．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
能力提升
13．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
14．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
1．正切函数y＝tan x在每段区间 (k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间 (k∈Z)．正切函数无单调减区间．
2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0) (k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋ (k∈Z)为渐近线．
1．4.3 正切函数的性质与图象
答案
知识梳理
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇函数 (k∈Z)
作业设计
1．C 2.C 3.A 4.B 5.D
6．A [由题意，T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.]
7．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.
8．±2
解析 T＝＝，∴ω＝±2.
9．b解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2∴b10. (k∈Z)
解析 由x＋＝ (k∈Z)，
得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
11．解 由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
12．解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
13．D [当当x＝π时，y＝0；当πtan x>sin x，y＝2sin x．故选D.]
14．B [∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.]
