课件23张PPT。1. 6三角函数模型的简单应用
一、教材分析
本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力
二、教学目标
1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；
2、根据解析式作出图象并研究性质；
3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
4.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
三、教学重点难点
重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，
并调动相关学科的知识来解决问题．由图象求解析式时的确定。
四、学法分析
本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
五、教法分析
数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
六、教学程序及设计意图
（一）创设情境、激活课堂
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。
（二）由图象探求三角函数模型的解析式
例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式
设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫，让学生带着问题，有目的地参与后续
教学活动。
解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是；
（2）从图可以看出：从6～14是的
半个周期的图象，
∴∴
∵，∴
又∵ ∴
∴
将点代入得：，
∴，
∴，取，
∴。
【问题的反思】：
①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特
别注意自变量的变化范围；
②与学生一起探索的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）
设计意图：提出问题，有学生动脑分析，自主探究，培养学生数形结合的数学思考习惯。
③如何根据图像求解析式中的待定参数
设计意图：通过总结归纳出解题的思路方法，培养学生的概括能力。
④探究其他解法：或 等
设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生的学习兴趣。
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。
设计意图：升华为思想方法。
（三）由解析式作出图象并研究性质
例2．画出函数的图象并观察其周期．
设计意图：通过画函数的图象来研究性质。由已知函数模型来研究函数，培养学生应用已知函数解决问题方法。
分析与简解：如何画图？
法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；
法2：图象变换——对称变换，可类比的作法．
从图中可以看出，函数是以为周期的波浪形曲线．
反思与质疑：
①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用
方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：
∴的周期是．（体现数形结合思想！）
②变式思考：的周期是 ．
的周期是 ．
的周期是 ．
设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。
（四）应用数学知识解决实际问题
例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
解：A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼
顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有：
∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′
MC＝＝2h0
即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。
设计意图：利用三角函数解决生活中的实际问题，培养解决实际问题的能力、分析与简解：（用几何画板展示变化过程）
设计意图：运用信息技术直观展示问题的实质。
与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函
数的有关知识．
设计意图：优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间内在联系的理解和认识。知识性、方法性内容的小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质。
七、小试牛刀，当堂检测
某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其总量在此两值之间变化，且总量与月份的关系可以用函数（）来刻画，试求该函数表达式。
设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
八、发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
三角函数模型的简单应用
例1．
例2.
例3.
练习：
小结：
十、教后反思
以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。
1.6三角函数模型的简单应用
课前预习学案
一、预习目标
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用
二、预习内容
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.
2、是以____________为周期的波浪型曲线.
课内探究学案
一、学习目标
1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.
学习重难点：
重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型
二、学习过程
自主探究；
问题一、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式
问题二、画出函数的图象并观察其周期．
问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
三、当堂检测
1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
课后练习与提高
1、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据，函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2、从高出海面hm的小岛A处看正东方向有一只船B，俯角为看正南方向的一船C的俯角为，则此时两船间的距离为（ ）.
A． B． C． D．
3、如图表示电流 I 与时间t的函数关系式： I =在同一周期内的图象。
（1）根据图象写出I =的解析式；
（2）为了使I =中t在任意－段秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？
答案：
预习内容：1、周期 2、
自主探究：
问题二、
问题三、解：A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼
顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有：
∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′
MC＝＝2h0
即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。
当堂检测：由条件可得：出厂价格函数为,
销售价格函数为
则利润函数为:
所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大.
课后练习与提高
1、A
2、A
3、解：（1）由图知A＝300，，
由得
（2）问题等价于，即
，∴正整数的最小值为314。
课件44张PPT。§1.6 三角函数模型的简单应用明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 04会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.明目标、知重点1.三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ ；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ ；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ .?填要点·记疑点??2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ ，ymin＝ .
(2)A＝ ，k＝ .
(3)ω可由ω＝ 确定，其中周期T可观察图象获得.
(4)由ωx1＋φ＝ ，ωx2＋φ＝ ，ωx3＋φ＝ ，ωx4＋φ＝ ，ωx5＋φ＝ 中的一个确定φ的值.A＋k－A＋k0π2π3.三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中 现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.周期探要点·究所然情境导学生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数思考 怎样作出函数y＝|sin x|的图象，并根据图象判断其周期和单调区间？
答 函数y＝sin x位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|的图象，如下图所示：小结 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：(1)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.(2)由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.例1 (1)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.解 y＝|cos x|图象如图所示.由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数；(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性.解 ∵sin(－x)＝－sin x，∴其图象如图.由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.?跟踪训练1 求下列函数的周期：探究点二 三角函数模型的应用思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？
答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.思考2 上述的数学模型是怎样建立的？
答 解决问题的一般程序是：
1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.思考3 怎样处理搜集到的数据？
答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型.
小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析.探究点三 三角函数模型在物理学中的应用例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天6～14时的最大温差；解 由图可知：这段时间的最大温差是20℃；(2)写出这段曲线的函数解析式.反思与感悟 ①本例中所给出的一段图象实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被忽略掉.
②如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型.跟踪训练2 下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)
在同一周期内的图象.
(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；?故最小正整数为ω＝629.例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：(1)试在图中描出所给点；解 描出所给点如图所示：(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；解 由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适.
令A>0，ω>0，|φ|<π.故所求拟合模型的解析式为(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，
或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.反思与感悟 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：
1.根据原始数据给出散点图.
2.通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
3.根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.跟踪训练3 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asin ωt＋B的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；?(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)?∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港.
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.当堂测·查疑缺 12341.方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根C12342.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )(1234答案 C123412344.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.1234(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；1234(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.呈重点、现规律1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.第16课时 三角函数模型的简单应用
课时目标
1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题．
2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题．
识记强化
三角函数模型应用的四个问题是：
(1)根据图象建立解析式；
(2)根据解析式画图象；
(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；
(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．
课时作业
一、选择题
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
答案：C
解析：由于ω＝160π，故函数的周期T＝＝，所以f＝＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S cm和时间t s的函数关系为S＝8sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2πs B．πs
C．0.5 s D．1 s
答案：D
解析：因为ω＝2π，所以T＝＝1.
3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v0，发射角为θ，重力加速度为g，则炮弹上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为( )
A．y＝v0t
B．y＝v0sinθt－gt2
C．y＝v0sinθt
D．y＝v0cosθt
答案：B
解析：竖直方向的分速度v0sinθ，由竖直上抛运动的位移公式y＝v0sinθt－gt2，故选B.
4．单位圆上有两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为rad/s，N点按顺时针方向转，速度为rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )
A．π，2π B．π，4π
C．2π，4π D．4π，8π
答案：C
解析：设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝t，l2＝t.
∴t＋t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.
5．如图为2015年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为( )
A．16 ℃ B．15 ℃
C．14 ℃ D．13 ℃
答案：D
解析：由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
6．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是：s＝3cos.已知g＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
答案：C
解析：由周期T＝＝2π＝2π，所以小球的摆动周期T＝2π .
由l＝g2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得l＝9802＝cm.
二、填空题
7．电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I＝3sin100πt＋，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.
答案： 50 3
解析：最小正周期T＝＝；频率f＝＝50；振幅A＝3.
8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：由题意，可得A＝＝2，B＝7，
周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9.
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h，则h与θ间的函数关系式为______________________．
答案：h＝5.6＋4.8sin
解析：
以O为原点建立坐标系，如右图，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故点B的坐标为
.
∴h＝5.6＋4.8sin.
三、解答题
10．交流电的电压E(单位：V)随时间t(单位：s)变化的关系式是E＝
220sin，t∈[0，＋∞)．
(1)求开始时(t＝0)的电压；
(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间；
(3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．
解：(1)当t＝0时，E＝220×sin＝110，即开始时的电压为110 V.
(2)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝时，t＝，即电压首次达到最大值的时间为 s.
(3)T＝＝，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为 s.
11．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，|φ|<.
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解：(1)由图，可知A＝300.
设t0＝－，t1＝，t2＝.∵T＝t2－t0＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
能力提升
12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AB的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
答案：C
解析：令所对的圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ.
又∵sin＝，∴d＝2sin＝2sin.
∴d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.
13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30 km，BC＝15 km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO＝x(弧度)，排污管道的总长度为y km.
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km)．
分析：(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
(2)记p＝，则sinx＋pcosx＝2，求出p的范围，即可得出结论．
解：(1)由已知得y＝2×＋15－15tanx，
即y＝15＋15×(其中0≤x≤)
(2)记p＝，则sinx＋pcosx＝2，则有≤1，
解得p≥或p≤－
由于y>0，所以，当x＝，即点O在CD中垂线上离点P距离为 km处，y取得最小值15＋15≈40.98 km.
1.6 三角函数模型的简单应用
整体设计
教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?
③上述的数学模型是怎样建立的?
④怎样处理搜集到的数据?
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.
应用示例
例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.
图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.
∵·=14-6,
∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.
综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.?
例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )
A.(,) B.(,) C.(π,) D.(,2π)
答案:C
例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?
活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.
首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知
太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:
h0=htanθ.
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.
图3
解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,
有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,
所以MC＝=≈2.000h0,
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.
点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？
图4
解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,
由于每层楼高为3米,根据以上数据,
所以他应选3层以上.
知能训练
课本本节练习1、2.
解答:
1.乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处.
点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过周期,乙点位置将移至它关于x轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同.
2.如CCTV—1新闻联播节目播出的周期是1天.
点评:了解实际生活中发生的周期变化现象.
课堂小结
1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
作业
1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系
图5
I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象.
(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),
∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).
(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.
2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例:
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.
设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.
2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.
(设计者:郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.
思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？
②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,|φ|＜)的最小正周期是π,且f(0)=,则( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=
C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=
活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中.
讨论结果:①略 ②D
应用示例
例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.
图6
根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.
在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.
进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.
解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).
根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:
A＝2.5,h＝5,T＝12,φ＝0,
由T＝＝12,得ω＝.
所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sinx+5近似描述.
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:
时刻
0:00
1:00
2:00
3:00
4:00
5:00
6:00
7:00
8:00
9:00
10:00
11:00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
12:00
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
18:00
19:00
20:00
21:00
22:00
23:00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.
令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.
由计算器可得
MODE
MODE
2
SHIFT
sin-1
0.2
=
0.201 357 92≈0.201 4.
如图7,在区间[0,12]内,函数y＝2.5sinx+5的图象与直线y＝5.5有两个交点A、B,
图7
因此x≈0.201 4,或π－x≈0.201 4.
解得xA≈0.384 8,xB≈5.615 2.
由函数的周期性易得:xC≈12+0.384 8＝12.384 8,xD≈12+5.615 2＝17.615 2.
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
图8
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).
通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.
点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.
变式训练
发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°),则IA+IB+IC=________.
答案:0
例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:
(1)单摆振幅多大；
(2)振动频率多高；
(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；
(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；
(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.
活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.
图9
解:结合函数模型和图象:
(1)单摆振幅是1 cm；
(2)单摆的振动频率为1.25 HZ；
(3)单摆在0.6 s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；
(4)单摆在0.4 s时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；
(5)由单摆振动的周期公式T=2π,可得L==0.16 m.
点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.
变式训练
1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若sinx+f(x)＝,求sinxcosx的值.
解:(1)∵f(x)为偶函数,
∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ).
∴φ＝.
∴f(x)＝sin(ωx+)＝cosωx.
相邻两点P(x0,1),Q(x0+,－1).
由题意,|PQ|＝=π2+4.解得ω＝1.
∴f(x)＝cosx.
(2)由sinx+f(x)＝,得sinx+cosx＝.
两边平方,得sinxcosx＝.
2.小明在直角坐标系中,用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
解:小明原作的曲线为y=sinx,x∈R,由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度,与原来1 cm代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y＝sinx,x∈R.同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为
y＝sin2x,x∈R.
3.求方程lgx＝sinx实根的个数.
解:由方程式模型构建图象模型.
在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.
图10
点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.
知能训练
课本本节练习3
3.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习.
点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性.
课堂小结
1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.
2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.
作业
图11
如图11,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少?当L取最大值时,θ为多大?
分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.
解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程:
由①②,整理得v0cosθ=,v0sinθ=+gt.
∴v02+gLsinα=g2t2+≥2=gL.
运动员从A点滑至O点,机械守恒有mgh=mv02,
∴v02=2gh.∴L≤=200(m),
即Lmax=200(m).
又g2t2==,
∴t=,s=Lcosα=v0tcosθ=2gh··cosθ,
得cosθ=cosα.∴θ=α=30°.
∴L最大值为200米,当L最大时,起跳倾角为30°.
设计感想
1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.
2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.
3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.
§1.6 三角函数模型的简单应用
课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝________________，k＝________________________________.
(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
一、选择题
1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A. s B. s C．50 s D．100 s
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
4. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
三、解答题
9. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
§1.6 三角函数模型的简单应用
答案
知识梳理
1.
2．(1)A＋k －A＋k (2) (3)ω＝ (4)0 π π 2π
3．周期
作业设计
1．A 2.A
3．D [因为f＝f，所以直线x＝是函数f(x)图象的对称轴．所以f＝3sin＝3sin＝±3.因此选D.]
4．C [d＝f(l)＝2sin .]
5．A [在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]
6．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π7．80
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
8.
解析 T＝＝1.∴ ＝2π.∴l＝.
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．C [∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|.
当t＝0时，d＝，排除A、D；
当t＝时，d＝0，排除B.]
12．10sin
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin .
