空间中的垂直关系 平面与平面垂直
教学设计
[课例简析]
立体几何是近代数学中重要的数学分支之一，是初中平面几何的进一步补充和扩展，从平面图形发展到空间图形，使学生对图形的认识有一个质的飞跃。立体几何学生有了对空间图形及其性质的认识，也为将来学习空间解析几何、高等数学课程做好必要的准备。学生通过学习可以懂得一切事物都是有规律的变化发展着的，有利于培养他们的辩证唯物主义观。
本节课的主要内容是通过前面空间中垂直关系的学习，感受平面与平面垂直的定义，会总结归纳面面垂直的判定定理和性质定理，并证明简单命题。
[设计意图]
课程标准对本部分的要求，明确提出：通过对图形的观察和操作，引导学生发现和提出描述基本图形平行，垂直关系的命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释命题的含义和表述证明的思路，并证明其中一些命题。鉴于此，我在设计教学的过程中，有意识地从上述几方面加以强化。除了让学生直观感知，操作确认外，还组织学生用三种语言归纳描述定理，在这个过程中，培养学生数学语言的严谨性。
[设计思路]
本节课有着丰富的实际背景，教法上本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，采用“步步为营”的方式，根据知识的学习和思维的发展，一步步设计问题，解决问题，使学生能力得到提升。同时渗透爱国主义教育，体现教学的德育性。结合生活中的实例，让学生体会数学来源于生活，应用于生活，培养学生的应用意识。通过小组讨论，合作交流，培养学生的合作意识，并借助同伴的力量，使学生的最近发展区内，得到最有效的发展。
[教学准备]
提前下发学案，让学生完成复习部分，并根据学案预习新课
准备硬白纸，三角板
[课堂设计]
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：
创设情境，直观感知→动手操作，归纳定义→结合实例，表述命题
→严格论证，理解定理→巩固应用，深化定理→总结升华，提高素养
→作业布置，课后提升
环节一、创设情境，直观感知
让学生从生活中熟悉的图片入手，回顾上节课学习的线线垂直，线面垂直问题。在选取时，有意识选择了火箭发射的图片，介绍我国航天技术上的成就，培养学生的民族自豪感。
紧接着，还是从生活实际出发，通过黑板面，门面与地面的关系，让学生体会面面垂直的感觉。
（从生活实际出发，通过学生直观感知，培养空间想象能力。渗透爱国主义教育，体现教育的德育功能。）
环节二、动手操作，归纳定义
教师展示：拿白纸沿中线对折。
问1：这两个平面折到什么程度就给人以垂直的感觉？
问2：你能否用手中的工具，构造平面与平面垂直？
（学生对平面与平面的垂直关系会很有“感觉”，但是要是让他们用语言描述出来则非常困难。这个地方的设计意图就是希望学生在思考的同时，学会论证面面垂直需要哪些条件。）
设计学生活动：小组讨论，并两人合作展示讨论成果。
在学生的讨论和展示过程中，适当补充，用精炼准确的语言，归纳出面面垂直的定义与判定方法。
教师归纳定义中的关键点：三条交线，两个垂直。
为了更具有操作性，在两面交线上取一点，过此点在两个平面内分别作交线的垂线。归纳为：三垂直。
（这个地方我的设计是使定义更具有操作化。因为通过后续的学习我们可以看出，直接用定义证明两平面垂直学生会比较困难，所以我通过转化，把难点分解，从更易于学生理解的角度来说明定义，也为后续学习直二面角打下了基础）
课件展示，规范面面垂直的写法和画法。
学生在学案上自己尝试画门面与地面垂直的关系简图，同桌互相纠正。
（这个环节比较重要，由学生通过自己动手操作，能更好地体会面面垂直的定义，少犯“想当然”的错误。同时借助小组的力量，可以实际帮助那些学习有困难的同学，避免“大锅饭”。）
环节三、结合实例，表述命题
在学生理解了面面垂直的定义后，把同学们的视线再拉到生活实际中。教师演示，让教室的门面转动起来
问1：门所在平面与地面什么关系？
问2：什么东西决定了门无论怎么转，都与地面垂直？
学生非常容易就想到门轴，为定理的归纳得出做好了准备。
（通过演示，既让学生感到明白，直观，又为学生归纳定理做好了准备。）
学生活动：请同学们讨论一下，如何用数学语言描述刚才的现象？
请一个同学回答，其他同学补充。教师课件展示。并画出图形。
再请其他同学用符号语言描述。
（根据课标要求，本环节主要是训练学生的归纳总结能力，培养数学抽象核心素养。同时让学生用严谨的语言描述命题，训练学生三种语言的相互转化。）
环节四、严格论证，理解定理
经过归纳后，自然就提出一个问题：这个命题是否正确？
教师引导，学生分析：要证明面面垂直，目前我们可以利用的只有定义。所以构造辅助线可以从几个线线垂直关系入手。
思考后学生证明，其他学生补充。
师生共同归纳此命题的条件和结论，教师板书。
判定定理：线面垂直（线在面内），则面面垂直。
（本部分的难点是定理的证明。对于刚学完定义的学生来说，直接去证明会感觉无从下手。这个时候，定义的简化形式就能派上用场了。如果学生感觉困难，可以再次回顾定义中的三个垂直，看看缺哪个垂直，就证哪个垂直。培养了学生分析问题，解决问题的能力。）
环节五、巩固应用，深化定理
学生对知识记忆最好的方法，就是让他们应用知识。为此，我设计了紧跟其后的一个证明题。
学生活动：自主完成证明，同桌互相倾听，纠错。一名同学展示证明过程。
（这个题目比较简单，是对定理的直接应用。所以完全放手让学生完成，培养学生的逻辑性，严谨性。借助同学的力量，发现学生不太常规的错误，避免教师的经验主义。）
环节四、严格论证，理解定理
判定定理的学习，形成了一条成功的流水线：猜-证-用。所以后面的学习也延续这个思路。
判定定理揭示了一个检验面面垂直的方法，生活中也有很多这样的例子。建筑工人砌墙的检验方法，正是来源于此。
根据这个图接着提问：墙面内的所有直线都垂直于地面吗？
追问：垂直于地面的线有什么共同特征？
引导学生归纳出：垂直于交线的直线垂直于地面。
请同学类比前面的研究思路，自己写出猜想并证明。
学生活动：自己用三种语言写出命题，并证明。
教师课件展示定理和证明过程。
给出性质定理的描述：面面垂直（线线垂直），则线面垂直。
（有前面学习的铺垫，本部分的学习相对简单，学生无论是归纳还是证明，都有的放矢，也更加严谨。因此在处理的时候，可以适当加快速度，同时给学生更多的自主权。）
环节五、巩固应用，深化定理
通过一个辨析题，加深学生对性质定理的理解：
（这个题目旨在从几个方面，加深对性质定理的理解。最后一个学生会感觉困难，可以结合黑板面，地面，手中的笔等工具，帮助学生理解。同时教会学生如何利用身边的工具，演示空间中的位置关系，培养空间想象能力。）
至此，学生完成了定理的学习，如何选择定理，用定理，掌握了多少，需要一个小题检验一下。设计了一个练习题。既综合应用了判定定理和性质定理，又可以检验学生对条件的分析和处理能力。
学生活动：一同学板演，并讲解归纳。教师点评。
（定理的应用是本节课的一个重点，学生在掌握上，会有照搬定理的情况。所以通过适当调整条件，放在几何体中进行证明，可以较好地实现本节课的教学目标。）
环节六：总结升华，提高素养
根据本节课的学习，提出一个课后思考题，升华对平面与平面垂直的判定和性质定理的认识。
师生共同回顾本节课的内容，从知识和思想方法上总结所学。
（引领学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的至高点．）
环节七：作业布置，课后提升
本次作业除了设计书面作业外，还给学生留了思考题和实践作业，更重视学生的学以致用能力。培养学生的创新意识和探索精神，将探究的空间由课堂延伸到了课外.
课件23张PPT。情境引入情境引入线面垂直的判定定理：线面垂直的性质定理： 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直. 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和该平面内的任意一条直线垂直.情境引入概念形成面面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条
交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.概念形成“三交线
两垂直”面面垂直的定义概念形成“三垂直”两平面垂直的画法概念形成两平面垂直的画法概念形成 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直概念形成概念形成 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则这两个平面互相垂直.面面垂直的判定定理概念形成应用新知概念形成概念形成 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面概念形成 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.面面垂直的性质定理概念形成应用新知巩固练习课后拓展课堂小结（1）面面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个
平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条
交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则这两个平面互相垂直.（3）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.谢谢大家！ 空间中的垂直关系 平面与平面垂直 评测练习
一、单选题（共4个小题，每个题目10分，共40分）
1．若平面与平面互相垂直，则（ ）
A．内任一条直线都垂直于 B．中只有一条直线垂直于
C．平行于的直线必垂直于 D．内垂直于交线的直线必垂直于
2．已知平面α，β，下列命题错误的是( )
A．若α⊥β，则α内所有直线都垂直于β
B．如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于β
C．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β
D．若α⊥β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
3．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝n，直线l?α，直线m?β，则下列说法正确的个数是( )
①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l∥n，则l∥β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共2个题目，每个题目10分，共20分）
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝____.
6．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为____．
并请对你的结果进行证明。
空间中的垂直关系 平面与平面垂直 评测练习答案
1．D 2．A 3．C 4．D
5．1
因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝，
所以BC＝＝1.
6．3
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，
所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD.
在折起前，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.
又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，
所以平面ACD⊥平面ABD，共3对
