5.3 应用一元一次方程——水箱变高了课时作业

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
为了做一个试管架，在长为acm（a＞6cm）的木板上钻3个小孔（如图），每个小孔的直径为2cm，则x等于（　　）
A． cm B． cm C． cm D． cm
一个正方形的边长如果增加2cm，面积则增加32cm2，则这个正方形的边长为（　　）
A．6cm B． 5cm C． 8cm D． 7cm
在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE=x（cm），依题意可得方程( )
A．6+2x=14﹣3x B．6+2x=x+（14﹣3x）
C．14﹣3x=6 D．6+2x=14﹣x
有一位工人师傅将底面直径是10cm，高为80cm的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
在排成每行七天的日历表中取下一个方块（如图），若所有日期数之和为135，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．9
如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（　　）
A．43 B．44 C．45 D．46
、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
如图，将一条长为60铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1︰2︰3，则折痕对应的刻度有___________种可能．
实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比
为1:2:1，，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三
个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示。若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，
开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高
度之差是0.5cm
实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入　 　分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
、解答题（本大题共7小题，共50分）
用一段长60厘米的铁丝围成一个长方形，如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽．
一个长方形如图所示，恰好分成六个正方形。其中中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形的面积.
如图，已知点A．B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12．
（1）求点A．B对应的数；
（2）动点P、Q分别同时从A．C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）．
①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN．
13.如图，已知∠AOB=90°，射线OA绕点O逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当旋转角度等于360°时，OA停止旋转），同时OB绕点O以每秒2°的速度旋转（当OA停止旋转时，OB同样停止旋转）.求当OA旋转多少秒，旋转后的OA与OB形成的角度为50°.
如图，一个瓶子的容积为1 L，瓶内装着溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，当瓶子倒放时，空余部分的高度为5 cm.现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液高度为10 cm.
求：(1)瓶内溶液的体积；
(2)圆柱形杯子的内底面半径(π取3.14，结果精确到0.1 cm)．
如图，线段AB=20cm．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3厘米/秒运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图，AO=PO=2cm，∠POQ=60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．
已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）
（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；
（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，请说明PA+PB﹣2PM是一个定值．
答案解析
、选择题
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】根据条件，4x加上三个圆的直径（6cm）的和是acm．因而得方程4x+6=a，解关于x的方程．
解：根据题意有4x+6=a，
解得x=．
故选C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，结合图形找出等量关系，列出方程，再求解．
【考点】一元一次方程的应用-几何图形问题．
【分析】根据正方形的面积公式找出本题中的等量关系，列出方程求解．
解：设这个正方形的边长为x，正方形的边长如果增加2cm，则是x+2，根据题意列出方程得
x2+32=（x+2）2解得x=7．
则这个正方形的边长为7cm．
故选D．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设AE为xcm，则AM为（14﹣3x）cm，根据图示可以得出关于AN=MW的方程．
解：设AE为xcm，则AM为（14﹣3x）cm，
根据题意得出：∵AN=MW，∴AN+6=x+MR，
即6+2x=x+（14﹣3x）
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设“矮胖”形圆柱的高是xcm，根据形积问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：设“矮胖”形圆柱的高是xcm，由题意，得
25π×80=400πx，
解得：x=5．
故选B．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，形积问题的数量关系的运用，解答时由形积问题的数量关系建立方程是关键．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】观察图片，可以发现日历的排布规律，因此可得出日历每个方块的代数式，从而求出n的值．
解：日历的排列是有一定规律的取下一个3×3方块，当中间的数是n的话，它上面的数是n-7，下面的数是n+7，左边的数是n-1，右边的数是n+1，左边最上面的数是n-8，最下面的数是n+6，右边最上面的数是n-6，最下面的数是n+8；
若所有日期数之和为135，则n-8+n-7+ n-6+n-1+n+n+1+ n+6+ n+7+ n+8=135，
即9n=135，解得：n=15，
故选C．
【点评】此题的关键是联系生活实际找出日历的规律，所以学生平时要养成爱观察爱动脑的习惯．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设长方形的宽为x公分，抽出隔板后之水面高度为h公分，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
解：设长方形的宽为x公分，抽出隔板后之水面高度为h公分，长方形的长为130+70=200（公分）
×40+×50=200?x?h，
解得：h=44，
故选B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．　
、填空题
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
解：设该玻璃密封器皿总容量为Vcm3，
π×102×10=V﹣π×102×（20﹣16），
解得，V=1400π，
故答案为：1400π．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．　
【考点】一元一次方程的应用，图形的剪拼
【分析】可设折痕对应的刻度为xcm，根据折叠的性质和三段长度由短到长的比为1：2：3，长为60cm的卷尺，列出方程求解即可．
解：设折痕对应的刻度为xcm，依题意有
①x+x+x=60，
解得x=20；
②x+x+0．4x=60，
解得x=25；
③x+x﹣x=60，
解得x=35；
④x+x﹣0．5x=60，
解得x=40．
综上所述，折痕对应的刻度有4种可能．
【点评】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】首先根据注水1分钟，乙的水位上升cm求出注水的速度，然后分甲比乙高0.5cm、乙比甲高0.5cm、以及丙中有水的3种情况进行讨论计算
解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此时丙容器已向甲容器溢水，
∵5÷=分钟，=，即经过分钟边容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=，
综上所述开始注入，，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．
解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，
有1﹣t=0.5，
解得：t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，
∵t﹣1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分钟，=，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=，
综上所述开始注入，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．　
、解答题
【考点】一元一次方程的应用-几何问题
【分析】根据长方形的长与宽的关系设出长与宽，根据周长为60厘米列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设长方形的长为x厘米，则宽为x厘米，
根据题意得：2（x+x）＝60，
解得：x＝18，
×18＝12（厘米），
答：长方形的长为18厘米，宽为12厘米．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清关系式长方形的周长＝2（长+宽）是解本题的关键．
【考点】一元一次方程的应用-几何问题
【分析】本题可设这6个正方形中最大的一个边长为xcm，根据矩形的性质列方程从而求得长方形的面积．
解：设这6个正方形中最大的一个边长为xcm，
∵图中最小正方形边长是1cm，
∴其余的正方形边长分别为（x-1）cm，（x-2）cm，（x-3）cm，（x-3）cm，
∴x+x-1=2（x-3）+x-2，
∴x=7，
∴长方形的长为x+x-1=13（cm），宽为x+x-3=11（cm），面积为13×11=143（平方厘米）．
答：这个长方形的面积为143cm2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用．能够用不同的方法表示同一个正方形的边长，注意各个正方形的边长之间的数量关系．
【考点】一元一次方程的应用-几何问题
【分析】（1）点B表示的数是6－4，点A表示的数是2－12，求出即可；
（2）①求出AM，CN，根据A．C表示的数求出M、N表示的数即可；②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可．
解：（1）∵点C对应的数为6，BC＝4，
∴点B表示的数是6﹣4＝2，
∵AB＝12，
∴点A表示的数是2﹣12＝﹣10．
（2）①∵动点P、Q分别同时从A．C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是t，
∴AP＝6t，CQ＝3t，
∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ，
∴AM＝AP＝3t，CN＝CQ═t，
∵点A表示的数是﹣10，C表示的数是6，
∴M表示的数是﹣10＋3t，N表示的数是6＋t．
②∵OM＝|﹣10＋3t|，BN＝BC＋CN＝4＋t，OM＝2BN，
∴|﹣10＋3t|＝2（4＋t）＝8＋2t，
由﹣10＋3t＝8＋2t，得t＝18，
由﹣10＋3t＝﹣（8＋2t），得t＝，
故当t＝18秒或t＝秒时OM＝2BN．
【点睛】本题考查了线段中点，两点间的距离的应用，主要考查学生综合运用定义进行计算的能力，有一定的难度．
【考点】一元一次方程的应用-几何问题
【分析】(1)当OB逆时针旋转:设OA旋转x秒后与OB形成角度为,①OA未追上OB,②当OA超过OB,列方程即可得到结论;?
(2)当OB顺时针旋转:设OA旋转x秒后与OB形成角度为,①OA与OB相遇前,②OA与OB相遇后,列方程即可得到结论.
解：（1）当OB逆时针旋转：设OA旋转x秒后与OB形成角度为50°
①OA未追上OB
50-2x+6x=90，解得 x=10
②当OA超过OB
6x-90=50+2x
解得 x=35
（2）当OB顺时针旋转：设OA旋转x秒后与OB形成角度为50°
①OA与OB相遇前
2x+6x+50=90
解得 x=5
②OA与OB相遇后
6x+2x-50=90
解得 x=17.5
或6x+2x-90+50=360
解得 x=50
综上所述：当OA旋转5秒或10秒或17.5秒或35或50秒时，与OB形成角度为50°.
【点评】本题考查了一元一次方程的几何应用及分类讨论的数学思想，一是OB要分顺时针转和逆时针转两种情况，二是每种转法中所形成的50°角要分相遇前和相遇后两种情况，把各类情况分类考虑全面是解答本题的关键.
【考点】一元一次方程的应用-几何问题
【分析】由于瓶内装着的溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm，说明这个瓶的空余部分体积相当于装这种溶液的5cm高的同样底面积圆柱体的体积，设溶液的体积为x，那么空余部分的体积为x，而已知瓶子的容积为1升，由此建立方程即可求出溶液的体积，然后根据圆柱体体积公式即可求出圆柱形杯子溶液的高度．
解：1 L＝1000 cm3.
(1)设瓶内溶液的体积为x cm3.根据题意，得x＋x＝1000，解得x＝800.
答：瓶内溶液的体积为800 cm3.
(2)设圆柱形杯子的内底面半径为r cm，则
π·r2·10＝800，∴r＝≈5.0.
答：圆柱形杯子的内底面半径约为5.0 cm.
【点睛】解答这道题的关键是我们要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一．
【考点】 一元一次方程的应用．
【分析】 （1）根据相遇时，点P和点Q的运动的路程和等于AB的长列方程即可求解；
（2）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．
依题意，有2t+3t=20，（2分）
解得，t=分）
答：经过4s后，点P、Q相遇；（4分）
（2）点P，Q只能在直线AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为=2s，或s．
设点Q的速度为ycm/s，则有2y=20﹣4，解得y=8；（7分）
或8y=20，解得y=2.分）
答：点Q的速度为8cm/s或2.5cm/s．
【点评】 此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是熟练掌握速度、路程、时间的关系．
【考点】一元一次方程的应用-几何问题
【分析】（1）①当点C在线段AB上时，如图1，②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；
（2）如图3，设BP＝x，则PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，代入PA+PB﹣2PM即可得到结论．
解：
（1）①当点C在线段AB上时，如图1，
∵AC＝3BC，
设BC＝x，则AC＝3x，
∵AB＝AC+BC，
∴8＝3x+x，
∴x＝2，
∴BC＝2，AC＝6，
∵点D是CB的中点，
∴CD＝BD＝BC＝1，
∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；
②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，
设BC＝x，AC＝3BC＝3x，
∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，
∵点D是CB的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2，
∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；
③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；
综上所述，AD的长为7或10；
（2）如图3，
设BP＝x，则PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，
∴PA+PB﹣2PM＝8+x+x﹣2（4+x）＝0，
∴PA+PB﹣2PM是一个定值0．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键．