课件22张PPT。2. 1平面向量的实际背景及基本概念
教材分析：
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。
教学目标：
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学过程：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ）?
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线?
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点?
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量?
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.?
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?
②单位向量都相等；?
③任一向量与它的相反向量不相等；?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；?
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
描述向量的两个指标：模和方向.
平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题
2.1平面向量的实际背景及基本概念
课前预习学案
一、预习目标
通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
二、预习内容
（一）、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
（二）、新课预习：
1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
数量与向量有何区别？
如何表示向量？
有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各
向量的终点之间有什么关系？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
二、学习过程
1、数量与向量的区别？
-
2.向量的表示方法？
①
②
③
④向量的大小――长度称为向量的模，记作 。
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： 。
向量与有向线段的区别：
（1） 。
（2） 。
4、零向量、单位向量概念：
① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
② 叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义： 叫相等向量。
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为 （与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
三、理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例3下列命题正确的是（ ）?
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线?
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点?
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量?
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.?
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?
②单位向量都相等；?
③任一向量与它的相反向量不相等；?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；?
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
2．书本88页练习
课后练习与提高
1．下列各量中不是向量的是（ ）
?A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度
2.下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆
4．已知非零向量,若非零向量，则与必定 .
5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则
课件35张PPT。§2.1 平面向量的实际背景
及基本概念明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.明目标、知重点1.向量
既有 ，又有 的量叫做向量.
2.向量的几何表示
以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
3.向量的有关概念
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量.大小填要点·记疑点方向 001(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量.
①记法：向量a平行于向量b，记作 .
②规定：零向量与 平行.长度相等且方向相同相同或相反非零a∥b任一向量探要点·究所然情境导学回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量.探究点一 向量的概念和几何表示我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.
例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度.
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模).记作| |有向线段
箭头表示向量的方向.思考2 向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.
思考3 向量与有向线段有什么区别？
答 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二 几个向量概念的理解思考1 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
答 长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
长度(或模)为1的向量叫做单位向量.
思考2 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
答 长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.小结 研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考3 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？
答 单位圆.探究点三 平行向量与共线向量思考1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
答 方向相同或相反.
小结 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考2 如果非零向量 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？
答 点A、B、C、D不一定共线.思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？
答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若 则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.
② A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确.
③在平行四边形ABCD中， 与平行且方向相同，故 ③正确.④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.
⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.
若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.反思与感悟 对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；解 不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；解 不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
解 正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解 不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量解 (1)向量 如图所示.∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个
小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；?解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a
平行，且长度相等(作图略).?例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与 共线的向量；解 因为E、F分别是AC、AB的中点，反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与 相等的向量.当堂测·查疑缺 12341.下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小1234解析 A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；
由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；
C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；
D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.
答案 D12342.如图，在四边形ABCD中，若 则图中相等的向量是( )D12343.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有________________________.解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.1234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.梯形呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.第17课时平面向量的实际背景及其基本概念
课时目标
1.通过物理、几何模型的探究，了解向量的实际背景．掌握向量的有关概念及向量的几何表示．
2．掌握相等向量与共线向量的概念．
识记强化
1．既有大小，又有方向的量叫向量．
2．向量可以用有向线段表示，也可用字母表示，印刷中用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写时，可以用带箭头的小写字母，，，…表示．
3．表示向量的有向线段的长度，叫向量的模，模为零的向量叫零向量；模为1的向量叫单位向量．
4．模相等、方向相同的向量叫相等向量；方向相同或相反的两个向量叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任何向量共线．
课时作业
一、选择题
1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
答案：A
解析：速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有方向和大小．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为()
A. B.
C．1 D．2
答案：C
解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
3．下列说法正确的是()
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
答案：D
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
4．如图，在⊙O中，向量、、是()
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案：C
5．下列命题正确的是()
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
答案：C
解析：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
6．给出下列四个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③设a0是单位向量，若a∥a0，且|a|＝1，则a＝a0；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中假命题的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②正确．根据向量相等的定义判定．
③不正确．a与a0均是单位向量，a＝a0或a＝－a0.
④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．
二、填空题
7．在四边形ABCD中，∥，||≠||，则四边形ABCD是________．
答案：梯形
8．给出下列四个条件：(1)a＝b；(2)|a|＝|b|；(3)a与b方向相反；(4)|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
答案：(1)(3)(4)
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
9.
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则
(1)与相等的向量有________；
(2)与共线的向量有________；
(3)与模相等的向量有________个．
答案：(1)，，；(2)，，，，，，，，；(3)23
解析：根据向量的相关概念，可得(1)与相等的向量有，，；(2)与共线的向量有，，，，，，，，；(3)正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成的线段，长度与的模都相等，这样的线段共有12条，再注意到方向，共24个向量，除去本身，满足条件的向量有23个．
三、解答题
10．已知在四边形ABCD中，∥，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)||＝||，且与不平行．
∵∥，∴四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则||＝||，同时两向量不共线．
(2)＝(或∥)．
若＝，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
11．一架飞机向北飞行了300 km，然后又向西飞行了300 km.
(1)飞机飞行的路程是多少？
(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的什么方位？距离出发地多远？(保留根号)
解：(1)300＋300＝600(km)，飞机飞行的路程是600 km.
(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的西北方向(或北偏西45°)，距离出发地300 km.
能力提升
12．如图所示的4×5的矩形(每个小方格都是正方形)，与相等，并且要求向量的起点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个．
答案：3
13．如图，已知正比例函数y＝x的图象m与直线n平行，A、B(x，y)是直线n上的两点，问：
(1)x、y为何值时，＝0?
(2)x、y为何值时，为单位向量？
解：(1)已知点B(x，y)是直线n上的动点，要使得＝0，必须且只需点B(x，y)与A重合，于是x＝0，y＝－，即当x＝0，y＝－时，＝0.
(2)
如图，要使得是单位向量，必须且只需||＝1.由已知m∥n且A，
∴点B1的坐标是.
在Rt△AOB1中，有||2＝||2＋||2＝1.
上式表明，向量是单位向量，同理可得，
当点B2的坐标是时，向量也是单位向量．
综上，有当x＝，y＝0或x＝－，y＝－时，为单位向量．
第二章 平面向量
本章教材分析
1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.
2.教学的最佳契机,全新的思维视角.
向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
3.本章充分体现出新教材特点.
以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.
4.本章教学约需12课时,具体分配如下,仅供参考.
标题
课时
2.1平面向量的实际背景及基本概念
1课时
2.2向量的线性运算
3课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2课时
2.4平面向量的数量积
2课时
2.5平面向量的应用举例
2课时
本章复习
2课时
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
整体设计
教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
三维目标
1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.
重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.
图1
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？
③数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.
教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.
讨论结果:
①略.
②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.
③略.
提出问题
①如何表示向量?
②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?
③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?
④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?
⑦数量与向量有什么区别?
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?
活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.
已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
图2
知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
用有向线段表示向量的方法是:
1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:.
这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.
2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用)
3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.
讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、.
注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
图3
③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.
图4
又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.
⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.
应用示例
例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)
图5
分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解:表示A地至B地的位移,且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)
表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)
点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.
变式训练
一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
图6
解:根据题意画出示意图,如图6所示.
||=100 m,||=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC为正三角形.
∴||=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.
∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.
图7
例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1)ABCD中,与是共线向量;
(2)单位向量都相等.
活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.
因为AB//CD,所以∥.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.
解:(1)正确;
(2)不正确.
点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.
图8
例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量.
活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.
解:==;==;===.
点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.
变式训练
本例变式一:与向量长度相等的向量有多少个？(11个)
本例变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)
例4 下列命题正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.
答案:C
点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.
变式训练
1.判断:
(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)
(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)
2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆
答案:D
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个点 B.两个点
C.一个圆 D.一条线段
答案:B
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.
2.||,||,这两个向量的长度相等,但它们不等.
点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.
3.||=2,||=2.5,||=3,||=2.
点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.
4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.
点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.
课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.
作业
课本习题2.1 1、2.
设计感想
本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.
作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.
第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．
1．向量：既有________，又有________的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．
3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．
(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量a平行于b，记作________．
②规定：零向量与__________平行．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列条件中能得到a＝b的是( )
A．|a|＝|b|
B．a与b的方向相同
C．a＝0，b为任意向量
D．a＝0且b＝0
3．下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )
A．总成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
5．下列各命题中，正确的命题为( )
A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B．模为0的向量与任一向量平行
C．向量就是有向线段
D．|a|＝|b|?a＝b
6．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
8．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①__________；②____________；③____________.
10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．
三、解答题
11. 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
12. 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
能力提升
13. 如图，已知＝＝.
求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
14. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．
2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
答案
知识梳理
1．大小 方向 2.
3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量
作业设计
1．D 2.D
3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]
4．C [当b＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]
5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]
6．C [向量∥包含所在的直线平行于所在的直线和所在的直线与所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错．]
7．①③④
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
8．菱形
解析 ∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线
10.，，
解析 ∵E、F分别为△ABC对应边的中点，
∴EF∥BC，
∴符合条件的向量为，，.
11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
12．解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：与.
13．证明 (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.
14．解 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
