课件25张PPT。2. 2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学过程：
一、设置情景：
复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使， ，
则(+) +=，+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
课前预习学案
预习目标：
通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。
预习内容：
复习：提问向量的定义以及有关概念。
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和： 。
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和： 。
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： 。
（4）船速为，水速为，则两速度和：
。
3、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
学习过程：
１、向量的加法： 叫做向量的加法.
２、三角形法则（“ ”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： 。
探究：（1）两相向量的和仍是 ；
（2）当向量与不共线时，+的方向 ，且|+| ||+||；
（3）当与同向时，则+、、 且|+| ||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+| ||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b| ||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例1、已知向量、，求作向量+
作法：
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
５．向量加法的结合律：
证：
6、应用举例：
例二（P94—95）
练习：P95
课后练习与提高
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
参考答案：略
课件33张PPT。§2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.明目标、知重点如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取
一点A，作 则向量 叫做a与b
的和(或和向量)，记作 ，即a＋b＝ ＝ .上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝ ＋ ＝ .1.向量的加法法则
(1)三角形法则a＋b填要点·记疑点0aa(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作 则O、A、B三点不共线，以 ， 为邻边作
，则以O为起点的对角线上的向量 ＝
a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形
法则.
2.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝ .
(2)结合律：(a＋b)＋c＝ .OAOB平行四边形b＋aa＋(b＋c)探要点·究所然情境导学两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究点一 向量加法的三角形法则导引 两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：思考1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？
答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.思考2 当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？
答 (1)当a与b同向时：(2)当a与b反向时：思考3 |a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
答 当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.探究点二 向量加法的平行四边形法则思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？
答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.思考2 实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？
答 向量的加法满足交换律， 根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.
向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).思考3 向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？
答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.例1 如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.反思与感悟 已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图.跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.0探究点三 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时
非常有效.例如，在正六边形ABCDEF中，0例2 化简：反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.当堂测·查疑缺 12341.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )1234故选D.答案 D12342.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：012343.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 等于( )D1234呈重点、现规律1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.第18课时向量加法运算及其几何意义
课时目标
1.理解向量加法定义，掌握加法运算的三角形、平行四边形法则．
2．理解向量加法运算及其几何意义．
识记强化
1．已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫a与b的和向量，记作＝a＋b，如图．(三角形法则)
2．以A为起点，作向量＝a，＝b，以、为邻边作?ABCD，以A为起点的对角线就是a与b的和，记a＋b＝.(平行四边形法则)
3．向量加法满足：(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
课时作业
一、选择题
1．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则()
A.＋＝0B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
答案：B
解析：因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，则＋＝0.
2．在四边形ABCD中，＝＋，则()
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
答案：D
解析：由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形．
3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝()
A．0 B.
C. D.
答案：D
解析：＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋等于()
A．a B．b
C．0 D．a＋b
答案：B
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是()
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
答案：A
解析：∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．若向量a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，()
A．a∥b且a与b方向相同
B．a，b是共线向量，且方向相反
C．a＋b＝0
D．无论什么关系都可以
答案：A
解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同．
二、填空题
7．已知||＝3，||＝3，∠AOB＝90°，则|＋|＝________.
答案：3
解析：∵||＝||，且∠AOB＝90°，∴|＋|是以，为两邻边的正方形的对角线长，∴|＋|＝3.
8．若a＝“向东走8公里”，b＝“向北走8公里”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案：8北偏东45°(或东北方向)
解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b为邻边的正方形的对角线长，所以|a＋b|＝8，a＋b与b的夹角为45°，所以a＋b的方向是北偏东45°.
9．若G为△ABC的重心，则＋＋＝________.
答案：0
解析：延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，则由重心性质知D为GE中点，又为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．
∴＝＋.又＝－，∴＋＋＝0.
三、解答题
10.
已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12N，求F1和F2的合力．
解：
如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力
F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，|F1|＝24，||＝12，
∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°.
∴||＝12 .
∴F1与F2的合力为12 N，与F2成90°角竖直向上．
11.
如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
因为和大小相等、方向相反，
所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
能力提升
12．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选C.
13．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速．
解：设表示垂直于对岸的速度，表示水流速度，则为实际速度．
航行时间为4 km÷2 km/h＝2 h.
在△ABC中，||＝2，||＝4，||＝2 ，因此河水的速度为2 km/h.
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
整体设计
教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.
三维目标
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.
重点难点
教学重点:向量加法的运算及其几何意义.
教学难点:对向量加法法则定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.
思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？
②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?
图1
活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移、的结果,与A点直接到C点的位移结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:
图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.
图2
改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.
合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.
数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.
讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
图3
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
2°向量加法的平行四边形法则
图4
如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法的物理模型.
提出问题
①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？
②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？
③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?
活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.
④如图5,作=a,=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则=b,=a.
因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.
如图6,因为=+=(+)+=(a+b)+c,
==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
图5 图6
应用示例
思路1
例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.
活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.
图7 图8 图9
解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作=a,=b,则=a+b.
作法二:在平面内任取一点O(如图9),作=a,=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则=a+b.
变式训练
化简:(1)+;(2)++;(3)++++.
活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.
解:(1)+=+=.
(2)++=++=(+)+=+=0.
(3)++++FA=++++
=+++=++=+=0.
点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
图10 图11
活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.
解:如图11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中,||=2,||=5,
所以||=≈5.4.
因为tan∠CAB=,由计算器得∠CAB=70°.
答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.
点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.
变式训练
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图12
活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.
证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=+,=+.
AC与BD互相平分,=,=,=,
因此∥且||=||,
即四边形ABCD是平行四边形.
点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或=即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.
思路2
例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)+;(2)+;(3)+.
活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.
图13
解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,
故+=.
(2)因=,
故+与方向相同,长度为的长度的2倍,
故+=.
(3)因=,
故+=+=0.
点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
活动:
如图14,渡船的实际速度、船速与水速应
满足+=.
图14
解:设表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,就是船的速度.
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.
答:渡船的航向为北偏西30°.
点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.
变式训练
已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?
活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.
图15
解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且+++=0,过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,
设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形,
设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.
∵+++=0,+=+=,+=+=,
∴+=0,
即与的长度相等,方向相反.
∴M、O、N三点共线,
即点O在AD与BC的中点连线上.
同理,点O也在AB与DC的中点连线上.
∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略).
2.直接在教科书上据原图作(此处从略).
3.(1)；(2).
点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向.
4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.
点评:通过填空,使学生得出首尾相接的几个向量的求和规律.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.
作业
如图16所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.
图16
解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE.
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴=,=.
于是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b+c|=2||=8.
点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:
(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.
设计感想
1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.
2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.
§2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．
1．向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______________.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.
一、选择题
1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示( )
A．向东南航行 km B．向东南航行2 km
C．向东北航行 km D．向东北航行2 km
2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
3．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B.
C. D.
6. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
10. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________.
三、解答题
11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．
能力提升
13．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
14．在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
§2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
答案
知识梳理
1．(1) a＋b 0 a a (2)OA OB 平行四边形
2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．A 2.C 3.D 4.A
5．C [＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]
6．B [|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.]
7．0
解析 注意＋＝0，＋＝0.
8．2
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
9．8
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
10．(1) (2)0 (3) (4)
11．解
如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5 (km/h)．
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5 (km/h)，||＝＝10 (km/h)，
∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.
12．证明 ＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
13．0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
14．解
如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4 ，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8 ，∠BAD＝120°.
即船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.
