课件20张PPT。2. 2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，CB+BA+BC= .
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .
提出课题：向量的减法
用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 -a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = -b， b =-a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b
求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b
则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1(表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2(用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
探究：
如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b - a.
２）若a∥b， 如何作出a - b ？
例题：
例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.
解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d，
作， ， 则= a-b， = c-d
例2、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得：
= a + b， = = a-b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：Ｐ98
小结：向量减法的定义、作图法|
作业：P103第4、５题
板书设计（略）
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
课前预习学案
预习目标：
复习回顾向量的加法法则及其运算律，为本节新授内容做好铺垫。
预习内容：
向量加法的法则： 。
向量加法的运算定律： 。
例：在四边形中，CB+BA+BC= .
解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .
提出疑惑：向量有加法运算，那么它有减法吗？
课内探究学案
学习目标：
1、 了解相反向量的概念；
2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
学习过程：
一、提出课题：向量的减法
用“相反向量”定义向量的减法
“相反向量”的定义： 。
规定：零向量的相反向量仍是 .-(-a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是 .a + (-a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义： .
即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作 。
求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：
注意：1(表示a -b.强调：差向量“箭头”指向
2(用“相反向量”定义法作差向量，a -b = 。 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
探究：
如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是 。
２）若a∥b， 如何作出a - b ？
二、例题：
例1、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.
例2、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a(b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a(b|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与a(b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
课后练习与提高
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：?
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
参考答案：
1、D 2、D 3、f,e,f,0 4、略
课件32张PPT。§2.2 平面向量的线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算.明目标、知重点1.我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作 ，并且有a＋(－a)＝ .
2.向量减法的定义：若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的 ，记为 ，求两个向量差的运算，叫做 .－a填要点·记疑点0差a－b向量的减法平行四边形ABCDba探要点·究所然情境导学上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题.探究点一 向量的减法思考1 a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
答 与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0，
－a的相反向量是a即－(－a)＝a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？
答 向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考3 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b, c，若a＋c＝b，则c等于什么？
答 a＋c＝b?c＝b－a.(4)a＋(－a)＝0；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝－b，
b＝－a，a＋b＝0.探究点二 向量减法的法则思考1 由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a与b的差
向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量.已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？答 利用平行四边形法则.思考2 向量减法的三角形法则是什么？
答 当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：
①连接两个向量(a与b)的终点；
②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.思考3 请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？答 利用三角形法则.等式成立.移项法则对向量等式适用.例1 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作
向量a－b，c－d.
反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.解 延长AC到Q.使CQ＝AC，则m－p＋n－q－r例2 化简下列式子：反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.探究点三 |a－b|与|a|、|b|之间的关系思考1 若a与b共线，怎样作出a－b?
答 ①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：思考2 通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？
答 当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；
当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.同样，由向量的减法，知反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.跟踪训练3 如图所示，O是平行四边形ABCD的对
角线AC、BD的交点，设
试用a，b，c表示向量当堂测·查疑缺 1234A12342.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )C12340123413呈重点、现规律1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，
就可以把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.第19课时向量减法运算及其几何意义
课时目标
1.理解向量减法的定义，掌握相反向量概念．
2．掌握向量减法运算的几何意义，能作出两个向量的差向量．
识记强化
1．定义：a－b＝a＋(－b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2．几何意义：以A为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b.如图所示.
课时作业
一、选择题
1．下列运算中正确的是()
A.－＝B.－＝
C.－＝ D.－＝0
答案：C
解析：根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
2．在四边形ABCD中，＝，|＋|＝|－|，则四边形ABCD必为()
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案：B
解析：矩形的对角线相等．
3．已知||＝8，||＝5，则||的取值范围为()
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
答案：C
解析：因＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，＝8＋5＝13；而当，不平行时，3＜||＜13.
4．下列说法正确的是()
A．两个方向相同的向量之差等于0
B．两个相等向量之差等于0
C．两个相反向量之差等于0
D．两个平行向量之差等于0
答案：B
解析：根据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于0，其他选项都是不正确的．
5．化简以下各式：
(1)＋＋；
(2)－＋－；
(3)－＋；
(4)＋＋－
则等于0的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
解析：对于(1)：＋＋＝0；
对于(2)：－＋－＝(＋)－(＋)＝0；
对于(3)：－＋＝(＋)－＝－＝0；
对于(4)：＋＋－＝(＋＋)－＝0.
6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为()
A．1 B．2
C. D.
答案：D
解析：延长CB至D，使BC＝BD＝1.则－＝，故|－|＝|＋|＝||.
二、填空题
7．小王从宿舍要到东边100米的教室去，但他先到宿舍西边50米的收发室拿了一个包裹，这时他需要向________边走________米才能到教室．
答案：东150
解析：以向东为正方向，则100－(－50)＝150，所以他要向东走150米才能到教室．
8．对于向量a，b当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
9．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为________．
答案：a－b＋c
解析：＝－＝＋－＝a＋c－b.
三、解答题
10.
如图所示四边形ABCD为平行四边形，设＝a，＝b.
(1)求当a与b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|；
(2)求当a与b满足什么条件时，四边形ABCD为菱形，正方形．
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴|a＋b|＝|＋|＝||，|a－b|＝|－|＝||，又|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴?ABCD的对角线长相等，
∴?ABCD为矩形，
∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(2)欲使ABCD为菱形，需|a|＝|b|，
当|a|＝|b|，且a与b垂直时，平行四边形为正方形．
11．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模．
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
解：(1)如图，由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2 .
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
能力提升
12．下列各式中不能化简为的是()
A．(－)－
B.－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
答案：D
解析：因为(－)－＝＋＋＝＋＝；－(＋)＝－0＝；－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；－－＋＝＋＋＝＋2.
13．探究不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的等号成立的条件．
解：若向量a、b至少有一个零向量，不等式两端的等号都成立．
若向量a、b皆为非零向量，则当向量a、b反向时，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的右端等号成立；
当向量a、b同向时，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的左端等号成立．
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
整体设计
教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
三维目标
1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.
2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.
重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
推进新课
新知探究
提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?
引导学生思考,相反向量有哪些性质?
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.
又b+=a,所以=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
图2
(2)三角形法则
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?
讨论结果:①=b-a.
②略.
应用示例
如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.
图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则=a-b,=c-d.
变式训练
(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.= B.AD+= C.-AD=BD D.AD+=0
分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确.
答案:C
例2 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、吗?
图4
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,
同样,由向量的减法,知=-=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )
A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c
图5
解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若=a+b,=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图6
解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
=a+b,=-=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)?
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
例3 判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例4 若||=8,||=5,则||的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)
解析:=-.
(1)当、同向时,||=8-5=3;
(2)当、反向时,||=8+5=13;
(3)当、不共线时,3<||<13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,
(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,
另一方面a+b=+=.
由于与是一对相反向量,
∴有+=0,
故有a+b+c=0.
(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0.
∴c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
知能训练
课本本节练习
解答:
1.直接在课本上据原图作(这里从略).
2.,,,,.
点评:解题中可以将减法变成加法运算,如-=+=,这样计算比较简便.
3.图略.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.
作业
课本习题2.2 A组6、7、8.
设计感想
1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.
2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________.
一、选择题
1. 在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
2．化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
4．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A. ＝0 B. ＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形
5．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
8．化简(－)－(－)的结果是________．
9. 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．
10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.
三、解答题
11. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
12. 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，
(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
能力提升
13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量＝a、＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
答案
知识梳理
(1)相反向量 (2) (3)始点 终点
作业设计
1．A 2.B 3.B
4．C [＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．]
5．C [∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||.
∴3≤|－|≤13.
∴3≤||≤13.]
6．D [
如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋
＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.]
7.
8．0
解析 方法一 (－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二 (－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
9．a－b＋c
解析 ＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
10．4
解析 如图所示．
设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则|O|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.
故|O|2＋|O|2＝|B|2，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，所以?OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，
即|a＋b|＝4.
11．证明 方法一 ∵b＋c＝＋＝＋＝，
＋a＝＋＝，
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
方法二 ∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
12．解 (1)由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
13．解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，
＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
14．证明 作直径BD，连接DA、DC，则＝－，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
∴CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形．
∴＝，
又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.
