2. 2.3向量数乘运算及其几何意义
一、教学内容分析
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
二、教学目标设计
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
三、教学重点与难点
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
四、教学用具准备
多媒体、实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
1．设置情境：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反。
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
2．探索研究
1）定义：
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：
（1）.
（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.
2）运算律：
问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生：，.
师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）； （2）； （3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
3）向量平行的充要条件：
请同学们观察，，回答、有何关系？
生：因为，所以、是平行向量.
引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反.
师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．
解：∵
∴与平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.
思考：如何用来表示？ （）
3．例题与练习：
题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：
用、表示； （2）用、表示.
题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：
题3：如图，已知，，，求证：∽
练习：
P145 1、2、3、4
4．课堂小结：
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
5．作业布置：
练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5.
P89习题3 B组 2、3.
6．拓展思考题：
设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。
七、教学建议与说明
1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系，位移与速度的关系等实际问题引入实数与向量的积。
2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。
3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
课前预习学案
预习目标：
通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。
预习内容：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）
课内探究学案
学习目标：
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
学习过程：
1、探索研究
1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）
可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。
实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：
（1） .
（2） .
2）运算律：
问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生： .
师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）； （2）； （3）.
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
小练习1：
计算：（1）； （2）；
（3）.
3）向量平行的充要条件：
请同学们观察，，回答、有何关系？
生： .
引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？
生： .
师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.
对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．
解：∵
∴与平行.
4）单位向量：
单位向量：模为1的向量.
向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.
思考：如何用来表示？
2．例题与练习：
题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：
用、表示； （2）用、表示.
题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：
题3：如图，已知，，，求证：∽
练习：
P145 1、2、3、4
3．课堂小结：
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
4．作业布置：
练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5.
P89习题3 B组 2、3.
5．拓展思考题：
设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。
课件23张PPT。课件39张PPT。§2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.明目标、知重点1.向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ .向量填要点·记疑点(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝ 或λ0＝ .数乘λa|λ||a|λ>0λ<0002.向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，有(－λ)a＝ ＝ ；
λ(a－b)＝ .(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb3.共线向量定理：向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 .
4.向量的线性运算：向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .b＝λa加减数乘λμ1a±λμ2b探要点·究所然情境导学引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系.师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生： a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反.
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题.探究点一 向量数乘运算的物理背景思考1 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？答∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答 ＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？
答 λa仍然是一个向量.
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa ＝0.方向任意.探究点二 向量数乘的运算律思考1 根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？
答 设λ，μ∈R，则有
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？
答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).
如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；
如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，
|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，
故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向.
因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.例1 计算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).
解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思与感悟 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.跟踪训练1 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.思考1 请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？
答 因为b＝－2a，所以a、b是平行向量.
思考2 若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？为什么？
答 可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反.探究点三 共线向量定理及应用?例2 已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解 若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，所以λ不存在，
所以a与b不共线.反思与感悟 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.跟踪训练2 已知非零向量e1，e2不共线.(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，探究点四 三点共线的判定令1－λ＝α，λ＝β，则观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.＝10e1＋15e2.当堂测·查疑缺 12341.化简：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；解 原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.12341234123412344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，1234故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.呈重点、现规律?更多精彩内容请登录http://www.91taoke.com谢谢观看第20课时向量的数乘运算及其几何意义
课时目标
1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义．
2．掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算．
识记强化
1．向量数乘的运算律
(1)λ(μ)a＝μ(λa)；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.
课时作业
一、选择题
1．已知λ∈R，则下列命题正确的是()
A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
答案：C
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则()
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线
D．A，C，D三点共线
答案：A
解析：＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴A，B，D三点共线．
3．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝()
A．－＋
B．－－
C.－
D.＋
答案：A
解析：＝＋＝－＋.
4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()
A. B．－
C．－ D.
答案：C
解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝()
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
6．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，∴x＝，y＝.
二、填空题
7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
答案：
解析：由已知得，解得x＝y＝.
8．下面三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．
正确命题的序号为：________.
答案：③
解析：①a与b所在直线有可能在一条直线上；②若b＝0，λb＝0，∴λ可取任意实数；③正确．
9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
答案：
解析：由条件＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝.
三、解答题
10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．
(1)求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．
解：(1)证明：＝＋＝5e1＋5e2＝5，
∴∥，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴，∴k2＝1，∴k＝±1.
11.
如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
能力提升
12．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在()
A．△ABC的内部
B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上
D．BC边所在直线上
答案：B
解析：由＝λ＋，得－＝λ，∴＝，则与为共线向量又有一个公共点P，
∴C、P、A三点共线即P点在直线AC上．
13．如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.①
∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
由①②得＝，
而，不共线，
∴，解得，
∴＋＝3，即＋是定值．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
整体设计
教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.
三维目标
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.
思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?
③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.
对问题①,学生通过作图1可发现,=++=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,
图1
==(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.
对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,λ=0时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.
讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
应用示例
思路1
例1 计算:
(1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a;
(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;
(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;
(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:因3m+2n=a, ①
m-3n=b. ②
3×②得3m-9n=3b. ③
①-③得11n=a-3b.
∴n=a-b. ④
将④代入②,有m=b+3n=a+b.
点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
图2
例2 如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
图3
解:如图3分别作向量、过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,
而=-=a+3b-(a+b)=2b,
于是=2.
所以A、B、C三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.
例3 如图4, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗?
图4
活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在ABCD中,
∵=+=a+b,=-=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴==(a+b)=a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
==-=-a+b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1 凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=(+).
活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
图5
解:方法一:过点C在平面内作=,
则四边形ABGC是平行四边形,
故F为AG中点.(如图5)
∴EF是△ADG的中位线.
∴EFDG.
∴=.
而=+=+,
∴=(+).
方法二:如图6,连接EB、EC,则有=+,=+,
图6
又∵E是AD之中点,
∴有+=0,
即有+=+.
以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.
∴==(+)=(+).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.
例2 已知和是不共线向量=t(t∈R),试用、表示.
活动:教师引导学生思考,由=t(t∈R)知A、B、P三点共线,而=+,然后以表示,进而建立,的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.
解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则=m·+n·,m+n=1.
变式训练
1.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d与c共线.
2.(2007浙江高考),7 若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
答案:C
3.(2007全国高考),5 在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A. B. C.- D.-
答案:A
知能训练
本节练习
解答:
1.图略.
2.=,=.
点评:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.值得注意的是与反向.
3.(1)b=2a;(2)b=a;(3)b=-a;(4)b=a.
4.(1)共线;(2)共线.
5.(1)3a-2a;(2)a+a;(3)2ya.
6.图略.
课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.
作业
课本习题2.2 A组题11、12.
设计感想
1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地0·a=0),它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小,当λ>0时,λa与a方向相同,当λ<0时,λa与a方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探究的结果进行运用拓展.
2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝__________.
(2)λa (a≠0)的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝____________.
(3)λ(a＋b)＝____________.
特别地，有(－λ)a＝____________＝________；
λ(a－b)＝____________.
3．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．
4．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝__________________.
一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于( )
A．0 B. C. D．3
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于( )
A．8 B．4 C．2 D．1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.
8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
9. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号)
①－＋
②－－
③－
④＋
10. 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)
三、解答题
11．两个非零向量a、b不共线．
(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
12. 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)
能力提升
13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0
2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb
3．b＝λa
4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b
作业设计
1．D [当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．]
2．C [∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．]
3．D [＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．]
4．B [∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.]
5．C [∵＝＋＝4，
∴＝3.
∴＝－＝＋－
＝＋－
＝＋(－)－
＝－
∴r＝，s＝－，r－s＝.]
6．C [∵2＝16，
∴||＝4.又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4.
∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.]
7.a－b＋c
8．1
解析 ∵A，B，C三点共线，∴?λ∈R使＝λ.
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
9．①
解析 －＋＝＋＝＋＝.
10.(b－a)
解析 ＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
11．(1)证明 ∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，∴A、B、D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴?k＝±.
12．证明 设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．B [为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
14．B [
如图所示，
∵E是OD的中点，
∴＝＝b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝.
∴＝3，∴＝.
在△AOE中，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.]
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________________.
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
2．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,0) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则－的坐标是________．
8．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
9．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________.
10．函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图象的解析式为y＝x2，则向量a的坐标是________．
三、解答题
11．已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
12．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
能力提升
13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于( )
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
14．函数y＝cos－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于( )
A. B.
C. D.
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
答案
知识梳理
1．(1)互相垂直 (2)单位向量 xi＋yj 有序数对(x，y) a＝(x，y) (3)(x，y) (x2－x1，y2－y1)
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (2)(x1－x2，y1－y2) (3)(λx，λy)
作业设计
1．D 2.D
3．D [由解得]
4．C [设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，
∴x＝－1，y＝－.]
5．B [∵＝＋，
∴＝－＝(－1，－1)．
∴＝－＝(－3，－5)．]
6．D [设D(x，y)，由＝，
∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．
∴x＝7，y＝－6.]
7．(－3,6)
8.
解析 ∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴ 解得
∴x＋y＝.
9．－1
解析 ∵A(1,2)，B(3,2)，∴＝(2,0)．
又∵a＝，它们的坐标一定相等．
∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．
∴
∴x＝－1.
10．(1，－1)
解析 函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y＝x2的顶点坐标为(0,0)，则a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．
11．解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
12．解 (1)当平行四边形为ABCD时，＝，
设点D的坐标为(x，y)．
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴ ∴ ∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．
综上可知点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
13．A [设a＝(x，y)，则
P＝，
∴集合P是直线x＝1上的点的集合．
同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，
即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}．
∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.]
14．B [函数y＝cos－2按向量a＝(m，n)平移后得到y′＝cos＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－时适合．]
