课件21张PPT。2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示
教学目标：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………○2
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即，同理可得
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
=(=( x2， y2) ( (x1，y1)= (x2( x1， y2( y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A((2， 1)， B((1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=((6， 0)
例4已知三个力 (3， 4)， (2， (5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， (5)+(x， y)=(0， 0)
即： ∴ ∴((5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则(2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
课前预习学案
复习回顾：
平面向量基本定理：
理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;
(2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、提出疑惑：
如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？
课内探究学案
一、探究学习
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做 ，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做 与相等的向量的坐标也为.
特别地，i= , j= , 0= .
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则= ，= .
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即= ，同理可得= .
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
=(=( x2， y2) ( (x1，y1)= .
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
二、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A((2， 1)， B((1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例4已知三个力 (3， 4)， (2， (5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
三、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则(2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
课后练习与提高
1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则=_______________，=__________________。
2、已知向量,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则的坐标为_____________。
3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知向量则与的关系是（ ）
A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向
5、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。
2. 3.3平面向量的坐标运算
【教学目标】
1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点:?平面向量的坐标运算．
教学难点:? 对平面向量坐标运算的理解．
【教学过程】
一、〖创设情境〗
以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。
二、〖新知探究〗
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1, y1) =(x2, y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
－＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λ＝λx1i＋λy1j.
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
＋＝(x1＋x2，y1＋y2);
－＝(x1－x2，y1－y2);
λ＝(λx1，λy1).
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量的坐标如何？
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？
结论：
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.
三、〖典型例题〗
例1 已知=(2,1), =(－3,4),求 ＋，－，3＋4的坐标.
解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
－＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19).
点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。
变式训练1：已知，，求，的坐标；
例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。
解：设点D的坐标为（x,y）,
即 3- x=1,4-y=2
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）.
另解：由平行四边形法则可得
所以顶点D的坐标为（2，2）
点评：考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
变式训练2：已知平面上三点的坐标分别为A((2, 1), B((1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
四、〖课堂小结〗
本节课主要学习了平面向量的坐标运算法则：
（1）两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；
（2）两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；
（3）实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；
五、〖反馈测评〗
1.下列说法正确的有（ ）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知点，及，，，求点、、的坐标。
〖板书设计〗
【作业布置】课本101页1---3T
2.3.3平面向量的坐标运算
课前预习学案
一、预习目标：通过预习会初步的进行向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算
二、预习内容：
1、知识回顾：平面向量坐标表示
2.平面向量的坐标运算法则：
若=(x1, y1) ，=(x2, y2)则＋＝____________________,
－＝________________________,λ＝_____________________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联系，培养学生辨证思维能力.
二、学习内容
1. 平面向量的坐标运算法则：
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若=(x1, y1) ，=(x2, y2)，则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量的坐标如何？
平面向量的坐标运算法则：
（1）两向量和的坐标等于_______________________；
（2）两向量差的坐标等于_______________________；
（3）实数与向量积的坐标等于__________________________；
思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？
2．典型例题
例1 ：已知=(2,1), =(－3,4),求 ＋，－，3＋4的坐标.
例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
三、反思总结
（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（2）要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
四、当堂检测
1.下列说法正确的有（ ）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知点，及，，，求点、、的坐标。
课后练习与提高
1．已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量 ， ，且2，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3 已知，，若与平行，则等于（ ）．
A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2
4.已知，，则的坐标为____________.
5.已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，则λ为_______时，点P在一、三象限角平分线上.
6 . 已知，，，，则以，为基底，求.
课件33张PPT。§2.2 平面向量的线性运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.明目标、知重点1.平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝ ，则 叫做向量a的坐标， 叫做向量a的坐标表示.互相垂直填要点·记疑点单位向量xi＋yj有序数对(x，y)a＝(x，y)2.平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(x，y)(x2－x1，y2－y1)(x1＋x2，y1＋y2)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝ ，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)探要点·究所然情境导学我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一 平面向量的坐标表示思考1 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，
叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂
直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，
以向量i、j为基底，向量a如何表示？小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).思考3 在平面直角坐标系中，作向量 ＝a，若 ＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量
a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边
长是1.答 A(x，y)；
a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，
d＝(3，－3).探究点二 平面向量的坐标运算思考1 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.思考2 根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算.
答 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);
a－b＝(x1－x2，y1－y2);
λa＝(λx1，λy1).
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？答 ＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标.
解 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，
a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，
3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)
＝(－6,19). 反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a.
解 设a＝λb＋μc (λ，μ∈R).
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).解 由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得
＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).∴点M的坐标为(－11，－15).反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.
解 不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15).
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于( )
A.(－2,1) B.(2，－1)
C.(2,0) D.(4,3)
解析 b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.当堂测·查疑缺 1234B1234A12341234答案 A12344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.7呈重点、现规律1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.
3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.第22课时平面向量的正交分解与坐标运算
课时目标
1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．
2．理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则、熟练进行向量的坐标运算．
识记强化
1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y使a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
3．平面向量的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)．
(3)若A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，则＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
课时作业
一、选择题
1．已知i, j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单位向量，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a位于()
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：因为a＝(x2＋x＋1，－x2＋x－1)，
x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，
－x2＋x－1＝－2－＜0，
故a位于第四象限．
2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b的坐标是()
A．(7,1) B．(－7，－1)
C．(－7,1) D．(7，－1)
答案：B
解析：∵a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，
∴－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)．
3．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝()
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案：D
解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(2,4) B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案：C
解析：＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．若＝(1,1)，＝(0,1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝()
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：A
解析：＋＝＝－＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.
6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案：D
解析：由题意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0?d＝(－2，－6)，故选D.
二、填空题
7．已知向量＝(－1,2)，＝(3，－1)，则向量的坐标为________．
答案：(4，－3)
解析：＝－＝(3，－1)－(－1,2)＝(4，－3)．
8．若a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝________.
答案：(3,4)
解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．
9．平面上有A(－2,1)、B(1,4)、D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连结DC并延长，取点E使＝，则点E的坐标为________．
答案：(－8，－)
解析：设C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)．
即解得
即C(－5，－2)．又E在DC延长线上，
∴＝，设E(a，b)，
则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)
解之得a＝－8，b＝－.∴E(－8，－)．
三、解答题
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，＝＋t.求：t分别为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
解：由题意，＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，只需2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，只需1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第二象限，只需
∴－11．已知A(8，－1)、B(2,5)，点C是直线AB上一点，且＝－5，求点C的坐标和的坐标．
解：设C(x，y)，则＝(x－8，y＋1)，＝(x－2，y－5)．
∵＝－5.
∴(x－8，y＋1)＝－5(x－2，y－5)，即
，得.∴C(3,4)．
＝(3,4)－(8，－1)＝(－5,5)．
能力提升
12．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为()
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
答案：C
解析：由题意，知点G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故C(4，－2)．
13．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M、N的坐标及向量的坐标．
解：(1)a＝＝(5，－5)b＝＝(－6，－3)
c＝＝(1,8)
3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)
(2)a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n)＝(－6m＋n，－3m＋8n)
解得m＝－1，n＝－1.
(3)设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)
x＋3＝3，x＝0，y＋4＝24，y＝20.M(0,20)．同理N(9,2)∴＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
