课件18张PPT。2. 3.4平面向量共线的坐标表示
【教学目标】
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点：?向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．
教学难点：?定比分点的理解和应用．
【教学过程】
一、〖创设情境〗
前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。
二、〖新知探究〗
思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？
设=(x1, y1) =(x2, y2)（ (） 其中(
由=λ ， (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ：x1y2－x2y1=0
结论：∥ (()x1y2-x2y1=0
注意：1(消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵(，
∴x2, y2中至少有一个不为0.
2(充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0.
3(从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ (()
三、〖典型例题〗
例1. 已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．
点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.
变式训练1：已知平面向量 ， ，且，则等于_________.
例2: 已知，，，求证:、、三点共线．
证明：，，
又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。
点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.
变式训练2：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________.
例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）＝
所以，点P的坐标为
（2）当时，可求得：点的坐标为：
当时，可求得：点的坐标为：
点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
变式训练3：当时,点P的坐标是什么？
四、〖课堂小结〗
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
五、〖反馈测评〗
1.已知=+5，=－2+8，=3（－），则（ ）
A. A、B、D三点共线 B .A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线
2.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________.
3．设，，，且，求角．
【板书设计】
【作业布置】课本 P108 4、5、6、7
2.3.4平面向量共线的坐标表示
课前预习学案
一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算.
二、预习内容：
1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________.
2.平面向量共线的坐标表示：
设=(x1, y1) =(x2, y2)（ (） 其中(，
则∥ (()_____________________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
二、学习内容
1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？
设=(x1, y1), =(x2, y2)（ (） 其中(
由=λ ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:
__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量与共线.
2.典型例题
例1 已知，，且，求．
例2: 已知，，，求证、、三点共线．
例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
三、反思总结
1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?
2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?
3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?
四、当堂检测
1.已知=+5，=－2+8，=3（－），则（ ）
A. A、B、D三点共线 B .A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线
2.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________.
3．设，，，且，求角．
课后练习与提高
1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）?
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，则y= .
5.已知=(1，2)，=(x，1)，若+2与2-平行，则x的值为
6.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
课件32张PPT。§2.2 平面向量的线性运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的判断方法.明目标、知重点1.两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当a∥b时，有 .
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有 即两向量的相应坐标成比例.x1y2－x2y1＝0填要点·记疑点2.若 则P与P1、P2三点共线.
当λ∈ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈ 时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈ 时，P位于线段P1P2的反向延长线上.(0，＋∞)(－∞，－1)(－1,0)探要点·究所然情境导学前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b＝λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示.探究点一 平面向量共线的坐标表示思考1 a与非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？
答 向量a，b共线(其中b≠0)?x1y2－x2y1＝0思考2 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请写出证明过程.
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0.
∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，
即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，思考3 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？
答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等.例1 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，例2 已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.∵直线AB、AC有公共点A，
∴A、B、C三点共线.反思与感悟 利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的，而利用共线向量更加简捷.跟踪训练2 已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值.即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).即m＝6时，A，B，C三点共线.思考1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标.
答 如图所示，∵P为P1P2的中点，探究点二 共线向量与中点坐标公式思考2 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2).点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标.
答 点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：思考3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).求△ABC的重心G的坐标.
答 延长AG交BC于点D，
∵G为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴P点坐标为(－5,8).反思与感悟 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2 (λ>0).当堂测·查疑缺 12341.下列各组的两个向量共线的是( )
A.a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B.a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C.a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D.a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)D12342.已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A.1 B.－1
C.4 D.－4解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.D1234D1234?呈重点、现规律?2.向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.第23课时平面向量共线的坐标表示
课时目标
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
识记强化
两向量平行的条件
(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b?a1b2－a2b1＝0.
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)且(b1b2≠0)，则a∥b?＝，即两条向量平行的条件是相应坐标成比例．
课时作业
一、选择题
1．若三点A(1,1)、B(2，－4)、C(x，－9)共线，则()
A．x＝－1B．x＝3
C．x＝ D．x＝5
答案：B
解析：因为A、B、C三点共线，所以与共线．
＝(1，－5)，＝(x－2，－5)，所以(x－2)·
(－5)＋5＝0.所以x＝3.
2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()
A．－ B.
C. D．－
答案：C
解析：根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
3．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()
A．－3 B．2
C．4 D．－6
答案：D
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
4．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)两向量方向相反，则x＝()
A．－5 B．5
C．－1 D．1
答案：A
解析：由两向量共线可得x2－25＝0∴x＝±5，
又两向量方向相反，∴x＝－5.
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为()
A. B．2
C．－ D．－2
答案：D
解析：根据题意，得ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.
6．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－)且a∥b，则锐角θ等于()
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
答案：A
解析：由向量共线条件得－2×(－)－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即cos2θ＝.所以θ＝45°.
二、填空题
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
答案：1
解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.
8．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
答案：1
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，若m∥n，则λ＝________.
答案：－
解析：m＝(4＋λ，3－2λ)，n＝(7,8)，
由(4＋λ，3－2λ)，k(7,8)，得λ＝－.
三、解答题
10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)．
由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以，解得.
所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，
所以k＝－.
11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，
∴3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
(3)由a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.
能力提升
12．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则等于()
A. B．2
C．－ D．－2
答案：C
解析：易知a，b不共线，则有＝，故＝－.
13．已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．
＋λ＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴∴
∴点P的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则
∴∴λ＜－1.
即当λ＜－1时，点P在第三象限内．
2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
整体设计
教学分析
1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.
2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.
3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
三维目标
1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.
2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.
重点难点
教学重点:平面向量的坐标运算.
教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？
思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?
②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?
活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
图1
a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,
即a+b=(x1+x2,y1+y2).
同理a-b=(x1-x2,y1-y2).
又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).
教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.
由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:
||=||=.
教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.
讨论结果:①能.
②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
提出问题
①如何用坐标表示两个共线向量?
②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共线的什么条件?
活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),
即消去λ后得x1y2-x2y1=0.
这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.
又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与是不等价的.因为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但均无意义.因此是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.
讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.
②充分不必要条件.
提出问题
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb,
那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,
由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.
讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.
教师应向学生特别提醒感悟:
1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°充要条件不能写成(∵x1、x2有可能为0).
3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)
应用示例
思路1
例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.
解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);
a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.
变式训练
1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab等于( )
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)
答案:D
2.(2007全国高考,3) 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b…( )
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
答案:A
图2
例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.
活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.
解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).
∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴
∴
∴顶点D的坐标为(2,2).
方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知
=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.
变式训练
图3
如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);
当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);
当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).
例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.
活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.
解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.
∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB、直线AC有公共点A,
∴A、B、C三点共线.
点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
变式训练
已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.?
解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.
∴y=3.
思路2
例2 设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当=λ时,点P的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:
由=λ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
即
这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.
图4
解:(1)如图4,由向量的线性运算可知
= (1+2)=().
所以点P的坐标是()
(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即=或=2.
如果=,那么
图5
=+=+
=+(-)
=+
=().
即点P的坐标是().
同理,如果=2,那么点P的坐标是
点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.
变式训练
在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,
设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得
∴x=-3,y=-5,
即C点坐标为(-3,-5).
(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).
综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).
例2 已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.
活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.
解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).
若点P在第二象限,则
故t的取值范围是(,).
点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.
变式训练
已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.
解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)
=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).
∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2
=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2
=2+2(sinθ-cosθ)2
=2+2(1-2sinθcosθ)
=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.
∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.
从而-1≤sin2θ≤1.
∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［,］.
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.(1)a+b=(3,6),a-b=(-7,2);(2)a+b=(1,11),a-b=(7,-5);
(3)a+b=(0,0),a-b=(4,6);(4)a+b=(3,4),a-b=(3,-4).
2.-2a+4b=(-6,-8),4a+3b=(12,5).
3.(1)=(3,4),=(-3,-4);(2)=(9,-1),=(-9,1);
(3)=(0,2),=(0,-2);(4)=(5,0),=(-5,0).
4.∥.
证明:=(1,-1),=(1,-1),所以=.所以AB∥CD.
点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.
5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).
6.(,1)或(,-1).
7.解:设P(x,y),由点P在线段AB的延长线上,且||=||,得
(x-2,y-3)=(x-4,y+3),
即解之,得
所以点P的坐标为(8,-15).
点评:本题希望通过向量方法求解,培养学生应用向量的意识.
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.
作业
课本习题2.3 A组5、6.
设计感想
1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.
2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.
3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
1．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有______________________．
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．
2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．
一、选择题
1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
3．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于( )
A．2 B. C．－2 D．－
4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
A．－1 B．－
C. D．1
6．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝________.
9．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
10．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
三、解答题
11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
12．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
能力提升
13．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
14．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________.
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
答案
知识梳理
1．(1)x1y2－x2y1＝0 (2)＝
2．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)
作业设计
1．C
2．C [∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]
3．A [∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.]
4．D [由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，
∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，
∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.
∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D.]
5．B [∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，
v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，
又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－.故选B.]
6．C [C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]
7.
解析 由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.
8．(－4，－8)
解析 由a∥b得m＝－4.
∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
9．3
解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
10．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴＝，∴λ＝2.
11．解 由已知得ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
12．解 方法一 由题意知P、B、O三点共线，又＝(4,4)．
故可设＝t＝(4t,4t)，
∴＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
又∵A、C、P三点共线，∴∥，
∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝，
∴＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵P、B、O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0.
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，
∵P、A、C三点共线，∴∥，∴6(x－4)＋2y＝0.
由 得
所以点P的坐标为(3,3)．
13．D [设点C的坐标为(x，y)，
则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)，
∴
①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，
∴x＋2y－5＝0.所以点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0.]
14．(2,3)
解析 设＝λ，则得C点坐标为.
把C点坐标代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C点坐标为(2,3)．
