课件22张PPT。2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．教学目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点
重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴·＝０；
③当与的夹角是60°时，有
·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos 的乘积。
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
·= ·
（·）= (·)
③（ + ）· =· + ·
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案
一、预习目标：
预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；
二、预习内容：
1.平面向量数量积（内积）的定义：
2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义：
5．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
1( e(= e =
2( ((( =
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
e( =(e =
3( 当与同向时，(= 当与反向时，( = 特别的(= ||2或
4( cos( =
5( |(| ≤ ||||
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义
二、学习过程
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
探究一：
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
解：
变式：
. 对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？
（2）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：
变式：（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
（三）反思总结
(四)当堂检测
1 .已知||=5， ||=4， 与的夹角θ=120o，求·.
2. 已知||=6， ||=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3)
.
3 .已知||=3， ||=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
5.已知||=1，||=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.
6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.
课后练习与提高
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件?
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+|·|-|= .
5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么·= .
6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.
课件35张PPT。§2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.明目标、知重点1.两个向量的夹角
(1)已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的
范围是 .
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ .
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .∠AOB填要点·记疑点〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b2.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ ，其中θ是a与b的夹角.
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是 ，向量b在a方向上的投影是 .|a||b|cos θ|a||b|cos θ|a|cos θ|b|cos θ3.数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.|b|cos θ探要点·究所然探究点一 平面向量数量积的含义思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位
移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的
功W是多少？ 答 W＝|F||s|cos θ.思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
答 a·b的运算结果是数量.
0·a＝0.思考3 对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
答 当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.
小结 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.?反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.?探究点二 投影?思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos θ的几何意义如何？
答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos θ的乘积.?反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决.
(2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.?探究点三 平面向量数量积的性质???反思与感悟 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.?又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°.当堂测·查疑缺 12341.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为( )
A.4 B.－4 C.2 D.－2
解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.D1234??1234C＝90°.1234答案 －25123412341234呈重点、现规律1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.?课件35张PPT。§2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.明目标、知重点1.向量的数量积(内积)
叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝ . 叫做向量a在b方向上的投影，
叫做向量b在a方向上的投影.
2.向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
(1)a·e＝e·a＝ ；
(2)a⊥b?a·b＝ 且a·b＝ ?a⊥b；|a||b|cos〈a，b〉填要点·记疑点|a||b|cos〈a，b〉|a|cos θ|b|cos θ|a|cos〈a，b〉00(3)a·a＝ 或|a|＝ ；
(4)cos〈a，b〉＝ ；
(5)|a·b| |a||b|.
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律)；
(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)；
(3)(a＋b)·c＝ (分配律).|a|2??≤b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c探要点·究所然情境导学引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来.探究点一 向量数量积运算律的提出思考1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：a·b＝b·a正确(a·b)c＝a(b·c)错误(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确a·b＝b·c(b≠0) ?a＝c错误思考2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.
答 (a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立.
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c不成立，如图所示.
显然a·b＝b·c，且a≠c.探究点二 向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).思考1 如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？
答 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，
∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，
∴a·b＝b·a.
(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考2 如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)
答 当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.
当λ>0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉
＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，
λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，
a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉；
∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
当λ<0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉
＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，
λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，
a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，
∵λ<0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，
∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考3 如何证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，
向量a＋b在向量c方向上的投影
|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝ ；
向量a在向量c方向上的投影为
|a|cos〈a，c〉＝OA1，
向量b在向量c方向上的投影为
|b|cos〈b，c〉＝OB1，
易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.图(1)0所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉.
两边乘以|c|得：
|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，
即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
当a＋b与向量c夹角为锐角时，
如图(2)所示，图(2)向量a＋b在向量c方向上的投影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；
向量a在向量c方向上的投影为
|a|cos〈a，c〉＝OA1，
向量b在c方向上的投影为
|b|cos〈b，c〉＝OB1，
∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，
∴OC1＝OA1＋OB1，
∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉.两边同乘以|c|得：
|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉
＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b|·|c|cos〈b，c〉，
即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.图(3)探究点三 平面向量数量积的运算性质思考 实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a表中的结论可以用作公式使用：
例如，若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析 方法一 由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向.
∴有a·b＋b·c＋c·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180°
＝3－4－12＝－13.方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，答案 －13例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.④反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.
例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.
特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下
(a·b)·c≠a·(b·c).跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是________.
解析 根据向量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确.故正确命题的序号是①③④.
答案 ①③④例2 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
解 (a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－a·b－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.反思与感悟 熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(ma＋nb)·(pa＋qb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)(2a－b)·(a＋3b)；
解 (2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.??反思与感悟 向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪训练3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
解 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.当堂测·查疑缺 12341.下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2 θ≠a2·b2，选C.C1234?A1234?∴〈a，b〉＝135°.C1234?－8或5呈重点、现规律1.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.
2.在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3.在实数中，若ab＝bc，b≠0则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0?a＝c./第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义
课时目标
1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质．
2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律．
识记强化
1．已知两个非零向量a，b，我们把|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a|·|b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是a与b的夹角．
2．|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做b在a方向上的投影．
3．两个非零向量互相垂直的等价条件是a·b＝0.
4．a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．
5．向量数量积的运算律为：
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
课时作业
一、选择题
1．给出以下五个结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()
A．1B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为()
A．1 B.
C．－1 D.
答案：A
解析：设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影为|a－2b|cosθ.又cosθ＝＝＝，故|a－2b|cosθ＝|a－2b|·＝1.
4．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是()
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案：D
解析：设向量a与b的夹角为θ，则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝1＋1×2×cosθ＝1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D.
5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝()
A．－6 B．6
C．3 D．－3
答案：B
解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于()
A．－16 B．－8
C．8 D．16
答案：D
解析：·＝||·||cosA＝||2＝16
二、填空题
7．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向的夹角为60°，|F|＝5牛顿，物体从A至B力F所做的功W＝__________.
答案：25焦耳
解析：由物理知识知W＝F·s＝|F|·|s|cosθ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．
8．如果a，b，a－b的模分别为2,3，，则a与b的夹角为________．
答案：
解析：设a与b的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得7＝13－12cosθ，即cosθ＝.又0≤θ≤π，故θ＝.
9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
答案：等边三角形
解析：·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
三、解答题
10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，
且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)若(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.
∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
能力提升
12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．
答案：
解析：由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝≤＝，
∴θ∈.
13．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7<0，得－7设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，
∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.
即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是
∪.
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．
一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－ C．± D．1
3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－ B．0 C. D．3
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.
其中正确结论的序号是________．
9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
能力提升
13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
答案
知识梳理
1．(1)|a||b|cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ
2．|b|cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c
作业设计
1．D [a在b方向上的投影是
|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.]
2．A [∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.
∴λ＝.]
3．B [|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.]
4．A [a·b＝·＝－·＝－||||cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]
5．C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.]
6．C [∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6.]
7．0
解析 b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2
＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.
8．④
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.
9．120°
解析 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.
∴cos〈a，b〉＝－，
∴〈a，b〉＝120°.
10．[0,1]
解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
11．解 (1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6.
12．解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝＝＝5.
|a－b|＝＝＝＝5.
13．解 (2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝＝＝1.
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.
14．解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
