课件21张PPT。2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、教材分析
本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
二．教学目标
1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论
（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现
向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、
三、教学重点难点
重点：平面向量数量积的坐标表示.
难点：向量数量积的坐标表示的应用.
四、学情分析
此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
⑴a与b的数量积 的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？
出示学习目标：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、向量的 夹角、模的 公式.2、两个向量垂直的坐标表示3、运用两个向量的数量积的坐标表示初步解决处理有关长度垂直的几个问题.
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？
a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
师生：学生回答提出的问题，教师点评
学生：合作探索提出的问题。
教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学：i2=1,j2=1,i·j=0
师生：学生展示探究结果，教师给予点评
设计意图：回顾平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备。
创设情境激发学生的学习兴趣，出示学习目标使学生了解本课的任务
问题引领，培养学生的探索研究能力
探究二：探索发现向量的模的坐标表达式
若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？
若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢？
教师提出问题学生：独立思考探究合作交流让学生展示探究的结论，教师总结
设计意图：在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模
例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使(B = 90(，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x(5， y(2)
∵( ∴x(x(5) + y(y(2) = 0即：x2 + y2 (5x ( 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x(5)2 + (y(2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
评述：用向量的垂直关系的坐标表示作为此题的突破点。
变式：已知
探究三：向量夹角、垂直、坐标表示
设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或计算a与b的夹角
呢？
1、向量夹角的坐标表示
2、a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=0
3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0
学生：独立思考、探究，合作交流，师生：让学生展示探究的结论，教师总结
提醒学生a⊥b与a∥b坐标表达式的不同
设计意图：在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角的坐标表达式
例2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90(时，(= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90(时，(= 0，=(= (1(2， k(3) = ((1， k(3)
∴2×((1) +3×(k(3) = 0 ∴k =
当C = 90(时，(= 0，∴(1 + k(k(3) = 0 ∴k =
评述：熟练应用向量的夹角公式。
变式：已知，当k为何值时，（1）垂直？
（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习数量积的坐标运算。模。夹角。下节学习平面向量应用举例这节课后大家可以先预习这一部分，着重体会向量是一种处理几何问题。物理问题的工具增强应用意识提高解题能力
九、板书设计
十、教学反思
1．教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
2．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣。
十一、学案设计(见下页)
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前预习学案
一、预习目标：
预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。了解向量的模、夹角等公式。
二、预习内容：
1.平面向量数量积（内积）的坐标表示
2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
能表示单位向量的模吗？
(2)平面上两点间的距离公式：
向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
AB=
(3)两向量的夹角公式cos( =
3. 向量垂直的判定（坐标表示）
4.向量平行的判定（坐标表示）
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用
二、学习过程
（一）创设问题情景，引出新课
a与b的数量积 的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？
（二）合作探究，精讲点拨
探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？
a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2
教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0
探究二：探索发现向量的模的坐标表达式
若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？
若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢？
例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使(B = 90(，求点B和向量的坐标.
变式：已知
探究三：向量夹角、垂直、坐标表示
设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或计算a与b的夹角呢？
1、向量夹角的坐标表示
2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=0
3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0
例2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
变式：已知，当k为何值时，（1）垂直？
（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？
（三）反思总结
(四)当堂检测
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的 数量积
4、设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角
5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?
课后练习与提高
1.已知则（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知则夹角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
3.则__________。
4.已知则__________。
5.则_______ _______
6.与垂直的单位向量是__________
A. B.
D.
7.则方向上的投影为_________
8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不等边三角形
9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（ ）
A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形
10.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90o若不能，说明理由；若能，求C坐标。
课件31张PPT。§2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.明目标、知重点1.平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .
即两个向量的数量积等于 .
2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b? .x1x2＋y1y2填要点·记疑点相应坐标乘积的和x1x2＋y1y2＝03.平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 ＝ .
4.向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ .探要点·究所然情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.探究点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?
答 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.思考2 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；解 设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.
解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).
∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).(－16，－8) (－8，－12)探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式?思考2 如图，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量 的模？
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，思考1 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？
答 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
思考2 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？探究点三 平面向量夹角的坐标表示例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.
(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.直角????跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∵a，b的夹角α为钝角.∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求 与点D的坐标.
解 设点D的坐标为(x，y)，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0. ①即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0. ②反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.跟踪训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和 的坐标.可得10x＋4y＝29， ①即x2－5x＋y2－2y＝0， ②当堂测·查疑缺 12341.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )B又∵a，b的夹角范围为[0，π].1234??C12345?1234?呈重点、现规律1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.第25课时平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
课时目标
1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算．
2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．
3．能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值．
识记强化
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2．若有向线段，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|＝；若＝(x，y)，则||＝.
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求两向量的夹角θ的公式为
cosθ＝.
课时作业
一、选择题
1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是()
A．±2 B．0
C．－2 D．2
答案：B
解析：由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.
2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为()
A. B．3
C．－ D．－3
答案：D
解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为()
A．－ B．0
C．3 D.
答案：C
解析：∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为()
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不等边三角形
答案：C
解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，
∴＝(1,1)，＝(－4,3)，
cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．
5．若向量a＝(x＋1,2) 和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意得，－(x＋1)－2×1＝0
得x＝－3.故a＋b＝(－1,1)．
∴|a＋b|＝＝
6．如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝()
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)
＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)
＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)
＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－(1＋1－0)
＝－.
二、填空题
7．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
答案：
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.
8．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.
答案：
解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，
∴，
即，
解得，∴·＝4x＝.
9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．
答案：
解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0?(log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1三、解答题
10．已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2,1)或＝.
∴存在M(2,1)或M满足题意．
11．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<.
(1)若a⊥b，求α；
(2)求|a＋b|的最大值．
解：(1)由已知，得a·b＝0，
即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.
∵－<α<，∴α＝－.
(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2sin.
∵－<α<，
∴－<α＋<，∴－即|a＋b|的最大值为1＋.
能力提升
12．若a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是()
A．[0，] B．[0，)
C．[1,2] D．[，2]
答案：D
解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝2＋2cosθ＝2(1＋cosθ)
∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]．
∴2≤2(1＋cosθ)≤4.
∴≤|a＋b|≤2.
13．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：由题知，|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
即当t＝－2时，有最小值－.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
整体设计
教学分析
平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.
前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.
三维目标
1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.
2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的坐标表示.
教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.
思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
推进新课
新知探究
提出问题
①平面向量的数量积能否用坐标表示?
②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?
③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？
活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:
∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,
∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)
=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.
又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,
∴a·b=x1x2+y1y2.
教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:
1°平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,
即a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a·b=x1x2+y1y2.
2°向量模的坐标表示
若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么
a=(x2-x1,y2-y1),|a|=
3°两向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a⊥bx1x2+y1y2=0.
4°两向量夹角的坐标表示
设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得
cosθ=
讨论结果:略.
应用示例
例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.
解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明.
∵=(2-1,3-2)=(1,1),
=(-2-1,5-2)=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0.
∴⊥.
∴△ABC是直角三角形.
点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.
变式训练
在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.
解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.
若∠A=90°,则⊥,所以·=0.
于是2×1+3k=0.故k=.
同理可求,若∠B=90°时,k的值为;
若∠C=90°时,k的值为.
故所求k的值为或或.
例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;
(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.
活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.
解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),
∴·=3×(-1)+3×6=15.
又∵||==3,||==,
∴cos∠BAC=
(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.
设a与b的夹角为θ,则
cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.
点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.
变式训练
设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°)?
解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.
|a|=,|b|=
由计算器得cosθ=≈-0.03.
利用计算器中得θ≈92°.
例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:
(1)若a⊥b,求a;
(2)若a∥b,求a.
活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,
应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.
解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b,
得
解得
∴a=a=
(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得
解得或
∴a=a=.
点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练
求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=x的图象(直线l2)互相垂直.
解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).
同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:
=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),
=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).
由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0,
∴⊥,即l1⊥l2.
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.|a|=5,|b|=,a·b=-7.
2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.
3.a·b=1,|a|=,|b|=,θ≈88°.
课堂小结
1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.
2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.
作业
课本习题2.4 A组8、9、10.
设计感想
由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.
平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.
即两个向量的数量积等于________________．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b?________________.
3．平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________________.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝________________________.
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.
一、选择题
1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B. C．2 D．4
2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B．2 C．4 D．12
3．已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A. B. C．5 D．25
6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B. C．－ D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
8．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．
10．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．
三、解答题
11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
能力提升
13．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是( )
A．(0,1) B.
C.∪(1，) D．(1，)
14．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
答案
知识梳理
1．x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和
2．x1x2＋y1y2＝0
3．(1) (2)
4.
作业设计
1．C [由(2a－b)·b＝0，则2a·b－|b|2＝0，
∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3.
∴|a|＝＝2.故选C.]
2．B [a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.]
3．C [∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝.]
4．D [设c＝(x，y)，
由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①
由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②
联立①②有x＝－，y＝－，则c＝(－，－)，
故选D.]
5．C [∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.]
6．A [由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.]
7．1
解析 a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
8．(－4,8)
解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
9.
解析 设a、b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
故a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.
或直接根据计算a在b方向上的投影．
10.∪(2，＋∞)
解析 由题意cos α＝＝，
∵90°<α<180°，∴－1∴－1<<0，
∴
即 即
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
11．解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
12．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16，
||＝2 ，||＝2 .
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
13．C
[已知＝(1,1)，即A(1,1)如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为零，故a≠1，由图易知a的范围是∪(1，)．]
14．－2
解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，
∴＝(0,1)，＝(－，－2)．∴·＝－2.
