课件27张PPT。课件19张PPT。章末复习课内容
索引0102理网络
明结构探题型
提能力0304理网络·明结构探题型·提能力题型一 数形结合思想在向量中的运用解析 建立如图所示的直角坐标系.答案 C反思与感悟 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：
(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质.
(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用.答案 C题型二 基底思想在解题中的应用则易知OM⊥BC.答案 反思与感悟 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.
能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.这样，几何问题就转化为代数问题.题型三 向量坐标法在平面几何中的运用例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，
C(c,0)，则B(－c,0)，因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这种解题方法具有普遍性.解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知-2呈重点、现规律1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.第二章章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列各式叙述不正确的是( )
A．若a＝λ b，则a、b共线
B．若b＝3a(a为非零向量)，则a、b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a－2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
答案：C
解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．
2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|
答案：B
解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．
3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
答案：A
解析：由于2＋＋＝0，则＋＝－2＝2.
所以(＋)＝，又D为BC边中点，
所以＝(＋)．所以＝.
5．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2，cosθ＝，θ∈[0，π]，故θ＝.
6．若四边形ABCD满足：＋＝0，(＋)⊥，则该四边形一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．直角梯形
答案：B
解析：由＋＝0?∥且||＝||，即四边形ABCD是平行四边形，又(＋)⊥?⊥，所以四边形ABCD是菱形．
7．给定两个向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝.
8．如图所示，在重600N的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A．300 N,300 N B．150N,150N
C．300 N,300N D．300N,300N
答案：C
解析：如图：作?OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos30°＝300 N.
|OB＝||sin30°＝300N.
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
解析：由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.
10．若向量＝(1，－2)，n＝(1,3)，且n·＝6，则n·等于( )
A．－8 B．9
C．－10 D．11
答案：D
解析：n·＝1－6＝－5，n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝6，∴n·＝11.
11．在边长为1的正三角形ABC中，＝，E是CA的中点，则·等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：A
解析：建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，∵＝，∴＝(－1,0)，∴x1＝.
∵E是CA的中点，∴＝，又＝，∴x2＝－，y2＝.
∴·＝·＝×＋×＝－.故选A.
12．已知|a|＝2 ，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若＝5a＋2b，＝a－3b，且D为BC中点，则的长度为( )
A. B.
C．7 D．8
答案：A
解析：＝(＋)＝(5a＋2b＋a－3b)＝(6a－b)
∴||2＝(36a2－12ab＋b2)＝.
∴||＝.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则a·b＝________.
答案：3
解析：a·b＝2××＝3.
14．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
答案：[0,1]
解析：∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当b≠0时，|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]，所以|b|∈[0,1]．
15．设向量a与b的夹角为α，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosα＝________.
答案：
解析：设b＝(x，y)，则2b－a＝(2x－3,2y－3)＝
(－1,1)，∴x＝1，y＝2，则b＝(1,2)，
cosα＝＝＝＝.
16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
答案：②
解析：①a与b的夹角为θ1，a与c的夹角为θ2.
a·b＝a·c，
有|a||b|cosθ1＝|a||c|cosθ2，得不到b＝c，错误．
②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，
∵a∥b，∴b＝λa，得k＝－3.正确．
③设|a|＝|b|＝|a－b|＝m(m>0)，
且a与a＋b的夹角为θ.
则有(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝m2，
∴2a·b＝m2.
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝m2＋＝，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝m2＋m2＋m2＝3m2，
∴cosθ＝＝＝.
∴θ＝30°.∴③错误．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是150°，计算：
(1)(a＋2b)·(2a－b)；
(2)|4a－2b|.
解：(1)(a＋2b)·(2a－b)
＝2a2＋3a·b－2b2
＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2
＝2×42＋3×4×8×－2×82
＝－96－48 .
(2)|4a－2b|＝
＝
＝
＝
＝8(＋)
18．(12分)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R，
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t的值．
解：(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，
∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，
∴|a＋tb|＝
＝
＝≥＝，
当且仅当t＝时取等号，即|a＋tb|的最小值为，此时t＝.
(2)∵a－tb＝(－3－2t,2－t)，
又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，
∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝.
19．(12分)已知a＝(1,1)、b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)
∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)
a＋b＝(1，－1)
(1)要使ka－b与a＋b共线，则－k－(k＋2)＝0，即k＝－1.
(2)要使ka－b与a＋b的夹角为120°，
∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝，
∴cos120°＝
＝＝－.
即k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.
20．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．
证明：如图所示，设＝＋，由于＋＋＝0，∴＝－，||＝1，
∴||＝1＝||，∴∠OP1P2＝30°，
同理可得∠OP1P3＝30°，∴∠P3P1P2＝60°.
同理可得∠P2P3P1＝60°，
∴△P1P2P3为正三角形．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4，故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
即5t＝－11，所以t＝－.
22．(12分)设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f满足：对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R且λ≠0)．
(1)若|a|＝|b|，且a、b不共线，试证明：[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)；
(2)若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且f()＝，求f()·.
解：(1)证明：∵f(a)－f(b)＝λa－λb＝λ(a－b)，
∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝λ(a－b)(a＋b)＝λ(a2－b2)＝λ(|a|2－|b|2)＝0，
∴[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)．
(2)由已知得＝(2,4)，＝(1,2)，＝(3,6)．
∵f()＝，∴λ＝.
即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.
∴f()·＝(2)·＝(6,12)·(2,4)＝60.
第二章 平面向量(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是( )
A．(，)或(1，) B．(，)
C．(0,1) D．(0,1)或(，)
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于( )
A．0 B．2＋ C. D．2
5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B. C．1＋ D．2
6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于( )
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.· B.·
C.· D.·
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．
16. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．
18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
22．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
第二章 平面向量(A)
答案
1．D 2.C
3．D [根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]
4．D [|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]
5．B [由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.]
6．B [令c＝λa＋μb，则 ∴∴c＝a－b.]
7．C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]
8．C [∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．]
9．B [∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．]
10．A [a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.]
11．B [
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋. ·＝·(＋)＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A [根据正六边形的几何性质．
〈，〉＝，〈，〉＝，
〈，〉＝，〈，〉＝.
∴·<0，·＝0，
·＝||·||cos ＝||2，
·＝||·2||·cos ＝||2.比较可知A正确．]
13．－1
解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.
14．3
解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3.
15．6
解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
16．－
解析 因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－)2－.
∴当x＝时，(＋)·取到最小值－.
17．解 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．
又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.
∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.
∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°.
18．解 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.
19．解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°.
(2)∵|a|＝1，|b|＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝，
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
20．解 (1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0得t＝－.
21．证明
如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，
∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
解得x＝，∴y＝，即P.
∴2＝2＋2＝4＝2，
∴||＝||，即AP＝AB.
22．证明 ∵＋＋＝0，∴＋＝－，
∴(＋)2＝(－)2，
∴||2＋||2＋2·＝||2，
∴·＝－，
cos∠P1OP2＝＝－，
∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．
第二章 平面向量(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( )
A．－6 B．6 C．9 D．12
2．下列命题正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1.
3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( )
A．(－，2)
B．(－∞，－)∪(2，＋∞)
C．(－2，)
D．(－∞，2)∪(，＋∞)
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于( )
A．8 B．6 C．－8 D．－6
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是( )
A. B. C. D.
6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于( )
A．－4 B．4 C．－ D.
8．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
9．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )
A. B．2 C．3 D．6
10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n等于( )
A. B. C. D．1
11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于( )
A．－ B．－ C．0 D.
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，以向量＝a，＝b为边作?AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、.
18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：(1)(a－2b)·(a＋b)；
(2)|a＋b|；
(3)|3a－4b|.
19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
20．(12分)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设＝a，＝b，＝ma，＝nb.
求证：＋＝3.
第二章 平面向量(B)
答案
1．B [∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]
2．C [∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.]
3．A [∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－4．A [∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]
5．C [∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.]
6．B [由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.]
7．A [向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.]
8．B [∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B.]
9．C [设△ABC边BC的中点为D，则＝＝.
∵＝(＋)＝，∴＝，∴||＝||.∴＝3.]
10．B [＝＋＝＋＝＋(－)＝＋故有m＋n＝＋＝.]
11．B [由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－.同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.]
12．B [若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]
13．2
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.
∴λ＝2.
14．7
解析 ∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49.
∴|5a－b|＝7.
15．2x－3y－9＝0
解析 设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0.
16．－8
解析 设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8.
17．解 ＝－＝a－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
18．解 a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.
∴|a＋b|＝2.
(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
19．解 由题意有|a|＝＝2，|b|＝＝1.
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化简得k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.即t＝－2时，有最小值为－.
20．解 设＝t，t∈[0,1]，则＝(6t,3t)，即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t)，
＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，则·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或.
21．解 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
对比系数得，∴
∴所求实数t的取值范围是∪.
22.
证明 如右图所示，
∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)．
∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b.
＝－＝nb－ma.
又P、G、Q三点共线，
所以存在一个实数λ，使得＝λ.
∴(－m)a＋b＝λnb－λma，
∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0.
∵a与b不共线，
∴
由①②消去λ得：＋＝3.
章末复习课
课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用．
知识结构
一、选择题
1．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于( )
A．20 B．(－10,30)
C．54 D．(－8,24)
2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A. ＝ B. ＝2
C. ＝3 D．2＝
4．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B. C．－ D．－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是______．
9．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
三、解答题
11．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.
12．设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.
(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？
能力提升
13．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
14. 如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
章末复习课
答案
作业设计
1．B [a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.]
2．A [(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0.
∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.]
3．A [由题意D是BC边的中点，
所以有＋＝2，
所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0?＋＝0?＝.]
4．D [＝＋＝(1,2)，＝－＝(－3,2)，解得＝(－1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.]
5．D [∵a·c＝a·＝a·a－·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝.]
6．A [易知P为△ABC的重心，则＋＝－＝，故·(＋)＝2＝，故选A.]
7．2x＋y－7＝0
解析 设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.
8．1
解析 b在a上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1.
9．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.
10.
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝.又∵|β|＝2，
∴|2α＋β|＝＝＝＝.
11．解 ∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得
＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．
∴，得m＝32，n＝－22.
∴＋＋＝32－22.
12．解 (1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
化简得(m－1)a＝(－t)b，
∵a与b不共线，
∴，
∴
∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
13．C [由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，得·＝·.∴·＝0，O在边AB的高线上．同理O在边AC的高线上，即O为△ABC的垂心．故选C.]
14．解 方法一
过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F.如图所示．
在Rt△OCE中，||＝＝＝4；
||＝||·tan 30°＝2×＝2，
由平行四边形法则知，＝＋＝4＋2，
∴λ＝4，μ＝2.
方法二
如图所示，以所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′.
易知，OC′＝2cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝，BB′＝OBsin 60°＝，
OB′＝OBcos 60°＝，
∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为，
C点坐标为(3，)．
∵＝λ＋μ
∴∴.
方法三 ∵＝λ＋μ.
∴，
∴，解得λ＝4，μ＝2.
