3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
例２、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
（四）课堂练习：详见学案
（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（六）作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
课前预习学案
一、预习目标
复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫。
二、预习内容
请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：
；
；
。
三、提出疑惑
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可）。
课内探究学案
一、公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
二、例题讲解
例1、已知求的值．
例２、已知求的值．
三、课堂练习
1．sin22(30’cos22(30’=__________________;
2．_________________;
3．____________________;
4．__________________.
5．__________________;
6．____________________;
7．___________________;
8．______________________.
课后练习与提高
1、已知180°＜2α＜270°，化简=（ ）
A、-3cosα B、cosα C、-cosα D、sinα-cosα
2、已知，化简+= （ ）
A、-2cos B、2cos C、-2sin D、2sin
3、已知sin=，cos=－，则角是 （ ）
A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角
4、若tan ( = 3，求sin2( ( cos2( 的值。
5、已知，求sin2(，cos2(，tan2(的值。
6、已知求的值。
7、已知，，求的值。
课件24张PPT。课件36张PPT。§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用.明目标、知重点?2sin αcos α填要点·记疑点?cos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α?cos α1±sin 2αsin α探要点·究所然情境导学在教材3.1.2例4(2)中，若将题目改为cos 20°cos 70°＋sin 20°sin 70°，你还能利用诱导公式将70°换为20°吗？当然能换！换出的结果是cos 20°sin 20°＋sin 20°cos 20°＝2sin 20°cos 20°.那么，利用我们已经学习的公式，能否将2sin 20°cos 20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin 20°cos 20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题.探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？
答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答 ∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)
＝2cos2α－1；
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用??π练习2：函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是 .
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.[－5,3]思考 因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式.请完成三倍角公式的证明：
(1)sin 3α＝3sin α－4sin3α；探究点三 三倍角公式的推导答 证明如下：
sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α
＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α
＝2sin α－2sin3α＋sin α－2sin3α＝3sin α－4sin3α.(2)cos 3α＝4cos3α－3cos α.
答 cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α
＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α
＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α
＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α
＝4cos3α－3cos α.于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法.跟踪训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；＝tan4A＝右边，反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.＝tan θ.又tan B＝2，又tan B＝2，反思与感悟 倍角公式、和角公式本质上没有区别，可用不同的思路去思考.解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式.当堂测·查疑缺 1231.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )C4123B412341234呈重点、现规律第30课时二倍角的正弦、余弦和正切
课时目标
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及公式的变形；能灵活运用公式及其各种变形解题．
识记强化
1．二倍角正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan2α＝
2．变形形式
sinα＝2sincos，cosα＝cos2－sin2
＝2cos2－1＝1－2sin2
tanα＝
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α；
cos2α＝，sin2α＝
课时作业
一、选择题
1．已知cosx＝－，x为第二象限角，那么sin2x＝()
A．－ B．±
C．－ D.
答案：C
解析：因为cosx＝－，x为第二象限角，所以sinx＝，所以sin2x＝2sinxcosx＝2××＝－，故选C.
2．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于()
A．30°或270° B．45°
C．60° D．30°
答案：D
解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.
3．已知sin α＝，且α∈，那么的值等于()
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：＝＝＝2tanα，
∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－，tanα＝－，2tanα＝－，故选B.
4．化简等于()
A．sin4＋cos4 B．－sin4－cos4
C．sin4 D．cos4
答案：B
解析：＝＝＝|sin4＋cos4|
∵4∈(π，)，则sin4＋cos4<0
故＝－sin4－cos4.
5．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为()
A．－ B.
C．－ D．－2
答案：A
解析：由题意可得，sinα＝－＝－，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝－，故选A.
6．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为()
A．1＋ B.－1
C. D．2
答案：A
解析：y＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx
＝1－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1
＝sin(2x－)＋1，
∴y的最大值为＋1.
二、填空题
7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.
答案：－
解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－.
8．若θ∈(0，π)，且sin2θ＝－，则cosθ－sinθ＝________.
答案：－
解析：∵sin2θ＝－，θ∈(0，π)，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，cosθ－sinθ＜0，
又(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝，∴cosθ－sinθ＝－.
9．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝________.
答案：－
解析：由sin＝，得(sinθ－cosθ)＝?sinθ－cosθ＝.解方程组，得或.因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.
三、解答题
10．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解：tan2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tanα＝<1，tanβ＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解：(1)f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx
＝2cos2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋1＋sin2x
＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的值域为[0,3]．
能力提升
12．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，
∴tan＝2，∴tanx＝＝＝－.
(2)由(1)，知tanx＝－，
∴＝＝
＝＝×＝×＝.
13．已知函数f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：(1)f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1＝－sin2xcos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2(sin2x－cos2x)＝2 sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，
在区间上是减函数，
又f(0)＝－2，f＝2 ，f()＝2.
故函数f(x)在区间上的最大值为2 ，最小值为－2.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
整体设计
教学分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.
三维目标
1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.
重点难点
教学重点：二倍角公式推导及其应用.
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.
推进新课
新知探究
提出问题
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)
②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？
③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？
④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？
⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).
⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？
⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？
活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ?sin2α=2sinαcosα（S2α）;
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ?cos2α=cos2α-sin2α(C2α);
tan(α+β)=
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.
这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.
问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ+和α≠kπ+(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.
问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,是的二倍,3α是的二倍,是的二倍，-α是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.
例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等.
问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=sin6α，4sincos=2(2sincos)=2sin,
=tan80°，cos22α-sin22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan2α)等等.
问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.
若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).
若cos2α=2cosα,则2cos2α-2cosα-1=0,即cosα=(cosα=舍去).
若tan2α=2tanα,则=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k∈Z).
解答：①—⑧（略）
应用示例
思路1
例1 已知sin2α=,<α<,求sin4α,cos4α,tan4α的值.
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.
解:由<α<,得<2α<π.
又∵sin2α=,
∴cos2α==.
于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××()=;
cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=;
tan4α==(-)×=.
点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
变式训练
1.不查表,求值:sin15°+cos15°.?
解:原式=
点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.
2.(2007年高考海南卷,9) 若,则cosα+sinα的值为……?( )?
A. B. C. D.
答案:C
3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为的是( )
A.2sin15°-cos15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°?
答案:B
例2 证明=tanθ.
活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？
待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.
证明:方法一:
左=
=
=
=tanθ=右.
所以,原式成立.
方法二:
左=
==tanθ=右.
方法三:
左=
=
=
==tanθ=右.
点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.
思路2
例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.
解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°
=
=
点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.
例2 在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.
活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0
解：方法一:在△ABC中,由cosA=,0sinA=
所以tanA==×=,
tan2A=
又tanB=2,
所以tan2B=
于是tan(2A+2B)=
方法二:在△ABC中,由cosA=,0sinA=
所以tanA=×=.又tanB=2,
所以tan(A+B)=
于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]
=
点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.
变式训练
化简：
解：原式＝
=
=cot2α.
知能训练
(2007年高考四川卷,17) 已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,
(1)求tan2α的值;
(2)求β.
解:(1)由cosα=,0<α<,得sinα==
∴tanα===4.于是tan2α=
(2)由0<α<β<,得0<α-β<.
又∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)=
由β=α-(α-β),得
cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+=.
∴β=.
点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.
作业
课本习题3.1 A组15、16、17.
课题小结
1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.
设计感想
1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.
2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.
3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝.
2．倍角公式常用变形
(1)＝__________，＝__________；
(2)(sin α±cos α)2＝__________；
(3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.
一、选择题
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B. C. D.
2．函数y＝2cos2(x－)－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
4．若＝1，则的值为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B. C．－ D.
6．已知角α在第一象限且cos α＝，则等于( )
A. B. C. D．－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.的值是________．
8．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是______．
9．已知tan ＝3，则＝______.
10．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，则α＝________.
三、解答题
11．求证：＝tan4 A.
12．若cos＝－，能力提升
13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.
14．求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ (n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)
作业设计
1．B 2.A
3．B [cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]
＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－.]
4．A [∵＝1，∴tan θ＝－.
∴＝＝＝＝＝3.]
5．C [∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∵<<π，∴sin <0.
由sin2＝＝，
∴sin ＝－.]
6．C [∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝＝＝.]
7．2
解析 ＝＝＝2.
8．2
解析 f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cos x＝时，f(x)max＝2.
9．3
解析 ＝＝＝tan ＝3.
10.
解析 ∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)．∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．
∴α＝.
11．证明 ∵左边＝＝2＝2＝(tan2 A)2
＝tan4 A＝右边．
∴＝tan4 A.
12．解 ＝＝＝sin 2x＝sin 2xtan＝costan＝tan，
∵∴－<－x<－π.
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－.
∴原式＝×＝－.
13．解 原式＝＝＝
＝＝.
14．解 原式＝·cos 10°
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2
＝＝＝－1.
