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索引0102理网络
明结构探题型
提能力0304理网络·明结构?探题型·提能力题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x－cos x＝t).例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域.
解 令sin x－cos x＝t，又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2.
∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1.题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简.其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用.题型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
方程(组)思想是中学重要的思想方法之一.借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一.∴tan A＝2tan B.(2)设AB＝3，求AB边上的高.将tan A＝2tan B代入上式并整理得
2tan2B－4tan B－1＝0，呈重点、现规律本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.第三章章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )
A．－ B.
C. D．1
答案：B
解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.
2．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
3．已知M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．M∩N＝?
答案：B
解析：由cos2x＝1－2sin2x＝，得sinx＝±，故选B.
4．已知sin＝－，cos＝，则角θ终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：∵sinθ＝2sincos＝－<0，cosθ＝cos2－sin2＝－<0，∴θ终边在第三象限．
5．函数f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg (－cos2x)，∴－cos2x>0，∴cos2x<0，∴2kπ＋<2x<2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋
6．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )
A. B．(0,0)
C. D.
答案：C
解析：由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.将x＝－代入得函数值为0.
7．tan20°＋tan40°＋(tan20°＋tan40°)等于( )
A. B．1
C. D.
答案：C
解析：tan60°＝，
∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，
∴tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.
8．关于x的方程sinx＋cosx－a＝0有实数解，则实数a的范围是( )
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案：A
解析：sinx＋cosx－a＝0，∴a＝sinx＋cosx
＝2＝2sin，－1≤sin≤1，∴－2≤a≤2.
9．若α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A. B.
C.或 D．－
答案：B
解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
∵α为锐角cosα＝ ＝，
∴sin(α＋β)＝＜sinα，∴α＋β＞.
∴cos(α＋β)＝－ ＝－，
∴cosβ＝－×＋×＝.
10．函数y＝sin＋cos的图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝π B．x＝π
C．x＝－π D．x＝－
答案：C
解析：y＝sin＋cos＝2sin，
又f＝2sin
＝2sin＝－2，
∴x＝－π为函数的一条对称轴．
11．已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于( )
A. B．－
C. D．－
答案：A
解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，知sin2θcos2θ＝，又θ为第三象限角，
∴sinθ·cosθ＝，sin2θ＝.
12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为( )
A. B.
C．2 D．3
答案：D
解析：f(x)＝1－cos＝1＋sin2x.
|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－cos2a|＝|2sin＋1|≤3.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．coscosπ的值是________．
答案：
解析：原式＝·2sincos·cos＝·2sincosπ＝sinπ＝.
14．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．
答案：－
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝＋cosα，
∴2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－＝0，
∴cosα＝，
∵α∈，∴cosα>0，
∴cosα＝，∴sinα＝＋cosα＝，
∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－＝－.
15．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为________．
答案：
解析：∵cosα＝，α∈，
∴sinα＝，∴sin2α＝，cos2α＝－.
又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
16．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．
答案：－
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．
解：∵＝＝3，∴tanα＝2，
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
∴|a－b|＝
＝＝，
∴cos(α－β)＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝－2 sin2x＋sin2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin2x
＝sin2x＋cos2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
2
0
－2
0
描点连线得图象，如图所示．
20．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0?sinθ＝2cosθ.
∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1?cos2θ＝.
∵θ∈，∴cosθ＝，sinθ＝.
(2)解法一：由sin(θ－φ)＝得，
sinθcosφ－cosθsinφ＝?sinφ＝2cosφ－，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 cosφ＋＝1?5cos2φ－2 cosφ－＝0.
解得cosφ＝或cosφ＝－，
∵0<φ<，∴cosφ＝.
解法二：∵0<θ，φ<，∴－<θ－φ<.
所以cos(θ－φ)＝＝.
故cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝×＋×＝.
21．(12分)已知函数f(x)＝sinx＋cos(x－π)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若函数f(x)的图象过点，<α<，求f的值．
解：(1)由题意得，f(x)＝sinx＋cos(x－π)＝sinx－cosx＝2sin，因为－1≤sin≤1，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，函数f(x)的周期为2π.
(2)因为函数f(x)过点，
所以f(α)＝?2sin＝?
sin＝，因为<α<，
所以0<α－<?cos>0?cos＝＝，
所以f＝2sinα＝2sin
＝2sincos＋2cossin?f＝.
22．(12分)在△ABC中，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.
(1)若f(B)＝2，求角B；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB
＝sin2B＋cos2B＝2sin.
∵f(B)＝2，∴2sin＝2.
∵B是△ABC的内角，
∴2B＋＝，则B＝.
(2)若f(B)－m>2恒成立，
即2sin>2＋m恒成立．
∵0∴2sin∈[－2,2]，
∴2＋m<－2，即m<－4.
第三章 三角恒等变换(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(cos －sin )(cos ＋sin )等于( )
A．－ B．－ C. D.
2．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
4．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )
A. B. C. D.
6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A．－ B. C．－ D.
7．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－ C．2 D.或－
8．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
9．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )
A．cC．a10．化简的结果是( )
A. B．tan 2α C. D．tan α
11．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tan β＝－2，则cos∠POQ的值为( )
A．－ B．－
C. D.
12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C.，4π D.，π
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.的值是________．
14．已知sin α＝cos 2α，α∈(，π)，则tan α＝________.
15．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为________．
16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<.
求：tan(α＋β)及α＋β的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
19．(12分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1)求f(x)的周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值．
22．(12分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
第三章 三角恒等变换(A)
答案
1．D [(cos －sin )(cos ＋sin )＝cos2 －sin2＝cos ＝.]
2．C [y＝sin＝sin＝cos x，当x＝π时，y＝－1.]
3．B [sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，
∴sin α＋cos α＝.
两边平方，
∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]
4．B [y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x＝－sin 2x－cos 2x
＝－sin
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝1，
且T＝π.故B项合适．]
5．A [∵0<θ<，∴θ＋∈，
又sin θ＋cos θ＝sin，
所以6．B [sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)
＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)
＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)
＝－cos(73°＋47°)
＝－cos 120°＝.]
7．B [∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，
∴tan θ＝－.]
8．C [y＝sin x＋cos x＝sin
∴y＝sin x－cos x＝sin＝sin.]
9．A [a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°.
∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c10．B [原式＝＝＝tan 2α.]
11．A
[tan β＝tan(π－θ1)＝－tan θ1＝－2，
∴tan θ1＝2，tan θ2＝.
∴tan∠POQ＝＝－2，
∴<∠POQ<π.∴cos∠POQ＝－.]
12．C [＝m?＋n＝(2，)?(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.]
13．1
解析 ∵＝＝tan 45°＝1，∴＝1.
14．－
解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α
∴2sin2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝或－1.
∵<α<π，∴sin α＝，
∴α＝π，∴tan α＝－.
15.＋1
解析 y＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin(2x－)＋1，
∴ymax＝＋1.
16．1
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β
∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)
∵α、β均为锐角，
∴sin β＋cos β≠0，
∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.
17．解 ∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
18．解 (1)f()＝2cos ＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R.
因为cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
19．解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－，或tan α＝.
∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
cos＝cos cos －sin sin ＝－×－×＝－.
20．解 (1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．
21．解 (1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，
f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．
因为f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，
从而cos(2x0＋)＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝.
22．解 (1)tan α＝＝，
所以＝.又因为sin2α＋cos2α＝1，
解得sin α＝.
(2)因为0<α<<β<π，所以0<β－α<π.
因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝.
因为β∈，
所以β＝.
第三章 三角恒等变换(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )
A．0 B. C. D．1
2．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
3．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－] B．[－，－]
C．[－，0] D．[－，0]
5．化简：的结果为( )
A．1 B. C. D．tan θ
6．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
7．若函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a等于( )
A．1 B. C．2 D．3
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是( )
A．[－，] B．[－＋，＋]
C．[－，] D．[－－，－]
9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )
A．－ B. C．－ D.
10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( )
A．±4 B．4 C．－4 D．1
11．若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为( )
A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0
C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝0
12．使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的θ的值为( )
A．－ B．－ C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是______．
14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.
15．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝________.
16．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos(2α－)的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
19．(12分)已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[－，]．
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
20．(12分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．
(1)求角B；
(2)求sin(B＋θ)．
21．(12分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
第三章 三角恒等变换(B)
答案
1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]
2．D [f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)＝－cos 2x，
∴T＝＝π，f(x)为偶函数．]
3．A [∵α∈(，π)，sin α＝，∴cos α＝－，
tan α＝＝－.∴tan(α＋)＝＝＝.]
4．D [f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
令k＝0得－≤x≤.
由此可得[－，0]符合题意．]
5．B [原式＝＝＝sin 60°＝.]
6．C [f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2x2＋2，
∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x.]
7．B [f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)＝sin(x＋)－acos(＋x)＝sin(x＋－φ)
∴f()＝sin ＋asin ＝a＋＝.
解得a＝.]
8．B [y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，
∵x∈R，
∴－1≤sin(2x－)≤1，
∴y∈[－＋，＋]．
9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.
cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ＝
＝＝＝.]
10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β
＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，
∴tan(α＋β)tan α＝－4.]
11．D [cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，∴tan θ＝＝＝.
∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．]
12．D [∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0.
∴tan θ＝－.∴θ＝kπ－，(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin 2x.
∵f(x)在[－，0]上为减函数，
∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝.]
13.
解析 ∵f(x)＝[1－cos(4x－)]＝－sin 4x ∴T＝＝.
14．1
解析 ∵sin αcos β＝1，
∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，
∴cos α＝sin β＝0.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.
15.
解析 cos β＝－，sin β＝，
sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，
故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－)×(－)＋×＝.
16．1
解析 令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，
∴y＝sin α＋cos(α＋30°)
＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°
＝sin α＋cos α
＝sin(α＋60°)．
∴ymax＝1.
17．解 (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)?cos α＝－，α∈(0，π)?sin α＝.
＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝?sin 2α＝－，cos 2α＝－.
cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
18．解 (1)原式＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )
＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.
(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
19．解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝＝＝2|cos x|，
∵x∈[－，]，∴cos x>0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－)2－.
∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.
20．解 (1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝.
又B为△ABC的内角，∴B＝60°.
(2)∵cos θ＝＝－，∴sin θ＝.∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
21．解 (1)由题意，得m·n＝0，所以
f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，
所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝.
解得cos α＝.
因为α是第一象限角，故sin α＝.
所以＝＝＝＝－.
22．解 (1)因为f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，
所以＝cos(2×－φ)，
即cos(－φ)＝1，
又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，
故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.
章末复习课
课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．
知识结构
一、选择题
1．tan 15°＋等于( )
A．2 B．2＋ C．4 D.
2．若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A. B. C. D．－2
3．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
4．已知θ是第三象限角，若sin4 θ＋cos4 θ＝，那么sin 2θ等于( )
A. B．－ C. D．－
5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
6．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)的最小正周期是________．
8．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.
10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan＝________.
三、解答题
11．已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
12．设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
能力提升
13．函数f(x)＝是( )
A．以4π为周期的偶函数
B．以2π为周期的奇函数
C．以2π为周期的偶函数
D．以4π为周期的奇函数
14．设α为第四象限的角，若＝，则tan 2α＝________.
本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．
章末复习课
作业设计
1．C
2．A [∵3sin α＋cos α＝0，
∴tan α＝－，
∴＝＝＝＝.]
3．B [f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－×＝cos 4x＋
∴T＝＝.]
4．A [∵sin4 θ＋cos4 θ＝(sin2 θ＋cos2 θ)2－2sin2 θcos2 θ＝1－sin2 2θ＝，∴sin2 2θ＝.
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝.]
5．C [f(x)＝sin ωx＋cos ωt＝2sin.因为函数y＝f(x)的图象与y＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y＝f(x)的周期为π.所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得2kπ－≤2x≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．]
6．C [∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C＝2sin＝1.
∴sin＝，
∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，
∴C＝π.]
7．π
解析 f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)
＝cos2(－x)－sin2(x－)
＝cos2(x－)－sin2(x－)
＝cos(2x－)＝sin 2x.
∴T＝π.
8．1－
解析 ∵y＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin(2x＋)，
∴ymin＝1－.
9.
解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2
＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)
＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.
∴80sin(α＋β)＝47，
∴sin(α＋β)＝.
10．－
解析 由题意，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π.∴sin 2α＞0.
∴sin 2α＝＝.
∴tan 2α＝＝－.
∴tan＝＝＝－.
11．解 (1)由cos β＝，β∈(0，π)，
得sin β＝，tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－，
f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＋cos xcos β－sin xsin β
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x
＝－sin x，
又－1≤sin x≤1，所以f(x)的最大值为.
12．解 (1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.
13．A [由sin x＋2sin ＝2sin (cos ＋1)≠0，得x≠2kπ，k∈Z.
∴f(x)定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}关于原点对称．
∵f(x)＝＝.
∴f(－x)＝＝＝f(x)．
∴函数f(x)为偶函数．
又f(x＋2π)＝＝＝≠f(x)．
f(x＋4π)＝＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)以4π为周期．]
14．－
解析 由＝＝＝2cos2α＋cos 2α＝.
∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝，∴cos 2α＝.
∵α为第四象限角，
∴2kπ＋<α<2kπ＋2π，(k∈Z)
∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π，(k∈Z)
故2α可能在第三、四象限，
又∵cos 2α＝，
∴sin 2α＝－，tan 2α＝－.
