【新北师大版九年级数学（上）培优专集】
一元二次方程（解析卷）
一.选择题：（共10题）
1．方程的整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
2．关于x的方程有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）
A．α+β ≥ B．α+β ≤ C．α+β ≥1 D．α+β ≤1
3．若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
4．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
5．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
6．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0 B．i C．﹣1 D．1
7．已知
a
2
?4b=?18，
b
2
+10c=7，
c
2
?6a=?27．则a+b+c的值是（ ）
A．?5 B．10 C．0 D．5
8．已知??，??是关于??的方程(?????)(?????)?1=0的两实根，实数??、??、??、??的大小关系可能是（ ）
A．α
9．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ）
A．0，﹣
2
3
B．0，
2
3
C．﹣1，2 D．1，﹣2
10．若
??
1
，
??
2
是方程
??
2
?2???4=0的两个不相等的实数根，则代数式2
??
1
2
?2
??
1
+
??
2
2
+3的值是（ ）
A．19 B．15 C．11 D．3
二、填空题：（共10题）
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
12．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是_____．
13．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为_____．
14．若对任何x，分式均有意义，则字母a的取值范围是__________．
15．关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____．
16．若方程x2﹣x＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则x2﹣x1＝______．
17．2017年全国的快递业务量为401亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，若2019年的快递业务量达到620亿件，设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，则可方程为 __________ ．
18．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
/
19．若，则的值为___________.
20．已知实数??，??满足条件
??
2
?7??+2=0，
??
2
?7??+2=0(??≠??)，则
??
??
+
??
??
=________．
三、解答题：（共10题）
21．已知a是正整数，是一个正整数的平方，求a的最大值。
22．在Rt△ABC中，∠B=900，AC=100cm, ∠A=600,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF。
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求相应的t值，若不能，请说明理由。
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。
/
23．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.．
/
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
24．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
25．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．
（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．
（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．
/
26．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
27．利民商店经销甲、乙两种商品现有如下信息
信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；
信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．
甲、乙两种商品的进货单价各是多少？
据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？
28．在一张足够大的纸板上截取一个面积为的矩形纸板，如图，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形，如图，设小正方形的边长为厘米.、
（1）若矩形纸板的一个边长为.
①当纸盒的底面积为时，求的值；
②求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当，且侧面积与底面积之比为时，求的值.
/
29．如图，在矩形ABCD中， ， ，将矩形沿直线EF折叠．使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF.
（1）当 时，求AE的长；
（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；
（3）连接CF，当 是以CG为底的等腰三角形时，直接写出BG的长.
/
30．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.
/
/
【新北师大版九年级数学（上）培优专集】
一元二次方程（解析卷）
一.选择题：（共10题）
1．方程的整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】D
【解析】
【分析】
将y看作未知数，运用一元二次方程的判别式，确定x的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况.
【详解】
解：
∵x是整数解
∴x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2；
x=0，y2-3y=0，解得y=0或y=3；
x=1，y2-2y-2=0，y没有整数解；
x=2，y2-y-2=0，解得y=-1或y=2；
x=3，y2=0，解得y=0.
故选：D.
2．关于x的方程有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）
A．α+β ≥ B．α+β ≤ C．α+β ≥1 D．α+β ≤1
【答案】C
【解析】
【分析】
由于关于x的方程x2-2（1-m）x+m2=0有实数根a、B，则判别式△≥0，由此可以确定m的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+β的取值范围.
【详解】
解：∵a=1，b=-2（1-m），c= m2，
故答案为C
3．若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【解析】
【详解】
解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
4．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．
【详解】
解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确； ②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确； ③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确； ④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误． 故选：A．
5．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论．
【详解】
是方程的两个实数根，，即，则．
故选C．
6．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0 B．i C．﹣1 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据新定义新运算找规律.
??
4??+1
=??，
??
4??+2
=?1，
??
4??+3
=???， i4n=1，由于2012=4×503，所以??+
??
2
+
??
3
+
??
4
+…+
??
2012
+
??
2013
=503（???1???+1）+
??
2012
???=??．
【详解】
解：∵
??
4??+1
=??，
??
4??+2
=?1，
??
4??+3
=???，
??
4??
=1，
∴??+
??
2
+
??
3
+
??
4
+…+
??
2012
+
??
2013
=503（???1???+1）+
??
2012
???
=1???=??．故选：??．
7．已知
a
2
?4b=?18，
b
2
+10c=7，
c
2
?6a=?27．则a+b+c的值是（ ）
A．?5 B．10 C．0 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知三个式子相加后，配方即可得到a、b、c的值，从而得出结论．
【详解】
由a2﹣4b=﹣18，b2+10c=7，c2﹣6a=﹣27得：
a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38=0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2=0，∴a=3，b=2，c=﹣5，∴a+b+c=0．
故选C．
8．已知??，??是关于??的方程(?????)(?????)?1=0的两实根，实数??、??、??、??的大小关系可能是（ ）
A．α【答案】A
【解析】
【分析】
首先把方程化为一般形式，由于α，β是方程的解，根据根与系数的关系即可得到a，b，α，β之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．
【详解】
解：设y=（x-a）（x-b），
则此二次函数开口向上，
当（x-a）（x-b）=0时，
即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），
当（x-a）（x-b）=1时，
∵α，β是关于x的方程（x-a）（x-b）-1=0的两实根，
∴函数与y=1的交点为：（α，0），（β，0），
根据二次函数的增减性，可得：
当a＜b，α＜β时，α＜a＜b＜β；
当b＜a，α＜β时，α＜b＜a＜β；
当b＞a，α＞β时，β＜a＜b＜α；
当a＞b，α＞β时，β＜b＜a＜α．
故选：A．
9．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ）
A．0，﹣
2
3
B．0，
2
3
C．﹣1，2 D．1，﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可.
【详解】
设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，
∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①，
（a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②，
∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，
解得a=2或﹣1，
当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣
2
3
；
②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.
∴方程的解是0或﹣
2
3
.
故选A.
10．若
??
1
，
??
2
是方程
??
2
?2???4=0的两个不相等的实数根，则代数式2
??
1
2
?2
??
1
+
??
2
2
+3的值是（ ）
A．19 B．15 C．11 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】
∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2，∴2x12﹣2x1+x22+3
=x12﹣2x1+x12+x22+3
=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3
=4+4+8+3=19．
故选A．
二、填空题：（共10题）
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.
【详解】
解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.
故答案为.
12．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是_____．
【答案】a=1．
【解析】
【分析】
由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b2﹣4ac，套入数据即可得出△=（a﹣2）2≥0，可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x1、x2，利用根与系数的关系可得出x1?x2=
2
??
，再根据x1、x2均为正整数，a为整数，即可得出结论．
【详解】
解：∵方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
∵△=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，
∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，
当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴a≠2且a≠0．
设方程的两个根分别为x1、x2，
∴x1?x2=
2
??
，
∵x1、x2均为正整数，
∴
2
??
为正整数，
∵a为整数，a≠2且a≠0，
∴a=1，
故答案为：a=1．
13．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为_____．
【答案】20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【解析】
【分析】
设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．
【详解】
设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
14．若对任何x，分式均有意义，则字母a的取值范围是__________．
【答案】a>
【解析】
【分析】
根据分母不为零分式有意义，可得答案.
【详解】
解：
对于任意x的值，分式均有意义，得
△=1-4a＜0，即a>
所以若对任何x，分式均有意义的条件是a>
故答案为a>
15．关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____．
【答案】a＜1且a≠0
【解析】
【分析】
由关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，继而可求得a的范围．
【详解】
∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∵方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜1且a≠0．
故答案为：a＜1且a≠0．
16．若方程x2﹣x＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则x2﹣x1＝______．
【答案】1
【解析】
【分析】
求出x1,x2即可解答.
【详解】
解：∵x2﹣x＝0，
∴x(x﹣1)＝0，
∵x1＜x2，
∴解得：x1＝0，x2＝1，
则x2﹣x1＝1﹣0＝1．
故答案为：1．
7．2017年全国的快递业务量为401亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，若2019年的快递业务量达到620亿件，设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，则可方程为 __________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2=2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
设2018年与2019年这两年的平均增长率为x，由题意得：
.
故答案为：．
18．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
/
【答案】1.25
【解析】
【分析】
设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，求出未知数.
【详解】
设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为
，解一元二次方程，由，可得.
19．若，则的值为___________.
【答案】2.
【解析】
【分析】
因为，所以，即可转化为，解方程即可.
【详解】
解：∵
∴
∴,
解得：(舍去)
故x=2.
20．已知实数??，??满足条件
??
2
?7??+2=0，
??
2
?7??+2=0(??≠??)，则
??
??
+
??
??
=________．
【答案】
45
2
【解析】
【分析】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴
??
??
+
??
??
=
??
2
+
??
2
????
=
（??+??）
2
?2????
????
=
49?4
2
=
45
2
．
故答案为：
45
2
．
三、解答题：（共10题）
21．已知a是正整数，是一个正整数的平方，求a的最大值。
【答案】
【解析】
【分析】
把看作一个关于a的一元二次方程，直接由一元二次方程根的判别式式得出，得，进而利用分类讨论得出k，m所有的可能取值进而得出答案．
【详解】
解：设，因为为正整数，所以原方程的为完全平方数，，
设，
∴，
显然k+n＞k-n，二者均为偶，
越大时也越大，所以令取最大值，即，，
解得，，
所以．
22．在Rt△ABC中，∠B=900，AC=100cm, ∠A=600,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF。
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求相应的t值，若不能，请说明理由。
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。
/
【答案】（1）能，10；（2） 或12,理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意计算AB的长，再证明四边形AEFD是平行四边形，要成菱形则AD=AE，因此可得t的值.
（2）要使△DEF为直角三角形，则有两种情况：①∠EDF=90°；②∠DEF=90°，分别计算即可.
【详解】
解：（1）能，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，
∴AB=AC=×60=30cm。
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t。∴DF=AE。
∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形。
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。
∴当t=10时，AEFD是菱形。
（2）若△DEF为直角三角形，有两种情况：
①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，
/
则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t= 。
②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，
/
则AE=2AD，即
2t =2×60-8t，解得：t=12。
综上所述，当t= 或12时，△DEF为直角三角形
23．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.．
/
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）的坐标为；（Ⅱ）①，；②.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先根据A点坐标和已知得出AD的长，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理得出CO的长即可得到点E的坐标
（Ⅱ）①根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出，再根据勾股定理得出，再根据得出S与t的函数关系式
②分2和4两种情况，根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出S与t的函数关系式，分别求出s=和s=时t的值即可
【详解】
解：（Ⅰ）由点，得．
又，得．
在矩形中，有，得．
∴在中，．
∴由勾股定理，得．有．
∴点的坐标为．
（Ⅱ）①由平移知，，，．
由，得．
∴在中，．
∴由勾股定理，得．
∴．
∵,
∴．
∴，其中的取值范围是．
②当时，
当S=时，，解得t=
当S=时，，解得t=
当2时，如图，OF=,G=
∴S=
当S=时，=；解得t=4.5
当S=时，=；解得t=；
/
当4时，如图，F=，A=
∴S=（6-t）（6-t）=
当S=时， =；解得t= 或t=
当S=时， =；解得t= 或t=
∴当时，．
/
24．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
【答案】（1）580（个）；（2）70（元）；（3）为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为50元．
【解析】
【分析】
（1）由“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”进行解答； （2）根据“售价+月销量减少的个数÷10”进行解答； （3）设销售价格应定为x元，根据“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”列出方程并解答．
【详解】
解：（1）当售价为42元时，每月可以售出的个数为600﹣10（42﹣40）＝580（个）；
（2）当书包的月销售量为300个时，每个书包的价格为：40+（600﹣300）÷10＝70（元）；
（3）设销售价格应定为x元，则
（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
解得x1＝50，x2＝80，
当x＝50时，销售量为500个；当x＝80时，销售量为200个，
因此为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为50元．
25．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．
（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．
（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．
/
【答案】（1）y＝
12
??
；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．
【解析】
【分析】
（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；
（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
（1）∵矩形的面积为12m2，
∴y＝
12
??
．
∵4≤y≤8，
∴1.5≤x≤3．
（2）∵篱笆长11m，
∴y＝（11﹣2x）m．
依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，
解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），
∴y＝11﹣2x＝8．
答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．
26．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．
【解析】
【分析】
（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【详解】
（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．
化简，得：x2﹣10x+240=0．
解得：x1=30，x2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），．
答：该店应按原售价的8折出售．
27．利民商店经销甲、乙两种商品现有如下信息
信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；
信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．
甲、乙两种商品的进货单价各是多少？
据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？
【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元件，乙种商品的进货单价是6元件（2）当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元
【解析】
【分析】
设甲种商品的进货单价是x元件，乙种商品的进货单价是y元件，根据给定的三个信息，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
当零售单价下降a元件时，每天可售出件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设甲种商品的进货单价是x元件，乙种商品的进货单价是y元件，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种商品的进货单价是5元件，乙种商品的进货单价是6元件．
当零售单价下降a元件时，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．
28．在一张足够大的纸板上截取一个面积为的矩形纸板，如图，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形，如图，设小正方形的边长为厘米.、
（1）若矩形纸板的一个边长为.
①当纸盒的底面积为时，求的值；
②求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当，且侧面积与底面积之比为时，求的值.
/
【答案】（1）①12；②当时，；（2）10
【解析】
【分析】
（1）①根据题意列方程求解即可；
②一边长为90cm，则另一边长为40cm，列出侧面积的函数解析式，配方可得最值；
（2）由EH：EF=7：2，设EF=2m、EH=7m，根据侧面积与底面积之比为9：7建立方程，可得m=x，由矩形纸板面积得出x的值．
【详解】
（1）①矩形纸板的一边长为，
矩形纸板的另一边长为，
（舍去）
②
，
当时，.
（2）设EF=2m，则EH=7m，
则侧面积为2（7mx+2mx）=18mx，底面积为7m?2m=14m2，
由题意，得18mx：14m2=9：7，
∴m=x．
则AD=7x+2x=9x，AB=2x+2x=4x
由4x?9x=3600，且x＞0，
∴x=10．
29．如图，在矩形ABCD中， ， ，将矩形沿直线EF折叠．使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF.
（1）当 时，求AE的长；
（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；
（3）连接CF，当 是以CG为底的等腰三角形时，直接写出BG的长.
/
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据折叠得出AE=EG，据此设AE=EG=x，则有BE=6-x，由勾股定理求解可得； （2）由FG⊥BC时FG的值最小，即此时AF能取得最小值，显然四边形AEGF是正方形，从而根据勾股定理可得答案； （3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC；②FG=GC；分别求解可得．
【详解】
（1）由折叠易知，，设，则有，
由勾股定理，得，解得，即
（2）由折叠易知，，而当时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，
当时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，
当时，点E与点B重合，
此时四边形AEGF是正方形，
折痕.
（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论： ①当FG=FC时，如图2，过F作FH⊥CG于H， / 则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH 设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH 在Rt△CFH中 ∵CF2=CH2+FH2 ∴x2=62+（10-x）2 解得：x=，
∴DF=CH=GH=10-， 即BG=10-×2=， ②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x； ∴GH=x-（10-x）=2x-10， 在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2， 化简得：3x2-40x+136=0， ∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0， ∴此方程没有实数根． 综上可知：BG=．
30．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.
/
【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（4+2
7
，0）或（2，0）或（6，0）.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB?OE＝m?8，由三角形的面积公式得出S＝0.5m2?4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE?OB＝8?m，由三角形的面积公式得出S＝?0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；
②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2?4m＝6，解方程求出m即可；
当S＝6，0＜m＜8时，得出?0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．
【详解】
（1）∵点A（0，8），∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），
故答案为：（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC?BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC?BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±2
7
（负值舍去），∴m=4+2
7
；
当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+2
7
，0）或（2，0）或（6，0）.
/
/
