人教版高中数学选修4-4同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：04极坐标方程--选修4-4

极坐标方程
【学习目标】
1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．
2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程．
【要点梳理】
要点一、极坐标系和点的极坐标
1. 极坐标系定义
（1）在平面内取一定点O，由点O引出一条射线Ox，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴．
要点诠释：
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P的位置可以由OP的长度和从Ox轴旋转到OP的角度来确定，（，）叫做点P的极坐标，叫做点P的极径，叫做点P的极角．极点的极坐标为（0，），其中可以取任何值．
要点诠释：
（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的数量；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此≥0；但必要时，允许＜0．
（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（，）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（，）（≠0），那么这一点也可以表示为（，）或（，）（其中n为整数）．
一般情况下，我们取极径≥0，极角为0≤＜2（或－π＜0≤π）．
如果我们规定＞0，0≤＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．相关点的极坐标
（1）同一个点：如极坐标系中点，，，，，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，（k∈Z）都表示点．于是我们有，一般地，极坐标（，）与（，）（k∈Z）表示平面内的同一个点．特别地，极点O的坐标为（0，）（∈R），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．
这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
（2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、、、，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（，）{这里为定值，}点的轨迹就是以极点为圆心，以为半径的圆．
（3）对称点：（，）关于极轴的对称点为（，），关于极点的对称点为（，），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（，）．
（4）共线的点：如果极坐标为（，），其中为常数，＞0，则表示与极轴成角的射线．
4．极坐标系内两点间的距离公式
设极坐标系内两点，，则．
特例：当，．
要点二、极坐标与直角坐标的互化
1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的轴正半轴重合；
③两种坐标系中长度单位相同
2、互化公式
如图，符合上述三条件的点的极坐标为，直角坐标为，
则①极坐标化直角坐标：
②直角坐标化极坐标：
这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
要点诠释：
由求时，不取负值；由确定时，根据点（x，y）所在的象限取正角．当x≠0时，角才能由按上述方法确定．当x=0时，tan没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，可取任何值；（2）当x=0，y＞0时，可取；（3）当x=0，y＜0时，可取．
要点三、曲线的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程的概念
（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的
极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程．
在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．
要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．
2. 求曲线极坐标方程的步骤．
①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．
②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式．
③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．
要点诠释：
（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系．
（2）今后我们遇到的极坐标方程多是的形式，即是的一个函数．
（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程的图形的对称性：若，则相应图形关于极轴对称；若，则图形关于射线所在的直线对称；若，则图形关于极点O对称．
3．圆的极坐标方程
（1）圆心在极轴上且过极点的圆
圆心在极轴上的点（a，0）处，且圆过极点O（如图所示）．P为圆与极轴的另一交点，为圆上的动点，连接OM和MP，由平面几何知识知OM⊥MP．在直角三角形OMP中，由三角知识可得．
坐标满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为．
也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．
如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a，0），半径为a，故圆的直角坐标方程为 (x－a)2+y2=a2，
即 x2+y2=2ax．
由坐标变换公式得 ，
即 ．
这样就得到前面推导出的极坐标方程．
所以，方程就是圆上任意一点极坐标所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程的点都在这个圆上．
（2）圆心在极点的圆
如果已知⊙O的半径为r，我们可以以圆心为极点，以从圆心O发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r，这时圆的极坐标方程为（∈R）．
4．直线的极坐标方程
（1）过极点的直线的极坐标方程．
如图所示，直线AA＇过极点且与极轴成的角为，即直线AA＇的极坐标方程为
（≥0）和（≥0）．
特别地，我们规定为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为（∈R），或（∈R）．
（2）过点A（a，0）（a＞0）且垂直于极轴的直线的极坐标方程．
如图所示，设为直线上的除A外的任意一点．连接OM，则有△AOM为直角三角形并且∠AOM=，|OA|=a，|OM|=，所以有．
即，化为直角坐标方程为x=a．

（3）过点且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程．
如图所示，设M为直线上任意一点，其极坐标为，连接OM，则有|OA|=a，|OM|=，，在直角三角形AOM中，我们有．
∴，即，化为直角坐标方程为y=a．
【典型例题】
类型一、极坐标系中的点的表示
例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．
【思路点拨】 根据极坐标定义：若M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．
【解析】 由图可知：
A（5，0），，，，E（2，π），，．
【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标．
举一反三：
【变式1】下列各点中与不表示极坐标中同一个点的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C。由点的极坐标定义可得。
【变式2】 设点，直线为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线、极点的对称点的极坐标（限定，）．
【答案】 如图所示． 关于极轴的对称点为．
关于直线z的对称点为． 关于极点D的对称点为．
【变式3】．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于直线θ= (ρ∈R) 对称
D．重合
【答案】A 与点M(ρ,θ)关于极轴对称的点有(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)，关于θ=所在直线对称的点有(-ρ,-θ)或(ρ,π-θ)，关于极点对称的点有(-ρ,θ)或(ρ,π+θ)。
类型二、极坐标与直角坐标互化
例2．（1）将下列点的极坐标化成直角坐标：；。
（2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在之间的极坐标：；。
【思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。
【解析】
（1），，
所以极坐标系中点的直角坐标为。
，，
所以极坐标系中点的直角坐标为。
（2），，
又点在第一象限，所以，
所以直角坐标系中点的极坐标为。
，，
又点在第三象限，所以。
所以直角坐标系中点的极坐标为。
【总结升华】把点的极坐标化成直角坐标时，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用表示。
把点的直角坐标化成极坐标时，关键是依据关系式，且注意由求时，还须结合点所在的象限来确定的值，一般取。
举一反三：
【变式1】点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 都是极坐标
【变式2】将点的极坐标化为直角坐标。
【答案】，。
∴点的直角坐标为
【变式3】 （1）把点M的极坐标化成直角坐标；
（2）把点M的直角坐标（1，－1）化成极坐标．
【答案】（1），，
∴点M的直角坐标是．
（2）应用极坐标与直角坐标的互化关系可得：
．
．
∴（点M在第四象限）．
∴点M的极坐标为．
【变式4】在极坐标系中，已知三点，，，
（1）将三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断三点是否在同一直线上.
【答案】（1），，
（2）,所以三点共线.
类型三、圆的极坐标方程
例3. 求圆心在处并且过极点的圆的极坐标方程．
【思路点拨】 如图所示，设为圆上除O、B外的任意一点，连接OM、MB，则在Rt△BOM中，由|OM|=|OB|·cos∠MOB，即可得、的关系．本题亦可以先求直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程．
【解析】如图所示，设为圆上除O、B外的任意一点，连OM、MB，则有OB=4，OM=，．，从而△BOM为直角三角形，所以有|OM|=|OB|cos∠MOB，
即．
【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系中圆上的点的坐标ρ、θ所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也可以先求出相应的直角坐标方程，再利用，代换，也较为方便．
举一反三：
【变式1】在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【变式2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，
以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
圆的直角坐标方程为，
化为 极坐标方程为，，
∵曲线也过极点，
∴与等价，
∴对应的极坐标方程为.
【变式3】在极坐标系中，半径为1的圆的圆心坐标为，求圆的极坐标方程；
【答案】法一：（1）设在圆上，则，，，，
由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
法二：（1）圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，
即.
类型四、直线的极坐标方程
例4. （2018 海淀区校级模拟）在极坐标系中，直线l的方程为 ，则点A（2， ）到直线l的距离是（ ）
B. C. D.
【答案】B
【解析】直线方程为，展开化为：，
可得直角坐标方程为：x+y=1，
则点A（2， ）化为A（2cos（），2sin（）），即A（，），
所以点A到这条直线的距离 ，故选B。
举一反三：
【变式1】求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；
（2）过点，并且和极轴垂直。
【答案】
（1）由图知，所求的极坐标方程为；

（2）法一：由图知，所求直线的方程为，即.
法二：由图知，所求直线的方程为，即.
【变式2】求（1）过点平行于极轴的直线。
（2）过点且和极轴成角的直线。
【答案】（1）在直线l上任取一点，因为，所以|MH|=2
在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即，所以过点平行于极轴的直线为。
（2）设M为直线上一点。
， =3，
由已知 ，所以，所以
又 在?MOA中，根据正弦定理得
又 将展开化简可得
所以过且和极轴成角的直线为：
类型五、 极坐标方程与直线坐标方程互化
例5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）将代入得化简得
（2）∵ ∴ 化简得：
（3）∵ ∴ 。即 所以 。
化简得 。
（4）由 即 所以
【总结升华】
（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的长度单位相同．
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤＜2π范围内求值．
（3）将直角坐标方程化为极坐标方程最后要注意化简．
（4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
举一反三：
【变式1】极坐标方程表示的曲线为 （ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
【答案】C
则或
【变式2】如图，极坐标方程ρ=asinθ(a>0)所表示的曲线的图形是( )
【答案】C
如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:ρ=asinθ，ρ2=ρasinθ,x2+y2=ay,x2+(y-)2=,图形显然是以(0,)为圆心，为半径的圆.选C.
【变式3】 （1）把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状．
①； ②； ③；④．
【答案】 ①两边同时乘得，
即 x2+y2=2ax．
整理得 x2+y2－2ax=0，即 (x－a)2+y2=a2．
它是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆．
②两边同时乘得，即x2+y2=9x+9y，又可化为
，它是以为圆心，以为半径的圆．
③将=4两边平方得2=16，即x2+y2=16．
它是以原点为圆心，以4为半径的圆．
④，即2x－3y=5，是一条直线．
【变式4】将下列直角坐标方程化为极坐标方程．
① x2+(y－2)2=4； ②x2+y2=4x； ③x+y=2； ④x=2．
【答案】①x2+(y－2)2=4可化为x2+y2=4y．
代入，得，即．
②代入，得，即．
③．
④．
【变式5】已知圆的极坐标方程是，求直线被圆截得的弦长.
【答案】圆的普通方程是：，与直线的交点为，，所以弦长为.
【变式6】已知直线的极坐标方程为，求点A（2，）到这条直线的距离．
【答案】可化为，
即，利用极坐标与直角坐标的互化公式得直线的直角坐标方程为，即。
点A（2，）化为直角坐标为，点A的直角坐标为，利用点到直线的距离公式
，得点A（2，）到这条直线的距离为。
类型六、 极坐标方程的综合应用
例6（2018 兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
【思路点拨】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程.
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．
【解析】（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0
（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，
得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，
即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．
∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1．
∴|AB|=|t1﹣t2|==2．
∵α∈[0，），∴2α∈[0，），
∴2≤|AB|＜2．
即弦长|AB|的取值范围是[2，2）
【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．
举一反三：
【变式1】在极坐标系中，，，则△AOB的面积是________。
【答案】，
∴。
【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.
法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是，，
由此求得圆心距为.
【变式3】（2018 湖南二模）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．
（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
【解析】（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），
则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，
=|OA|．
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．
化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．
C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，
又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，
所以m=2，α=．
【变式4】已知定角，点P在OA上，点Q在OB上，且△POQ的面积为8，设PQ中点为M，求|OM|的最小值。
【答案】以O为极点，OB为极轴建立极坐标系。
设，，，
由题意得，即。
又，。
两式相乘得，
所以。
所以当时，有最小值。
所以|OM|的最小值为。
【巩固练习】
一、选择题
1. （2018春 衡阳县校级期末）点M的直角坐标是 ，则点M的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 极坐标ρ=cos()表示的曲线是( )?
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
3．（2018春 宁夏校级期中）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（　　）
A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1
4．在极坐标系中，已知△ABC三顶点坐标分别为、、，则△ABC的形状为（ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，
以轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线和的位置关系是（ ）．
A． B． C．和重合 D．和斜交
7. 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的直线的方程是( )?
A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=4 D.ρcosθ=-4
二、填空题
8. 设曲线的普通方程为,则它的极坐标方程为 .
9．（2018 河东区一模）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为　　．
10．曲线=0，（≥0）和=4所围成的面积是________．
11.（2018 北京高考）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则丨AB丨=______.
三、解答题
12．（2018 包头校级一模）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
13. 在直角坐标系中，以O为极点，轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与轴，y轴的交点。
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。
14. 在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程.
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】由于，，由，得 ，结合点在第二象限得，，则点M的极坐标为，故选C。
2. 【答案】D
【解析】原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.
3.【答案】C
【解析】∵ρ2cosθ﹣ρ=0，
∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，
∵，
∴x2+y2=0或x=1故选C
4．【答案】B
【解析】 由两点间距离公式得：，
，
。
∴|AB|=|CA|，∴△ABC为等腰三角形。故选B。
5. 【答案】A
【解析】圆的直角坐标方程为，
化为 极坐标方程为，，
∵曲线也过极点，
∴与等价，
∴对应的极坐标方程为.
6．【答案】B
【解析】 对于可化为，，对于可化为:
，，∴。故选B。
7. 【答案】B
【解析】如右图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=，得ρcosθ=2，
∴应选B.
8. 【答案】。
【解析】用代入即得.
9.【答案】4
【解析】∵ρsin（θ+）=2，
∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：
x+y﹣2=0，
圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，
圆心到直线的距离为：
∴截得的弦长为：
2×=．
10．【答案】
【解析】 表示以原点为圆心，4为半径的圆。即x2+y2=42， 表示过原点倾斜角为的直线，表示x轴的正半轴。
如答图，所求面积为扇形OAB的面积。
∴。
11. 【答案】2
【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为，过圆（x-1）2+y2=1的圆心，因此丨AB丨=2，故填：.
12.【解析】（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．
由，得，即，
∴，即．
化为标准方程得：．
圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．
∴直线l与曲线C相离；
（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，
则x+y=sinθ+cosθ=，
∴x+y的取值范围是．
13. 【解析】
（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
14. 【解析】先建系,再由面积求.
以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ,θ),P(1,2θ).
∴S△OAQ+S△OQP=S△OAP.
∴·3ρsinθ+ρsinθ=·3·1·sin2θ.
整理得ρ=cosθ.