人教版高中数学选修4-4同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：05曲线的参数方程--选修4-4

曲线的参数方程
【学习目标】
1. 了解参数方程，了解参数的意义。
2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。
3. 掌握参数方程与普通方程的互化。
4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程
【要点梳理】
要点一、参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标/都是某个变数/的函数，
即 /，
并且对于/的每一个允许值，方程组/所确定的点/都在这条曲线上，那么方程组/就叫做这条曲线的参数方程，联系/间的关系的变数/叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程/，叫做曲线的普通方程。
要点诠释：
（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．
（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。
要点二、求曲线的参数方程
求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：
一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；
例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．
二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
要点诠释：
普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．
要点三、参数方程与普通方程的互化
1、参数方程化为普通方程
（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有：
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．
例如：对于参数方程/如果t是常数，/是参数，那么可以利用公式sin2/+cos2/=1消参；如果/是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m－n)2=4mn消参．
③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等.
要点诠释：
注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
2、普通方程化为参数方程
（1）把曲线/的普通方程/化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系式/，再代入普通方程求得另一个关系式/。
（2）一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等。
要点诠释：
互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性。注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。
要点四、圆的参数方程
（1）圆的参数方程定义：
已知圆心为/，半径为/的圆/的参数方程为：
/（/是参数，/）；
特别：当圆心在原点时，半径为/的圆/的参数方程为：
/（/是参数）。
（2）参数/的几何意义：
/表示/轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
/ /
要点注释：
（1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径.
要点五、圆锥曲线的参数方程
1.椭圆的参数方程
（1）椭圆/（/）的参数方程为/（/为参数）。
（2）参数/的几何意义：
参数/表示椭圆上某一点的离心角。
如图所示，点/对应的离心角为/（过/作/轴，交大圆即以/为直径的圆于/），切不可认为是/。
/
要点注释：从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆/上任意一点可设成/，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
2.双曲线的参数方程
双曲线/（/,/）的参数方程为：
/（/为参数，/且/）。 （注：/）
参数/的几何意义：参数/表示双曲线上某一点的离心角。
双曲线/（/,/）上任意一点的坐标可设为/。
3.抛物线的参数方程
抛物线/(/)的参数方程为/（/是参数）。
参数/的几何意义：抛物线上一点（除顶点）与其顶点/连线的斜率的倒数，即/。
要点六、参数方程的用途
引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面：??? ①有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出；??? ②有些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。
③可以用曲线的参数方程表示曲线上的一点坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决。圆锥曲线的参数方程主要功能就是它。
④有些曲线参数方程的参变量t有几何意义。若能利用参变量的几何意义解题，经常取得想不到的效果。若利用直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使很多难题化易，繁题化简。
总之，我们引进参数方程才能更广泛地研究曲线。【典型例题】
类型一、求曲线的参数方程
过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交
y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【思路点拨】从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
【解析】
设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）
/
/
/
∵M为AB的中点，
/
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；
当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

【总结升华】
本题解法的前半部分用了参数法，求出了动点的参数方程，后半部分通过消参得到了普通方程。
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
举一反三：
【变式1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为/rad／s．试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．

【答案】 如图所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0．
设动点M（x，y）对应时刻t，
由图可知/，
又/（t以s为单位），
得参数方程/．
【变式2】过原点作直线l和抛物线/交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【答案】
由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程/，
得/。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得/。
设A（/），B（/），M（x，y），
由韦达定理得/。
/
由/消去k得/。
又/，所以/。
∴点M的轨迹方程为/。
【变式3】
设飞机以匀速v=150m／s做水平飞行，若在飞行高度h=588 m处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度），
（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标．
【答案】
（1）如图所示，A为投弹点，坐标为（0，588），B为目标，坐标为（x0，0）．记炸弹飞行的时间为t，在A点t=0．设M（x，y）为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻t．炸弹初速度v0=150 m／s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得/，
即/．
这是炸弹飞行曲线的参数方程．
（2）炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0，
即/，解得/．
由此得/．
即飞机在离目标1643m（水平距离）处投弹才能击中目标．
类型二、参数方程与普通方程互化
例2．把下列参数方程化为普通方程
（1）/ (2)/ (/，/为参数)；
（3）/　(/,/为参数)；
【思路点拨】
（1）利用三角恒等式进行消参；
（2）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把/用/表示，反解出/后再代入另一表达式即可消参；
【答案】
（1）∵/，∴/．
/，
即x2+y2=9（0≤x≤3，0≤y≤3）。
（2）∵/，
把/代入得/
又∵/,/,∴/,/,
∴所求方程为/(/,/)
(3)法一：/,
又/，/,
∴所求方程为/(/,/).
法二：由/得/,
代入/得/,
∴/(/,/).
【总结升华】
（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
（2）消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出/、/的范围.
在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
举一反三：
【变式1】将下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型．
（1）/；（2）/；
（3）/．
【答案】
（1）∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－2≤y≤0．
∴x2+y2=4（－2≤x≤2，－2≤y≤0），即下半圆．
（2） ∵(x―3)2+(y―2)2=152cos2/+152sin2/=152，
∴(x―3)2+(y―2)2=225，
它是以（3，2）为圆心，以15为半径的圆．
（3）/， ∴/，
它是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
【变式2】将参数方程/(a为参数)化成普通方程为( )．
A．2x＋y＋1＝0? B．x＋2y＋1＝0
C．2x＋y＋1＝0(－3≤x≤1) D．x＋2y＋1＝0(－1≤y≤1)
【答案】D.
将/＝－y代入x=2/－1，得普通方程x＋2y＋1＝0，
又因为－1≤/≤1，所以有－1≤y≤1，故选D．
【变式3】化下列参数方程为普通方程。
（1）/(t为参数) ；（2）/（t为参数）.
【答案】
（1）由/得/，
代入/化简得/.
∵/,∴/,/.
故所求方程为/（/，/）
（2）两个式子相除得/，代入/得/，即/.
∵/，
故所求方程为/(/).
【变式4】曲线/与坐标轴的交点是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
当/时，/，而/，即/，得与/轴的交点为/；
当/时，/，而/，即/，得与/轴的交点为/
类型三、圆锥曲线的参数方程
例3. （2018 闵行区模拟）若以x轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆x2+y2-2x=0的参数方程为 。
【思路点拨】将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式cos2θ+sin2θ=1进行三角代换转化为参数方程。【解析】　　配方得圆的标准方程（x-1）2+y2=1，　　
令x-1=cosθ，y=sinθ，
得圆的参数方程为（θ为参数）.
【总结升华】　圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用cos2θ+sin2θ=1进行三角代换。
举一反三：
【变式1】 已知圆的方程为x2+y2=2x，写出它的参数方程．
【答案】 x2+y2=2x的标准方程为(x－1)2+y2=1，
设x－1=cos/，y=sin/，
则/（0≤/＜2π），（/为参数）
即为所求的参数方程．
【变式2】已知椭圆的方程为/，将它表示为椭圆的参数方程形式。
【答案】变形得/，令/，/
得椭圆的参数方程为/（/为参数）.
【变式3】已知椭圆的参数方程为/（/为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率和准线方程.
【答案】把/消去参数/得/
∴/,/,得/.
∴/,/.
即：椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为/，
准线方程为：/和/.
【变式4】若点/在以点/为焦点的抛物线/上，则/等于（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】C
抛物线为/，准线为/，/为/到准线/的距离，即为/
【变式4】圆的参数方程为/，则此圆的半径为_______________。
【答案】/。 由/ 得/，故半径为5.
类型四、曲线参数方程的应用
例4. 已知实数x, y满足/,求:
（1）x2+y2的最大值；
（2）x+y的最小值.
【思路点拨】充分利用圆的参数方程
【解析】原方程配方得/，表示以/为圆心，2为半径的圆.
用参数方程表示为:/ （/为参数，0≤/＜2/）.
（1）//
∴当/，即/时，(x2+y2)max=16.
（2）/
∴当/， 即/时，/.
【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。
举一反三：
【变式1】已知点/是圆/上的动点，
（1）求/的取值范围；
（2）若/恒成立，求实数/的取值范围。
【答案】
（1）设圆的参数方程为/，
/
/
（2）/
/
/
【变式2】 如图，设矩形ABCD的顶点C坐标为（4，4），点A在圆x2+y2=9（x≥0，y≥0）上移动，且AB、AD两边分别平行于x轴、y轴．求矩形ABCD面积的最小值及对应点的坐标．
【答案】
设A（3cos/，3sin/）（0＜/＜90°），则|AB|=4－3sin/，
∴S=|AB|·|AD|=(4―3cos/)(4―3sin/)=16―12(cos/+sin/)+9cos/sin/．
令t=cos/+sin/（/），则2cos/sin/=t2－1．
∴//，
∴/时，矩形ABCD的面积S取得最小值/．
此时/，解得/．
∴对应点A的坐标为/或/．
【变式3】圆/上到直线/的距离为/的点共有_______个.
【答案】已知圆方程为/，
设其参数方程为/（/）
则圆上的点/到直线/的距离为
/
/，即/，
∴/或/
又/，∴/，从而满足要求的点一共有三个.
例5（2018 湖南二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：/ （t为参数），C2：/（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=/，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．
【解析】（Ⅰ）曲线C1：/ （t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，
∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．
C2：/（θ为参数），化为/．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当t=/时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M/，
直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，
M到C3的距离d=/=/|5sin（θ+φ）+13|，
从而当cossinθ=/，sinθ=﹣/时，d取得最小值/．
举一反三：
　【变式1】（2018 衡水校级一模）已知曲线C1：/（t为参数），C2：/（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=/，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：/（t为参数）距离的最小值．
【解析】（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为/，
C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当/时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故/，C3为直线x﹣2y﹣7=0，
求得M到C3的距离/=/|/cosθ﹣/sinθ﹣/|=/|sin（θ+α）﹣/|，其中，sinα=/，cosα=﹣/．
从而当sin（θ+α）=1，即当 /时，d取得最小值为 /．
【变式2】在椭圆中作内接矩形，求内接矩形的最大面积.
【答案】如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是
A（）（），矩形的面积是S 。
?/，当且仅当时，。
所以内接矩形的最大面积为40.
【变式3】 过椭圆//(a>b>c>0)的短轴的一个端点(0，-b)作椭圆的弦，则此弦的最大值为（ ）??? A.2a???? B.2b???? C.a+b ??? D.a-b【答案】B
设A为椭圆上除B以外的另一点A(acosθ，bsinθ)，??? /??? 当0【巩固练习】
一、选择题
1．已知某条曲线的参数方程为/，则该曲线是（ ）．
A．线段 B．圆弧 C．双曲线的一支 D．射线
2．下列在曲线/上的点是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
3．将参数方程/化为普通方程为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
4.（2018春 钦州期末）圆心C（2,1），半径为3的圆的参数方程是（ ）
A. （θ为参数） B. （θ为参数）
C. （θ为参数） D. （θ为参数）
5．与参数方程为/等价的普通方程为（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
6．若x、y满足(x－1)2+(y－1)2=4，则s=x+y的最小值为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
7．直线y＝kx＋2与曲线/至多一个交点的充要条件是( )．
A．k∈[－/，/] B．k∈(－∞，－/]∪［/，＋∞)
C．k∈[－/，/] D．k∈(－∞，－/]∪［/，＋∞)
8．已知点P（x，y）在曲线/（/为参数）上，则/的取值范围为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
二、填空题
9．将参数方程//化为普通方程是________．
10. （2018 宝山区模拟）椭圆 （θ为参数）的焦距为______.
11.当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为___________。
12．已知曲线/上的两点/对应的参数分别为/，/，那么/=_______________。
三、解答题
13．（2018 焦作一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+/）=/a，曲线C2的参数方程为/，（θ为参数，0≤θ≤π）．
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．
14．在椭圆/上找一点，使这一点到直线/的距离的最小。
15．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
（2）求弦AB中点的参数方程．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 消去参数t，将其化为普通方程，并注意x、y的范围即可确定。
由题中的参数方程/（0≤t≤5），消去参数t，得x－3y=5。又0≤t≤5，故题中所给曲线是线段。
2．【答案】B
【解析】 转化为普通方程：/，当/时，/
3．【答案】C
【解析】 转化为普通方程：/，但是/
4.【答案】A
【解析】设圆上任意一点的坐标为（x，y），该点与圆心（2,1）连线的倾斜角为θ，所以圆的参数方程为：（θ为参数），故选A。
5．【答案】D
【解析】 /
6．【答案】A
【解析】 设x―1=2cos/，y―1=2sin/，（0≤/＜2π），
∴/
∴s的最小值为/。故选A。
7．【答案】A
【解析】曲线的普通方程为/．与直线方程联立，得一元二次方程．令判别式Δ≤0，得－/≤k≤/．
8．【答案】C
【解析】 曲线/（/为参数）是以（－2，0）为圆心，
以1为半径的圆，设/，求/的取值范围，即求当直线y=kx
与圆有公共点时k的取值范围，如图。
9．【答案】x2+y2=9（0≤x≤3，0≤y≤3）
【解析】 ∵/，
∴0≤x≤3，0≤y≤3，x2+y2=9cos2/+9sin2/=9。
10.【答案】6
【解析】消去参数θ得： ，所以 ，所以，焦距为2c=6，故填,6.
11. 【答案】
【解析】把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
12．【答案】/
【解析】 显然线段/垂直于抛物线的对称轴。即/轴，/
13.【解析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（/sinθ+/cosθ）=/a，
∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．
（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，
如图所示
/
，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，
当直线C1过点P时，利用/得a=﹣2±/，
舍去a=﹣2﹣/，则a=﹣2+/，
当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，
∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+/时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．
14．【解析】设椭圆的参数方程为/，/
/
当/时，/，此时所求点为/。
15．【解析】
（1）联立方程组/，得/，/，以/代替上式
中的k，得方程组
/。解得/，/。
∴/，/。
（2）由（1）可得/，
/。
∴弦AB中点M的轨迹的参数方程为/。