人教版高中数学选修4-4同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：06直线的参数方程--选修4-4

直线的参数方程
【学习目标】
1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．
2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。
【要点梳理】
要点一、直线的参数方程的标准形式
1. 直线参数方程的标准形式：
经过定点/，倾斜角为/的直线/的参数方程为：
/（/为参数）；
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。
2. 参数/的几何意义：
参数/表示直线/上以定点/为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即/，/表示直线上任一点M到定点/的距离。
当点/在/上方时，/；
当点/在/下方时，/；
当点/与/重合时，/；
/
要点注释：若直线/的倾角/时，直线/的参数方程为/.
要点二、直线的参数方程的一般形式
过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=/的直线的参数方程是
/(t为参数)
在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是/｜t｜.
要点三、化直线参数方程的一般式为标准式
一般地，对于倾斜角为/、过点M0(/)直线/参数方程的一般式为，. / （t为参数）， 斜率为/
当/＝1时，则t的几何意义是有向线段/的数量.
当/≠1时，则t不具有上述的几何意义.
/可化为/ 令t(=/
则可得到标准式/ t(的几何意义是有向线段/的数量.
要点四、直线参数方程的应用
1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：
设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
/ （t为参数）
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
（1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3) 线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=/
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜/｜
(4) 若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.?
2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：
（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。
一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。
(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型 直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数/；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。
（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|，
由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程
解决为好
【典型例题】
类型一、直线的参数方程
例1. （2018春 福州校级期中）直线 （t为参数）的倾斜角是（ ）
20° B. 70° C. 110° D. 160°
【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。
【答案】D
【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．
把参数方程改写成，
消去t，有，
即，所以直线的倾斜角为160°．
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程，
所以直线的倾斜角为160°，选D．
【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如/（t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。
举一反三：
【变式1】 已知直线/的参数方程为/（t为参数），求直线/的倾斜角．
【答案】 关键是将已知的参数方程化为/的形式。
若化成另一种形式/，
若2t为一个参数，则/，在/内无解；
而化成/时，则/得/．
故直线/的倾斜角为/．
【变式2】求直线/的斜率。
【答案】/
∴/
【变式3】/为锐角，直线/的倾斜角（ 　　 ）。
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】/，相除得/，
∵/，∴倾角为/，选C。
【变式4】 已知直线/的参数方程为/，/的参数方程为/．试判断/与/的位置关系．
【答案】
解法一：将直线/化为普通方程，得y=2x+1，将/化为普通方程，得/．
因为/，所以两直线垂直．
解法二：由参数方程可知/的方向向量是a1=（2，4），/的方向向量是a2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0， ∴/．
即两条直线垂直．
例2．设直线的参数方程为/．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）化参数方程为标准形式．
【思路点拨】
在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正．
【解析】（1）把/代入y的表达式，
得/，
化简得4x+3y－50=0．
所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0．
（2）把方程变形为
/，
令u=－5t，则方程变为/．
记/，/，
∴直线参数方程的标准形式是： /
【总结升华】
已知直线的参数方程为/（t为参数），由直线的参数方程的标准形式/可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为/再令/，/，由直线倾斜角的范围，使/在[0，π）范围内取值，并且把/看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为/（t为参数）．由上述过程可知，一般参数方程中的/具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。
举一反三：
【变式1】写出经过点M0（－2，3），倾斜角为/的直线/的标准参数方程，并且求出直线/上与点M0相距为2的点的坐标.
【答案】直线/的标准参数方程为/ 即/（t为参数）（1）
设直线/上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,
则| M0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式
当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（－2－/，3＋/）；
当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（－2＋/，3－/）.
【变式2】直线的参数方程/能否化为标准形式？
【答案】 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)
/// 令t(=/
得到直线/参数方程的标准形式/ t(的几何意义是有向线段/的数量.
【变式3】化直线/的普通方程/＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的
几何意义.
【答案】令y=0,得/＝1，∴直线/过定点(1,0). k＝－/=－/
设倾斜角为/，tg/=－/,/= /, cos/ =－/, sin/=/
/的参数方程为/ （t为参数）
t是直线/上定点M0（1，0）到t对应的点M(/)的有向线段/的数量.由/ (1)、(2)两式平方相加,得/
∣t∣＝/∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M(/)的有向线段/的长.
类型二、直线的标准参数方程的初步应用
例3． 设直线/过点A（2，－4），倾斜角为/．
（1）求/的参数方程；
（2）设直线/，/与/的交点为B，求点B与点A的距离．
【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求较容易.
【解析】（1）直线的参数方程为/， 即/（t为参数）．
（2）如图所示，B点在/上，只要求出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距离．
把/的参数方程代入/的方程中，
得/，
∴/，
∴/．
由t为正值，知/．
【总结升华】
（1）求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式．而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普通方程．
（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点．
举一反三：
【变式1】已知直线/与直线/相交于点/，又点/，
则/_______________。
【答案】/。 将/代入/得/，则/，而/，得/
【变式2】已知直线l1过点P(2，0)，斜率为/．
(1)求直线l1的参数方程；
(2)若直线l2的方程为x＋y＋5＝0，且满足l1∩l2＝Q，求|PQ|的值．
【答案】(1) 设直线的倾斜角为?，由题意知tan ?＝/，
所以sin ?＝/，cos ?＝/，故l1的参数方程为/(t为参数)．
(2)将/代入l2的方程得：2＋/t＋/t＋5＝0，解得t＝－5，即Q(－1，－4)，所以|PQ|＝5．
【变式3】求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A' 的坐标。
【答案】
由条件，设直线AA' 的参数方程为 (t是参数)，
∵A到直线l的距离d = ， ∴ t = AA' = ，
代入直线的参数方程得A' (? ，)。
【变式4】 已知直线/过点P（3，2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线/的方程．
【答案】设直线的倾斜角为/，
则它的参数方程为/（t为参数）．
由A、B分别是x轴、y轴上的点知yA=0，xB=0，
∴0=2+t sin/，即/；
0=3+t cos/，即/．
故/．
∵90°＜/＜180°，
∴当2/=270°，即/=135°时，|PA|·|PB|有最小值．
∴直线方程为/（t为参数），
化为普通方程为x+y－5=0．
类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用
例4. 经过点/，倾斜角为/的直线/与圆x2+y2=25相交于B、C两点．
（1）求弦BC的长；
（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；
（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；
（4）当/变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程．
【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．
【解析】取AP=t为参数（P为/上的动点），
则/的参数方程为/，
代入x2+y2=25，整理得
/．
∵Δ=9(2cos/+sin/)2+55＞0恒成立．
∴方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(2cos/+sin/），/．
（1）/．
（2）∵A为BC中点，∴t1+t2=0，
即2cos/+sin/=0，∴tan/=－2．．
故直线BC的方程为/，
即4x+2y+15=0．
（3）∵/，
∴(2cos/+sin/)2=1，∴cos/=0或/．
∴直线BC的方程是x=－3或3x+4y+15=0．
（4）∵BC的中点M对应的参数是/，
∴点M的轨迹方程为
//，
∴/．
∴/．
即点M的轨迹是以/为圆心，以/为半径的圆．
【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便．
举一反三：
【变式1】直线/和圆/交于/两点，则/的中点坐标为（ ） A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D
/，得/，/
中点为/
【变式2】求直线/（/为参数）被双曲线/截得的弦长。
【答案】把直线参数方程化为标准参数方程/
/
/
/
/
/
【变式3】过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线/相交于A、B两点，求线段AB的长．
【答案】直线的参数方程为/曲线/可以化为/．
将直线的参数方程代入上式，得/．设A、B对应的参数分别为/，
∴/． AB/＝/．
例5（2018 鞍山一模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为/（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（1）求点T的极坐标；
（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．
【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2=0．
将/代入上式并整理得/．
解得/．∴点T的坐标为/．
其极坐标为/…（5分）
（2）设直线l'的方程为/．
由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为/
则，/．解得k=0，或/．
直线l'的方程为/，或/．
其极坐标方程为/（ρ∈R）
举一反三：
【变式1】已知直线/经过点/,倾斜角/，
（1）写出直线/的参数方程。
（2）设/与圆/相交与两点/，求点/到/两点的距离之积。
【答案】（1）直线的参数方程为/，即/
（2）把直线/代入/
得/
/，则点/到/两点的距离之积为/
【变式2】（2018 杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为/（t为参数）．在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．
【解析】（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．
（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将/代入（x﹣2）2+y2=4整理得/，
∴/，即t1，t2异号．
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=/=/．
?【变式3】 设M、N是抛物线y2=2px (p>0)的对称轴上的相异两点，且|OM|=|ON|（O为坐标轴原点），过M、N作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P1、P2两点和Q1、Q2两点.求证：|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|???
【答案】设点M、N的坐标为M(a，0)，N(-a，0) (a>0)，
两平行线P1P2，Q1Q2的倾角为α，则直线P1P2的标准参数方程为/代入抛物线方程y2=2px，得t2sin2α-2ptcosα-2pa=0 由t的几何意义得/?同理Q1Q2的参数方程为/ 得/?∴|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|
【巩固练习】
一、选择题
1．下列可以作为直线2x－y+1=0的参数方程的是（ ）
A．/（t为参数） B．/（t为参数）
C．/（t为参数） D．/（t为参数）
2. （2018春 吉安期末）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x-2y-1=0和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为（ ）
A.4 B.0 C. 2 D. -4
3．曲线/与坐标轴的交点是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
4．直线的参数方程为/（t为参数），则它的倾角为（ ）.
A．/ 　　　 B．/ 　　　 C．/ 　　　 D．/
5．直线/（t为参数）上对应t=0，t=1两点间的距离是（ ）．
A．1 B．/ C．10 D．/
6．直线/(t为参数)上与点A(2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )．
A．(1，－2)或(3，－4)
B．(2－/，－3＋/)或(2＋/，－3－/)
C．(2－/，－3＋/)或(2＋/，－3－/)
D．(0，－1)或(4，－5)
7．（2018春 沈阳校级期末）直线 (t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
8.直线/过定点_________.
9.直线/上与点/的距离等于/的点的坐标是_______.
10．直线/的参数方程为/，直线/的极坐标方程为/，则/与/的夹角为________．
11．（2018 湖北模拟）在直角坐标系中，参数方程为/（t为参数）的直线l，被以原点为极点、x轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C所截，则截得的弦长是　　．
三、解答题
12. 已知直线/过点M0（1，3），倾斜角为/，判断方程/（t为参数）和方程/（t为参数）是否为直线/的参数方程？如果是直线/的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.
13. 已知直线/经过点P（1,－3/）,倾斜角为/，
(1)求直线/与直线/：/的交点Q与P点的距离| PQ|；
(2)求直线/和圆/＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.
14. 设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与/轴平行，开口向右，
直线y=2/+7被抛物线截得的线段长是4/，求抛物线方程.
15.（2018 锦州一模）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角/，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为/，所以可以排除A、D两项；B、C两若中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y+3=0，故选C。
2. 【答案】A
【解析】直线l2的普通方程为2x-ay-a=0，因为直线l1的斜率为 ，直线l2的斜率为，所以，解得a=4，故选A。
3．【答案】B
【解析】当/时，/，而/，即/，得与/轴的交点为/；
当/时，/，而/，即/，得与/轴的交点为/
4．【答案】D；
【解析】
由题/,
因/,故/,应选Ｄ.
5．【答案】B
【解析】 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不个有几何意义，故不能直接由1－0=1来求距离，应将t=0，t=1分别代入方程得到两点坐标（2，－1）和（5，0），由两点间距离公式来求出距离，即/。
6．【答案】C
【解析】由(－t)2＋(t)2＝12，t＝±/．
7．【答案】B
【解析】直线的普通方程为x-2y+3=0，圆的圆心为（0,0），半径为r=3，所以圆心到直线的距离 ，弦长为 ，故选B。
8．【答案】/；
【解析】/，/对于任何/都成立，则/
9．【答案】/,或/；
【解析】/
10．【答案】/
【解析】 直线/的参数方程可化为
/。
∴其倾斜角为/。直线/的倾斜角为/。
∴/与/的夹角为/。
11.【答案】/
【解析】由题意知，直线l的倾斜角为30°，
并过点A（2，0）；曲线C是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，
且圆C也过点A（2，0）；设直线l与圆C的另一个交点为B，
在Rt△OAB中，/．
12. 【解析】由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线/的的普通方程
/，所以，以上两个方程都是直线/的参数方程，其中
/ cos/ =/, sin/=/，是标准形式，参数t是有向线段/的数量.，而方程/是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.
13. 【解析】(1)∵直线/经过点P（1,－3/）,倾斜角为/,∴直线/的标准参数方
程为/，即/（t为参数）代入直线/：
/ 得/ 整理，解得t=4+2/
t=4+2/即为直线/与直线/的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几
何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+2/.
(2) 把直线/的标准参数方程为/（t为参数）代入圆的方程
/＝16，得/,整理得：t2－8t+12=0，
Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12
根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆/＝16的两个交点
A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,
所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12
14. 【解析】由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（/，2）
方程为(y―2)2=2P(x－/) (P>0) ①
∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－/)
/P=－8－P 代入① 得(y―2)2=2P/＋2P+16 ②
将直线方程y=2/+7化为标准的参数方程tg/=2, /为锐角，
cos/ =/, sin/=/ 得/（t为参数） ③
∵直线与抛物线相交于A，B, ∴将③代入②并化简得：
/＝0 ，由Δ=/>0,可设方程的两根为t1、t2，
又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ /＝4/
/=(4/)2 化简，得(6－P)2=100
∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y―2)2=32/＋48
15.【解析】（1）直线的参数方程为/，即/．
（2）把直线/代入x2+y2=4，
得/，t1t2=﹣2，
则点P到A，B两点的距离之积为2．