人教版高中数学选修4-4同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：07《坐标系与参数方程》全章复习与巩固--选修4-4
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选修4-4同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：07《坐标系与参数方程》全章复习与巩固--选修4-4 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 678.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-22 21:53:02 | ||
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文档简介
《坐标系与参数方程》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
4. 了解参数方程，了解参数的意义.
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：向量的有关概念
1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点的极坐标
平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对
就叫做点的极坐标。
（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；
当时表示极点；
当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。
（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，
, 均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：
直角坐标化极坐标：；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.
（2）过垂直于极轴的直线：
5. 圆的极坐标方程：
（1）以极点为圆心，为半径的圆：.
（2）若，，以为直径的圆：
要点二：参数方程
1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
要点三：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
（为参数，为为常数，）；
其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线（,）的参数方程为（为参数）。
5. 抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
【典型例题】
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，
【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。
【解析】它们依次是或；；（）.
示意图如下：
【总结升华】应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。
举一反三：
【变式】已知点，则点
（1）关于对称点的坐标是_______，
（2）关于直线的对称点的坐标为________ 。
【答案】(1) 由图知：,，所以；
(2) 直线即，所以或（）
例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
【思路点拨】依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。
【解析】（1）方程变形为,
∴或，即或，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得,即，
故原方程表示直线。
(3) 变形为, 即，
整理得，
故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。
（4）变形为,
∴,即,
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。
【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。
举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.
(1)； (2), 其中；
(3) (4)
【答案】：
(1)∵ ，∴即,
故原方程表示是圆.
(2)∵, ∴，
∴，∴或，
∴或
故原方程表示圆和直线.
(3)由，得即，整理得
故原方程表示抛物线.
(4) 由得,
∴，即
故原方程表示圆.
【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.
【答案】将代入方程得.
例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。
【思路点拨】数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。
【解析】（1）由图知，所求的极坐标方程为；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.
（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.
【总结升华】抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.
举一反三：
【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。
【答案】：。
（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是
；
（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。
【变式2】解下列各题
（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_____，平行于极轴的切线方程为_____；
（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆的圆心为________。
【答案】（1）（方法一）
设在圆上，则，，，，
由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
其平行于极轴的切线方程为和。
（方法二）圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，即.
又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，
即和
（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心距为.
（方法二）圆即的圆心为，
圆即的圆心为，
∴两圆圆心距为.
（3）（方法一）令得，∴圆心为。
（方法二）圆即的圆心为，即.
类型二：参数方程与普通方程互化
例4．把参数方程化为普通方程
(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；
（3） (,为参数)； （4） (为参数).
【思路点拨】
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。
【解析】（1）∵，把代入得；
又∵ ,, ∴,,
∴ 所求方程为：(,)
(2)∵,把代入得.
又∵，
∴ ,. ∴ 所求方程为(,).
(3) （法一）：,
又，,
∴ 所求方程为(,).
（法二）：由得,代入,
∴（余略）.
(4) 由 得, ∴,由得,
当时，；当时，，从而.
法一:，
即（），故所求方程为（）
法二: 由 得，代入得，即
∴再将代入得，化简得.
【总结升华】
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.
【答案】：（1）由得，代入化简得.
∵, ∴,.
故所求方程为（，）
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵ ，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点
C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点
【答案】：
（1）
其中，，∴ 半径为5。
（2），且，因而选B。
【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】：
（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
（2），相除得，
∵，∴ 倾角为，选C。
【变式4】在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
【答案】1
【解析】先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式.
【变式5】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
【答案】C解:∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,
例5．已知曲线的参数方程（、为常数）。
（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
【思路点拨】通过消参，化为普通方程，再做判断。
【解析】（1）方程可变形为（为参数，为常数）
取两式的平方和，得
曲线是以为圆心，为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得，即,
曲线是过点且斜率的直线。
【总结升华】从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
举一反三：
【变式】已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为
，则点到直线的距离为
【答案】．
【解析】依题已知直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为．
【变式2】已知圆锥曲线方程为。
（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】（1）方程可化为
消去,得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，
消去，得，
∴曲线为椭圆，其中，，，从而。
类型三：其他应用
例6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
【思路点拨】由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。
【解析】设椭圆上第一象限的点，则
当且仅当时，取最大值，此时点.
【总结升华】利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：
【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，则
，
（当且仅当即时取等号）。
∴点到直线的最小距离为，此时点，即。
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.
【答案】：已知圆方程为，
设其参数方程为（）
则圆上的点到直线的距离为
，即
∴或
又 ，∴，从而满足要求的点一共有三个.
【变式3】在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ，利用，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
解得
【巩固练习】
1．极坐标方程所表示的曲线是（ ）。
A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆
2．已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。
3．曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程是（ ）。
A、x2+(y+2)2=4 B、x2+(y-2)2=4 C、(x-2)2+y2=4 D、(x+2)2+y2=4
4．圆的圆心极坐标和半径是（ ）。
A、 B、
C、 D 、
5.直线和直线=1的位置关系是（ ）
A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、无法确定
6.已知点P的极坐标为（1，），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
7.直线的参数方程是，则过点（4，-1）且与平行的直线在y轴上的截距是 .
8.直线的参数方程为，则直线的斜截式方程是
9.曲线x2-y=0的参数方程是（ ）.
A、 B、
C、 D、
10．设椭圆+=1内接四边形ABCD，其中A(4,0), C(0, 5)，求四边形ABCD面积的最大值.
11.点P位于第一象限且在椭圆上，O为原点，A(a,0),B(0,b)，求四边形OAPB的面积的最大值，并求出此时P点的坐标.
12.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
(1)求的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.
13．在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
14. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为．
（I）写出C的直角坐标方程；
（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．
15. 实数、满足，求（1），（2）的取值范围.
16. 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案与解析】
1．答案：D．
解析：表示圆，变到只是极角的旋转，所以曲线形状仍为圆。
2．答案：。
解析：（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程即可求出；
（方法二）若能抓住是将绕极点顺时针旋转，易知，极点到距离为。
3．答案：B．
4．答案：C．
3．答案：B．
解析：将极坐标下的方程转化为直角坐标系下的方程，再来求这两条直线的关系。
6.答案：C
解析：如图，在所求的直线上任取(),则OP=OAcos∠POA,即1=),
7.答案：-4
8.答案：
9.答案：D
10．解：设椭圆上一点，直线AC方程为5x+4y-20=0.
设P到AC的距离为d.
则d==.
∴=, =,
∴ SABCD=|AC|(+)
=.
11.解：设,
当时，SOAPB有最大值.此时，P点的坐标为.
12.解：(Ⅰ)由点在直线上,可得
所以直线的方程可化为
从而直线的直角坐标方程为
(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为
所以圆心为,半径
以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交
13．解:∵直线的参数方程为
∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,
14. 答案：（I）；（II）．
解：（I）由，
从而有.
(II)设,则，
故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.
15. 解：（1）由已知，
设圆的参数方程为（为参数）
∴
∵，∴
（2）
∵，∴.
16. 解：将消去参数,化为普通方程,
即:,将代入得, ,
∴的极坐标方程为;
(Ⅱ)的普通方程为,
由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.
【学习目标】
1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
4. 了解参数方程，了解参数的意义.
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：向量的有关概念
1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点的极坐标
平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对
就叫做点的极坐标。
（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；
当时表示极点；
当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。
（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，
, 均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：
直角坐标化极坐标：；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
4. 直线的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.
（2）过垂直于极轴的直线：
5. 圆的极坐标方程：
（1）以极点为圆心，为半径的圆：.
（2）若，，以为直径的圆：
要点二：参数方程
1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
要点三：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
（为参数，为为常数，）；
其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线（,）的参数方程为（为参数）。
5. 抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
【典型例题】
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，
【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。
【解析】它们依次是或；；（）.
示意图如下：
【总结升华】应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。
举一反三：
【变式】已知点，则点
（1）关于对称点的坐标是_______，
（2）关于直线的对称点的坐标为________ 。
【答案】(1) 由图知：,，所以；
(2) 直线即，所以或（）
例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
【思路点拨】依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。
【解析】（1）方程变形为,
∴或，即或，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得,即，
故原方程表示直线。
(3) 变形为, 即，
整理得，
故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。
（4）变形为,
∴,即,
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。
【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。
举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.
(1)； (2), 其中；
(3) (4)
【答案】：
(1)∵ ，∴即,
故原方程表示是圆.
(2)∵, ∴，
∴，∴或，
∴或
故原方程表示圆和直线.
(3)由，得即，整理得
故原方程表示抛物线.
(4) 由得,
∴，即
故原方程表示圆.
【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.
【答案】将代入方程得.
例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。
【思路点拨】数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。
【解析】（1）由图知，所求的极坐标方程为；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.
（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.
【总结升华】抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.
举一反三：
【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。
【答案】：。
（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是
；
（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。
【变式2】解下列各题
（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_____，平行于极轴的切线方程为_____；
（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆的圆心为________。
【答案】（1）（方法一）
设在圆上，则，，，，
由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
其平行于极轴的切线方程为和。
（方法二）圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，即.
又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，
即和
（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心距为.
（方法二）圆即的圆心为，
圆即的圆心为，
∴两圆圆心距为.
（3）（方法一）令得，∴圆心为。
（方法二）圆即的圆心为，即.
类型二：参数方程与普通方程互化
例4．把参数方程化为普通方程
(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；
（3） (,为参数)； （4） (为参数).
【思路点拨】
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。
【解析】（1）∵，把代入得；
又∵ ,, ∴,,
∴ 所求方程为：(,)
(2)∵,把代入得.
又∵，
∴ ,. ∴ 所求方程为(,).
(3) （法一）：,
又，,
∴ 所求方程为(,).
（法二）：由得,代入,
∴（余略）.
(4) 由 得, ∴,由得,
当时，；当时，，从而.
法一:，
即（），故所求方程为（）
法二: 由 得，代入得，即
∴再将代入得，化简得.
【总结升华】
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.
【答案】：（1）由得，代入化简得.
∵, ∴,.
故所求方程为（，）
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵ ，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点
C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点
【答案】：
（1）
其中，，∴ 半径为5。
（2），且，因而选B。
【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。
A、 B、 C、 D、
（2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】：
（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
（2），相除得，
∵，∴ 倾角为，选C。
【变式4】在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
【答案】1
【解析】先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式.
【变式5】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
【答案】C解:∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,
例5．已知曲线的参数方程（、为常数）。
（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
【思路点拨】通过消参，化为普通方程，再做判断。
【解析】（1）方程可变形为（为参数，为常数）
取两式的平方和，得
曲线是以为圆心，为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得，即,
曲线是过点且斜率的直线。
【总结升华】从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
举一反三：
【变式】已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为
，则点到直线的距离为
【答案】．
【解析】依题已知直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为．
【变式2】已知圆锥曲线方程为。
（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】（1）方程可化为
消去,得：
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
（2）方程化为，
消去，得，
∴曲线为椭圆，其中，，，从而。
类型三：其他应用
例6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
【思路点拨】由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。
【解析】设椭圆上第一象限的点，则
当且仅当时，取最大值，此时点.
【总结升华】利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：
【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，则
，
（当且仅当即时取等号）。
∴点到直线的最小距离为，此时点，即。
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.
【答案】：已知圆方程为，
设其参数方程为（）
则圆上的点到直线的距离为
，即
∴或
又 ，∴，从而满足要求的点一共有三个.
【变式3】在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ，利用，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线l的直角坐标方程为.
(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
解得
【巩固练习】
1．极坐标方程所表示的曲线是（ ）。
A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆
2．已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。
3．曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程是（ ）。
A、x2+(y+2)2=4 B、x2+(y-2)2=4 C、(x-2)2+y2=4 D、(x+2)2+y2=4
4．圆的圆心极坐标和半径是（ ）。
A、 B、
C、 D 、
5.直线和直线=1的位置关系是（ ）
A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、无法确定
6.已知点P的极坐标为（1，），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
7.直线的参数方程是，则过点（4，-1）且与平行的直线在y轴上的截距是 .
8.直线的参数方程为，则直线的斜截式方程是
9.曲线x2-y=0的参数方程是（ ）.
A、 B、
C、 D、
10．设椭圆+=1内接四边形ABCD，其中A(4,0), C(0, 5)，求四边形ABCD面积的最大值.
11.点P位于第一象限且在椭圆上，O为原点，A(a,0),B(0,b)，求四边形OAPB的面积的最大值，并求出此时P点的坐标.
12.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
(1)求的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.
13．在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
14. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为．
（I）写出C的直角坐标方程；
（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．
15. 实数、满足，求（1），（2）的取值范围.
16. 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案与解析】
1．答案：D．
解析：表示圆，变到只是极角的旋转，所以曲线形状仍为圆。
2．答案：。
解析：（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程即可求出；
（方法二）若能抓住是将绕极点顺时针旋转，易知，极点到距离为。
3．答案：B．
4．答案：C．
3．答案：B．
解析：将极坐标下的方程转化为直角坐标系下的方程，再来求这两条直线的关系。
6.答案：C
解析：如图，在所求的直线上任取(),则OP=OAcos∠POA,即1=),
7.答案：-4
8.答案：
9.答案：D
10．解：设椭圆上一点，直线AC方程为5x+4y-20=0.
设P到AC的距离为d.
则d==.
∴=, =,
∴ SABCD=|AC|(+)
=.
11.解：设,
当时，SOAPB有最大值.此时，P点的坐标为.
12.解：(Ⅰ)由点在直线上,可得
所以直线的方程可化为
从而直线的直角坐标方程为
(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为
所以圆心为,半径
以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交
13．解:∵直线的参数方程为
∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,
14. 答案：（I）；（II）．
解：（I）由，
从而有.
(II)设,则，
故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.
15. 解：（1）由已知，
设圆的参数方程为（为参数）
∴
∵，∴
（2）
∵，∴.
16. 解：将消去参数,化为普通方程,
即:,将代入得, ,
∴的极坐标方程为;
(Ⅱ)的普通方程为,
由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.