人教版高中数学选修4-5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10几个重要不等式--选修4-5
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选修4-5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10几个重要不等式--选修4-5 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 488.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-22 21:54:45 | ||
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文档简介
几个重要不等式
【学习目标】
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用.
2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用.
3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题.
4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.
5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一：柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
代数形式（定理1）
对任意实数，则.
（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）.
向量形式：
设是平面上任意两个向量，则.
（当且仅当向量与向量共线时，等号成立）。
三角形式:
对任意实数，则
（当且仅当时，等号成立.）
证明：
几何背景：
如图，在三角形中，
，
则
将以上三式代入余弦定理，并化简，可得
或
因为，所以，，
于是
要点诠释：
（1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（2）定理1的变形：
若a、b、c、d都是正实数，则，（当且仅当向量与向量共线，即时，，等号成立）
2. 一般形式的柯西不等式
定理2 设与是两组实数，则
，
当且仅当向量与向量共线时，等号成立。
要点诠释：
（1）使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数：
，，…， ，
，，…， ，
其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。 （3）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。 （4）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。
要点二：排序不等式
定理1 设a，b和c，d都是实数，如果，那么
当且仅当a=b（或c=d）时取“=”号.
定理2（排序不等式） 设有两个有序实数组：
及
则 （顺序和） ≥
（乱序和） ≥
（逆序和） .
其中，是1，2，…，的任一排列形式，上式当且仅当（或）时，取“=”号。 要点诠释：
学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．
要点三：贝努利不等式
定理（贝努利不等式） 对任意实数和任何正整数n；有
.
推广 （1），且
（2），有；
，有
（3）；则有
（4）设，则当且仅当时取到“=”
贝努利不等式的证明：
证法1：（数学归纳法）
（1）当时，等式显然成立.
（2）假设时，等式成立，即
当n=k+1时，
综上可知，不等式成立
证法2：联想到
当时，
当
证法3：当，
当，则
证法4：
证法5：只证； 设
，故.
要点四：数学归纳法
对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
先证明当n取第一个值n0时命题成立；
然后假设当n=k(k(N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立/
这种证明方法就叫做数学归纳法/
要点诠释：
（1）数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
（2）证明了第一步，就获得了递推的基础；证明了第二步，就获得了递推的依据。
【典型例题】
类型一：柯西不等式的简单应用
例1. 已知实数满足， ，试求的最值。
【思路点拨】构造关于变量的柯西不等式，再利用已知条件，转化为关于的式子，解不等式即可.
【解析】由柯西不等式得 ，
即 ，
由条件可得， ，
解得 .
当且仅当向量与向量共线，即 时等号成立.
当时， 的最大值是2；当时，的最小值是1.
【总结升华】正确运用柯西不等式，能用它求函数或代数式的最值，注意等号成立的条件.
举一反三：
【变式1】已知＝13，求的最小值.
【答案】由柯西不等式 ，
因为＝13，
所以 ，
当且仅当 ，即时取等号.
所以，的最小值是13.
【变式2】设，求的最大值．
【答案】
根据柯西不等式? / /。 当且仅当，即时等号成立，
此时，的最大值是.
例2. 设为正数且互不相等，求证：。
【思路点拨】先变形，要证，即征，
对不等号的左侧使用柯西不等式，由于其中一个因式由构成，那么另一因式应表示为的和的形式。
【解析】均为正数
又，只需证
又互不相等，所以不能取等，
∴原不等式成立，证毕。
【总结升华】利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。
举一反三：
【变式1】为非负数，，，求证：.
【答案】∵，由柯西不等式得
//
即.
【变式2】已知正数满足 证明 .
【答案】利用柯西不等式： ，
即 ，
因为 ，
所以，. ①
又因为 ，在此不等式两边同乘以2，再加上，得：
，
即 ， ②
由①②得，.
例3（2018 福建高考）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求/a2+/b2+c2的最小值．
【思路点拨】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（/a2+/b2+c2）（4+9+1）≥（/?2+/?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，
即/a2+/b2+c2≥/
当且仅当/=/=/，即a=/，b=/，c=/时，等号成立．
所以/a2+/b2+c2的最小值为/．
【总结升华】运用柯西不等式，主要是要观察式子的结构特征.
举一反三：
【变式1】（2018秋 凤凰县校级月考）已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）=a/+b/的最大值．
【解析】（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，
所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以/，解得a=4，b=5．
（2）函数f（x）=a/+b/的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：
[f（x）]2=（4/+5/）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．
又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5/=4/时等号成立，
即x=/时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．
【变式2】之三边长为4，5，6，为三角形内部一点，到三边的距离分別为，求的最小值。
/
【答案】
/，
/ /
类型二：排序不等式的简单应用
例4. 对，比较与的大小。
【思路点拨】题目中没有给出三个数的大小顺序，且在不等式中的“地位”是对等的，不妨设/，再利用排序不等式加以证明．
【解析】
/
那么这两个不等式组的顺序和为：；乱序和为：，
由排序不等式可得：.
【总结升华】应用排序不等式，必须取两组数目相同便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大
小顺序；二是不知道各数的大小顺序，但不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序
举一反三：
【变式1】比较1010×1111×1212×1313?与1013×1112×1211×1310的大小。
【答案】
因10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13及 lg10 ≤ lg11 ≤ lg12 ≤ lg13， 由排序不等式得： 10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥ 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13 lg(1010×1111×1212×1313) ≥ lg(1013×1112×1211×1310) 即1010×1111×1212×1313?≥ 1013×1112×1211×1310。
【变式2】已知，求证：.?
【答案】
由对称性，不妨设，于是，，
由排序不等式可得：
/? 又因为，，
由排序不等式，乱序和≥逆序和，可得：
/
由①②得．
【变式3】设,求证：.
【答案】
/
/
类型三：贝努力不等式的简单应用
例5. 已知.证明：
【思路点拨】要证，即证，也就是证，该式可用贝努利不等式证明.
【解析】；
∴
∴.
【总结升华】贝努里不等式是分析不等式中最常见的一种不等式，具有简单的结构，深刻的内涵，因此应用非常广泛.
举一反三：
【变式1】对于。已知，求证：
【答案】当，时；由（1）知
于是
【变式2】设函数，是否存在使得
【答案】
，
由贝努利不等式，
，
类型三：数学归纳法的简单应用
例6. 用数学归纳法证明：
/
【总结升华】本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤，注意当n＝k＋1时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】
/
【总结升华】数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明．
举一反三：
【变式】用数学归纳法证明：
【答案】①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即．
那么当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：．
【巩固练习】
一、选择题
1. 用数学归纳法证明“对于足够大的正整数，总有”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值0应当是（ ）
A. 5 B.8 C.10 D.12
2. 设为正数，求的最小值为（ ）
A. 11 B. 49 C.121 D.2401
3. 用数学归纳法证明“2＋(＋1)3＋(＋2)3(∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证＝＋1时的情况，只需展开 ( )
A．(＋3)3 B．(＋2)3 C．(＋1)3 D．(＋1)3＋(＋2)3
4．（2018 湖北模拟）已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（ ）
A．6 B．/ C．8 D．/
5. 设都是正数，是的任一排列，则的最小值是( )
A．1 B． C．2 D．无法确定
二、填空题
6. 设，则之最小值为__________；此时__________.
7. 已知为实数，且满足，则的最大值为__________.
8. 设, b, c均为正数，且，则的最小值为__________，此时__________。
9．（2018 郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若/+3/＜k/恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 ．
10. 设为的一个排列，则和的大小关系是__________.
三、解答题
11. 设++=19，求函数/的最小值。
12. 设，求证：
/。
13. 设为正数，求证：
/
14.已知数列满足，，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任意的,有成立．
15．（2018 南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求/+/+/的最大值．
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】＝1时，21>13，不满足该不等式；
＝2,3，?，9时2<3，不满足该不等式；
＝10时，210＝1 024>103，满足该不等式；
∴0＝10.答案：10.
2. 【答案】C
【解析】由柯西不等式可得，
，
当且仅当向量与向量共线，即时取等号.
3. 【答案】A
【解析】假设当＝时，原式能被9整除，即2＋(＋1)3＋(＋2)3能被9整除．
当＝＋1时，(＋1)2＋(＋2)3＋(＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(＋3)3展开，让其出现3即可．
4.【答案】B
【解答】解：由x2+4y2+z2=6，利用柯西不等式可得（x+2y+3z）2≤（x2+4y2+z2）（12+12+32）=66，
故有x+2y+3z≤/，当且仅当/=/=/ 时，取等号．
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立，可得a≥/，故选B．
5.【答案】B
【解析】不妨设， ①
由于都是正数，则 ， ②
由有序实数组①②及排序不等式可得：
逆序和：，
是其中一个乱序和，
有乱序和≤顺序和，可知，，
当且仅当时取等号.
6.【答案】(18；
【解析】由柯西不等式的向量形式： 可知，
∴，
即之最小值为(18，此时
7.【答案】
【解析】由柯西不等式可知，，
即，
由于，
由不等号的传递性可知，，即.
当且仅当和时取等号，此时.
的最大值是.
8.【答案】18；
【解析】考虑以下两组向量：
= ， =，利用柯西不等式的向量形式，可知：
， 即
∴，即最小值为18，
当且仅当，即时取等号，
此时 又 ∴.
9.【答案】k＞/
【解答】解：由柯西不等式可得（/+3/）2≤（x+y）（1+9），
∴/+3/＜/?/
∵/+3/＜k/恒成立，
∴k＞/．
10.【答案】
【解析】设/是/的一个排列， 且/，/为/的一个排列， 且/， 于是/， 由排序不等式：乱序和≥反序和，得 /?① 由于/， /c1≤2， 于是/?② 综合①②，得证。
11.【解析】根据柯西不等式 / 当且仅当/即/时等号成立，此时/
12.【证明】
//， /， 又//， 于是由柯西不等式得： /
13.【证明】不妨设/，于是/ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 / 即/
14.【解析】
/
/
15.【解析】因为a、b、c＞0，
所以（/+/+/）2=（/?1+/?1+/?1）2
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，
于是/+/+/≤2/，
当且仅当/=/=/，即a=b=c=/时，取“=”．
所以，/+/+/的最大值为2/
【学习目标】
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用.
2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用.
3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题.
4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.
5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一：柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
代数形式（定理1）
对任意实数，则.
（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）.
向量形式：
设是平面上任意两个向量，则.
（当且仅当向量与向量共线时，等号成立）。
三角形式:
对任意实数，则
（当且仅当时，等号成立.）
证明：
几何背景：
如图，在三角形中，
，
则
将以上三式代入余弦定理，并化简，可得
或
因为，所以，，
于是
要点诠释：
（1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（2）定理1的变形：
若a、b、c、d都是正实数，则，（当且仅当向量与向量共线，即时，，等号成立）
2. 一般形式的柯西不等式
定理2 设与是两组实数，则
，
当且仅当向量与向量共线时，等号成立。
要点诠释：
（1）使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数：
，，…， ，
，，…， ，
其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。 （3）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。 （4）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。
要点二：排序不等式
定理1 设a，b和c，d都是实数，如果，那么
当且仅当a=b（或c=d）时取“=”号.
定理2（排序不等式） 设有两个有序实数组：
及
则 （顺序和） ≥
（乱序和） ≥
（逆序和） .
其中，是1，2，…，的任一排列形式，上式当且仅当（或）时，取“=”号。 要点诠释：
学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．
要点三：贝努利不等式
定理（贝努利不等式） 对任意实数和任何正整数n；有
.
推广 （1），且
（2），有；
，有
（3）；则有
（4）设，则当且仅当时取到“=”
贝努利不等式的证明：
证法1：（数学归纳法）
（1）当时，等式显然成立.
（2）假设时，等式成立，即
当n=k+1时，
综上可知，不等式成立
证法2：联想到
当时，
当
证法3：当，
当，则
证法4：
证法5：只证； 设
，故.
要点四：数学归纳法
对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
先证明当n取第一个值n0时命题成立；
然后假设当n=k(k(N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立/
这种证明方法就叫做数学归纳法/
要点诠释：
（1）数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
（2）证明了第一步，就获得了递推的基础；证明了第二步，就获得了递推的依据。
【典型例题】
类型一：柯西不等式的简单应用
例1. 已知实数满足， ，试求的最值。
【思路点拨】构造关于变量的柯西不等式，再利用已知条件，转化为关于的式子，解不等式即可.
【解析】由柯西不等式得 ，
即 ，
由条件可得， ，
解得 .
当且仅当向量与向量共线，即 时等号成立.
当时， 的最大值是2；当时，的最小值是1.
【总结升华】正确运用柯西不等式，能用它求函数或代数式的最值，注意等号成立的条件.
举一反三：
【变式1】已知＝13，求的最小值.
【答案】由柯西不等式 ，
因为＝13，
所以 ，
当且仅当 ，即时取等号.
所以，的最小值是13.
【变式2】设，求的最大值．
【答案】
根据柯西不等式? / /。 当且仅当，即时等号成立，
此时，的最大值是.
例2. 设为正数且互不相等，求证：。
【思路点拨】先变形，要证，即征，
对不等号的左侧使用柯西不等式，由于其中一个因式由构成，那么另一因式应表示为的和的形式。
【解析】均为正数
又，只需证
又互不相等，所以不能取等，
∴原不等式成立，证毕。
【总结升华】利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。
举一反三：
【变式1】为非负数，，，求证：.
【答案】∵，由柯西不等式得
//
即.
【变式2】已知正数满足 证明 .
【答案】利用柯西不等式： ，
即 ，
因为 ，
所以，. ①
又因为 ，在此不等式两边同乘以2，再加上，得：
，
即 ， ②
由①②得，.
例3（2018 福建高考）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求/a2+/b2+c2的最小值．
【思路点拨】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（/a2+/b2+c2）（4+9+1）≥（/?2+/?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，
即/a2+/b2+c2≥/
当且仅当/=/=/，即a=/，b=/，c=/时，等号成立．
所以/a2+/b2+c2的最小值为/．
【总结升华】运用柯西不等式，主要是要观察式子的结构特征.
举一反三：
【变式1】（2018秋 凤凰县校级月考）已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）=a/+b/的最大值．
【解析】（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，
所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以/，解得a=4，b=5．
（2）函数f（x）=a/+b/的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：
[f（x）]2=（4/+5/）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．
又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5/=4/时等号成立，
即x=/时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．
【变式2】之三边长为4，5，6，为三角形内部一点，到三边的距离分別为，求的最小值。
/
【答案】
/，
/ /
类型二：排序不等式的简单应用
例4. 对，比较与的大小。
【思路点拨】题目中没有给出三个数的大小顺序，且在不等式中的“地位”是对等的，不妨设/，再利用排序不等式加以证明．
【解析】
/
那么这两个不等式组的顺序和为：；乱序和为：，
由排序不等式可得：.
【总结升华】应用排序不等式，必须取两组数目相同便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大
小顺序；二是不知道各数的大小顺序，但不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序
举一反三：
【变式1】比较1010×1111×1212×1313?与1013×1112×1211×1310的大小。
【答案】
因10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13及 lg10 ≤ lg11 ≤ lg12 ≤ lg13， 由排序不等式得： 10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥ 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13 lg(1010×1111×1212×1313) ≥ lg(1013×1112×1211×1310) 即1010×1111×1212×1313?≥ 1013×1112×1211×1310。
【变式2】已知，求证：.?
【答案】
由对称性，不妨设，于是，，
由排序不等式可得：
/? 又因为，，
由排序不等式，乱序和≥逆序和，可得：
/
由①②得．
【变式3】设,求证：.
【答案】
/
/
类型三：贝努力不等式的简单应用
例5. 已知.证明：
【思路点拨】要证，即证，也就是证，该式可用贝努利不等式证明.
【解析】；
∴
∴.
【总结升华】贝努里不等式是分析不等式中最常见的一种不等式，具有简单的结构，深刻的内涵，因此应用非常广泛.
举一反三：
【变式1】对于。已知，求证：
【答案】当，时；由（1）知
于是
【变式2】设函数，是否存在使得
【答案】
，
由贝努利不等式，
，
类型三：数学归纳法的简单应用
例6. 用数学归纳法证明：
/
【总结升华】本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤，注意当n＝k＋1时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】
/
【总结升华】数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明．
举一反三：
【变式】用数学归纳法证明：
【答案】①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即．
那么当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．
说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：．
【巩固练习】
一、选择题
1. 用数学归纳法证明“对于足够大的正整数，总有”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值0应当是（ ）
A. 5 B.8 C.10 D.12
2. 设为正数，求的最小值为（ ）
A. 11 B. 49 C.121 D.2401
3. 用数学归纳法证明“2＋(＋1)3＋(＋2)3(∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证＝＋1时的情况，只需展开 ( )
A．(＋3)3 B．(＋2)3 C．(＋1)3 D．(＋1)3＋(＋2)3
4．（2018 湖北模拟）已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（ ）
A．6 B．/ C．8 D．/
5. 设都是正数，是的任一排列，则的最小值是( )
A．1 B． C．2 D．无法确定
二、填空题
6. 设，则之最小值为__________；此时__________.
7. 已知为实数，且满足，则的最大值为__________.
8. 设, b, c均为正数，且，则的最小值为__________，此时__________。
9．（2018 郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若/+3/＜k/恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是 ．
10. 设为的一个排列，则和的大小关系是__________.
三、解答题
11. 设++=19，求函数/的最小值。
12. 设，求证：
/。
13. 设为正数，求证：
/
14.已知数列满足，，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任意的,有成立．
15．（2018 南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求/+/+/的最大值．
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】＝1时，21>13，不满足该不等式；
＝2,3，?，9时2<3，不满足该不等式；
＝10时，210＝1 024>103，满足该不等式；
∴0＝10.答案：10.
2. 【答案】C
【解析】由柯西不等式可得，
，
当且仅当向量与向量共线，即时取等号.
3. 【答案】A
【解析】假设当＝时，原式能被9整除，即2＋(＋1)3＋(＋2)3能被9整除．
当＝＋1时，(＋1)2＋(＋2)3＋(＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(＋3)3展开，让其出现3即可．
4.【答案】B
【解答】解：由x2+4y2+z2=6，利用柯西不等式可得（x+2y+3z）2≤（x2+4y2+z2）（12+12+32）=66，
故有x+2y+3z≤/，当且仅当/=/=/ 时，取等号．
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立，可得a≥/，故选B．
5.【答案】B
【解析】不妨设， ①
由于都是正数，则 ， ②
由有序实数组①②及排序不等式可得：
逆序和：，
是其中一个乱序和，
有乱序和≤顺序和，可知，，
当且仅当时取等号.
6.【答案】(18；
【解析】由柯西不等式的向量形式： 可知，
∴，
即之最小值为(18，此时
7.【答案】
【解析】由柯西不等式可知，，
即，
由于，
由不等号的传递性可知，，即.
当且仅当和时取等号，此时.
的最大值是.
8.【答案】18；
【解析】考虑以下两组向量：
= ， =，利用柯西不等式的向量形式，可知：
， 即
∴，即最小值为18，
当且仅当，即时取等号，
此时 又 ∴.
9.【答案】k＞/
【解答】解：由柯西不等式可得（/+3/）2≤（x+y）（1+9），
∴/+3/＜/?/
∵/+3/＜k/恒成立，
∴k＞/．
10.【答案】
【解析】设/是/的一个排列， 且/，/为/的一个排列， 且/， 于是/， 由排序不等式：乱序和≥反序和，得 /?① 由于/， /c1≤2， 于是/?② 综合①②，得证。
11.【解析】根据柯西不等式 / 当且仅当/即/时等号成立，此时/
12.【证明】
//， /， 又//， 于是由柯西不等式得： /
13.【证明】不妨设/，于是/ 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 / 即/
14.【解析】
/
/
15.【解析】因为a、b、c＞0，
所以（/+/+/）2=（/?1+/?1+/?1）2
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，
于是/+/+/≤2/，
当且仅当/=/=/，即a=b=c=/时，取“=”．
所以，/+/+/的最大值为2/