万有引力与航天单元测试—基础篇
一、单选题
1．关于万有引力定律和引力常量，下列说法正确的是( )
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
【答案】D.卡文迪许扭秤实验测出万有引力常量，卡文迪许测定的，不是伽利略、牛顿测定的。
2．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
【答案】B.重力与万有引力相等，即： ，推导得出
3．已知某星球的质量是地球的n倍，半径是地球的k倍，地球的第一宇宙速度为v，则该星球的第一宇宙速度为( )
A.v B．kv
C．nkv D.v
【答案】A.对于地球：，对于星球：
以上两式解得：
4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量和地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
【答案】A.太阳、地球、月亮的质量分别为M1、M2、m
地球绕太阳：月球绕地球：
解得：
6．设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B.
解析：月球绕地球： 同步卫星绕地球：
解得：
7．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的( )
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
【答案】D.
解析：由黄金代换得:在星球上
在地球上：
求出：
8．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星质量等于地球的质量
D．这颗行星的密度等于地球的密度
【答案】A. 它永远在太阳的背面，故与地球的公转周期相同。
9．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )
A.R B.R
C．2R D.R
【答案】C.在地球上平抛： 得出：①
在行星上同理：②
又知③
对于地球：④，对于行星：⑤
以上各式得：
二、多选题
10．同步地球卫星相对地面静止不动，犹如悬在高空中，下列说法正确的
是 （ ）
A．同步卫星处于平衡状态
B．同步卫星的速率是唯一的
C．各国的同步卫星都在同一圆周上运行
D．同步卫星加速度大小是唯一的
【答案】BCD,同步卫星的周期与地球的自传周期相同，可以推导出各个同步卫星的轨道半径相同。因此，同步卫星的速率是唯一的，各国的同步卫星都在同一圆周上运行，同步卫星加速度大小是唯一的。
11．当人造地球卫星已进入预定轨道后，下列说法中正确的是( )
A．卫星及卫星内的任何物体均不受重力作用
B．卫星及卫星内的任何物体仍受重力作用，但不可用弹簧测力计直接称出物体所受重力的大小
C．如果卫星自然破裂成质量不相等的两块，则这两块仍按原来的轨道和周期运行
D．如果在卫星内将一个物体自由释放，则卫星内观察者将可以看到物体做自由落体运动
【答案】BC.人造卫星里的物体处于完全失重状态，不可用弹簧测力计直接称出物体所受重力的大小。
12.如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是 ( )
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3 ∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
【答案】CD.对于卫星：得出：
得出：
得出：
得出：
注意：在几个运动量中，只有周期与轨道半径是正相关
13．关于环绕地球运转的人造地球卫星，下列说法中正确的是( )
A．轨道半径越大，速度越小，周期越长
B．轨道半径越大，角速度速度越大，周期越短
C．周期越短，轨道半径越大，速度越大，
D．周期越短，轨道半径越小，加速度越大。
【答案】AD.在几个运动量中，只有周期与轨道半径是正相关，其余都是负相关。
14．同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＝
【答案】AD.a1、a2的角速度相同，他们与半径成正比，故选A; v1、v2是人造卫星故选D
15．地球“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地高度为同步卫星离地高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．关于该“空间站”的说法正确的有( )
A．运行的加速度一定等于其所在高度处的重力加速度
B．运行的速度等于同步卫星运行速度的倍
C．站在地球赤道上的人观察到它向东运动
D．在“空间站”工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
【答案】AC.对于B,地球半径不能忽略，对于C,它比同步卫星的角速度大，对于D ,YW宇航员作圆周运动。处于非平衡状态。
三、计算题
15．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度
【答案】
解析：地球表面：
解得：
17.若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点．已知月球半径为r，引力常量为，试求出
（1）月球的质量M．
(2)在月球发射卫星的最小发射速度。
解：（1）对于小球：①
在月球表面：②
①②解得：
(2)③
① ③得
17．如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，求：
⑴甲星所受合外力
⑵甲星的线速度
⑶甲星和丙星的周期
解：⑴①
⑵②
①②得：③
⑶甲星和丙星的周期相同，④
③④得：
点评：甲星丙星与乙星共线，甲星丙星绕乙星作匀速圆周运动，故有相同的周期。
万有引力与航天单元测试—提高篇
一．单选题
1．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
【答案】D。开普勒第三定律得出D正确。开普勒第一定律可得，所有行星都绕太阳做椭圆运动，且太阳处在所有椭圆的一个焦点上，不同行星在不同椭圆轨道上，故AB错误；所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，得离太阳越近的行星的运动周期越短，C错误。
2．火箭在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则火箭离地面的高度与地球半径之比为( )
A．(＋1)∶1 B．(－1)∶1
C.∶1 D．1∶
【答案】B。设地球半径为R，火箭的轨道半径为（h+R），则：
地面上： 某高空处：
解得：
3．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度
【答案】B. 万有引力等于向心力即： ，上式中月球质量m已约去，故无法求出月球质量，可以推导得出地球质量。
4．已知某天体的第一宇宙速度为/，该星球半径为/，则在距离该星球表面高度为/的轨道上做匀速圆周运动的宇宙飞船的运行速度为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】C.近地轨道：，在高空：
解得：
5．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面高度分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km) ( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析; 嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面高度分别
解得：
6．地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，物体在离地面高度为h处的重力加速度的表达式是
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】D.
解析：在地表：，在高空：
7．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B.
解析：，
解得：
8．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
【答案】A. 得出 GM＝
二．多选题
9．关于第一宇宙速度，下列说法中正确的是（ ）
A．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
B．实际卫星做匀速圆周运动的速度大于第一宇宙速度
C．它是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度
D．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度
【答案】ACD它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度, 也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，人造地球卫星在圆形轨道上的运行速度小于第一宇宙速度
10．人造地球卫星由于受大气阻力，其轨道半径逐渐减小，其相应的线速度、角速度、加速度、和周期的变化情况（ ）
A．速度减小，周期增大
B．速度增大，周期减小
C．角速度增大，加速度增大
D．加速度增大，周期增大
【答案】BC.对于卫星：得出：
得出：
得出：
得出：
注意：在几个运动量中，只有周期与轨道半径是正相关
11．一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列关系式正确的是( )
A．行星运动的轨道半径为
B．行星运动的加速度为
C．恒星的质量为
D．行星的质量为
【答案】ABC
解析： 选A;
， 解得：,选B.
,又知，解得：
12．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是( )
A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方
【答案】AC对于卫星：得出：
得出：
得出：
得出：
注意：在几个运动量中，只有周期与轨道半径是正相关,同步卫星的轨道是赤道上空唯一的轨道，不过两极。
13．设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则( )
A．卫星的线速度为 B．卫星的角速度为
C．卫星做圆周运动所需的向心力为mg D. 卫星的周期为2π
【答案】AC.得出：把黄金代换式带入
得出： 把黄金代换式带入
把黄金代换式带入 得出：
得出： 把黄金代换式带入 得出：
14.2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
/
A．线速度大于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供
【答案】AB.
太阳、地球、“嫦娥二号”三点共线，故地球、“嫦娥二号”绕太阳运动的角速度相等，“嫦娥二号”的向心力由太阳引力与地球引力合成。
三．计算题
15．嫦娥工程划为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月．若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T.若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，求：
⑴“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小
⑵月球的平均密度
解：⑴
⑵，
解得：
16.某同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x.通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
(1)月球表面的重力加速度g月．
(2)月球的质量M.
(3)环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速度v.
解: (1)平抛物体
解得： ①
(2) ②
①②解得：
(3) ③
①③
17．A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为M.恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r1(1)经过多长时间两行星距离又相距最近？
(2)经过多长时间两行星距离第一次相距最远？
解:（1）A、B两行星在如图所示的位置时距离最近，这时A、B两行星与恒星在同一条圆半径上.A、B运动方向相同．A 更靠近恒星，A的转动角速度大、周期短如果经过时间t，A、B两行星分别与恒星连线的半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，两行星距离又最近。 设A、B两行星的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t，A转过的角度为ω1t，B转过的角度为ω2t．A、B两行星距离最近的条件是：ω1t-ω2t=n·2π （n=1，2，3，…），恒星对行星的引力提供向心力，则 /，即/ 由此得出/ 求得/； （2）如果经过时间t'，A、B两行星分别与恒星连线的半径转过的角度相差π的奇数倍，则A、B与恒星位于同一条直径上，两行星距离最远． 如果经过时间t'，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则 A、B相距最远，即： ω1t'-ω2t'=（2k-1）π （k=1，2，3，…），
解得: /
