1.1.1 勾股定理(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第一章　勾股定理
1　探索勾股定理
第1课时　勾股定理
要 点 讲 解
要点一　认识勾股定理
1. 我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理.在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可.
2. 勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
经典例题1　如图①，在直角三角形外部作出3个正方形.
(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；
(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；
(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；
(4)如果用SA，SB，SC分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；
(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？
解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系.
解：(1)16　16　(2)9　9　(3)25　25　(4)SA＋SB＝SC　(5)图②中，SA′＝1，SB′＝9，SC′＝10，所以仍然有SA′＋SB′＝SC′.
要点二　勾股定理的简单应用
1. 已知直角三角形的两边求第三边.
2. 已知直角三角形的一边，确定另两边的关系.
3. 证明线段的平方关系.
经典例题2　如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草.
解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米.
答案：4
当 堂 检 测
1. 已知直角三角形两直角边的长分别为9，12，则其斜边长为(　　)
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
2. 在△ABC中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的是(　　)
A. ∠B＋∠C＝90° B. AB2＋AC2＝BC2
C. BC2＝AC2－AB2 D. AC2＝BC2－AB2
3. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　　)
A. 48 B. 60 C. 76 D. 80

第3题 第4题
4. 如图所示，直角三角形ABC的两直角边BC＝12，AC＝16，则三角形ABC的斜边AB上的高CD的长是(　　)
A. 20 B. 10 C. 9.6 D. 8
5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ .
6. 如图，已知等腰三角形的底边长为6，底边上的高AD长为4，且D点为BC的中点，求等腰三角形的腰长.

7. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b.
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. C 4. C
5. 4
6. 解：因为D是BC的中点，所以BD＝BC＝3，AD⊥BC.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝42＋32＝25.所以AB＝5，即腰长为5.
7. 解：设a＝3k，b＝4k.因为在△ABC中，∠C＝90°，c＝25，所以由勾股定理，得(3k)2＋(4k)2＝252.