1.1.2 勾股定理的验证及其应用(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第一章　勾股定理
1　探索勾股定理
第2课时　勾股定理的验证及其应用
要 点 讲 解
要点一　勾股定理的验证
勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的.
一般步骤如下：
拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理.
如图(1).因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
所以(a＋b)2＝4×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.
如图(2).因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
所以c2＝4×ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.
如图(3).因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，
所以(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2，
整理，得a2＋b2＝c2.
要点二　勾股定理的应用
1. 勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系.
如图，Rt△ABC中， ∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理.
2. 应用勾股定理时要注意：
(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论.
(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边.在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.
(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论.
经典例题1　“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.
答案：C
易错易混警示　没有明确直角边和斜边
用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论.
经典例题2　在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.
解：当AB为斜边时，AB2＝AC2＋BC2＝225；
当AB为直角边时，AB2＝BC2－AC2＝63.所以AB2为225或63.
点拨：此题易错误地认为AB2＝225.原因是没有分清AB边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件.因此，对于此类问题我们应该分情况讨论.
当 堂 检 测
1. 如图，下列选项中，不能用来证明勾股定理的是(　　)
A B
C D
2. 已知x，y为正数，且|x2－4|＋(y2－3)2＝0，如果以x，y为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(　　)
A. 5 B. 25 C. 7 D. 15
3. 如图，小明将升旗的绳子拉到底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(　　)
A. 12m B. 13m C. 16m D. 17m
4. 如图，把长、宽、对角线的长分别是a，b，c的长方形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 .
5. 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是 .

第5题 第6题
6. 如图，在海上观察所A处，我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向正东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船只前往拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为 时，才能恰好在C处将可疑船只截住.
7. 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为一边作正方形ABMN，且AC＝3.
(1)求正方形ABMN的面积；
(2)求对角线BN的长.
当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. D
4. a2＋b2＝c2
5. S1＋S2＝S3
6. 50km/h
7. 解：(1)因为△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，所以AB2＝AC2＋BC2＝32＋32＝18，又因为S正方形AQMN＝AB2，所以S正方形ABMN＝18.　(2)因为四边形ABMN为正方形，所以BN2＝AB2＋AN2，即BN2＝