1.2 一定是直角三角形吗(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第一章　勾股定理
2　一定是直角三角形吗
要 点 讲 解
要点一　勾股定理的逆定理
1. 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.(此判别条件也称为勾股定理的逆定理)
2. 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想.
(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a2＋b2是否等于c2需通过计算说明，不能直接写成a2＋b2＝c2.
(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形.
经典例题1　判断由线段a，b，c组成的三角形是否为直角三角形.
(1)a＝4，b＝5，c＝6；
(2)a∶b∶c＝3∶4∶5.
解：(1)因为a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝36，a2＋b2≠c2，所以由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形.
(2)设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k≠0).
因为a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，
c2＝(5k)2＝25k2，
所以a2＋b2＝c2，
所以由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.
要点二　勾股数
1. 满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.
2. 常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组.
3. 一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数.勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数.
经典例题2　判断下列各组数是不是勾股数：
(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)，，；(4)3，－4，5.
解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a2＋b2＝c2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数.
解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数.
(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数.
(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数.
(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数.
点拨：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方.
易错易混警示　运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误
运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边.
经典例题3　已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状.
解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形.
点拨：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论.在做此类题时，一定要找准最大边.
当 堂 检 测
1. 下列四组线段能组成直角三角形的是(　　)
A. a＝1，b＝2，c＝3 B. a＝2，b＝3，c＝4
C. a＝3，b＝4，c＝5 D. a＝4，b＝5，c＝6
2. 在下列各组数中，是勾股数的一组是(　　)
A. ，，1 B. 0.3，0.4，0.5
C. 6，8，10 D. 4，5，6
3. 如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(　　)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

第3题 第4题
4. 如图，在4×5的方格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为(　　)
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　　)
A B
C D
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2＋b2－c2)2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为 .
7. 一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，周长为90cm，则它的面积是 .
8. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，已知每平方米蔬菜可售30元.爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量.小明找了一把卷尺，测得AD＝3m，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，且∠BAD＝90°，求四边形土地上的蔬菜全部售出可得多少钱？

当堂检测参考答案
1. C 2. C 3. D 4. D 5. C
6. 等腰直角三角形
7. 270cm2
8. 解：连接BD.在△ABD中，因为AD＝3m，AB＝4m，∠BAD＝90°，所以由勾股定理得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52.所以BD＝5m.在△BCD中，因为BD＝5m，BC＝12m，CD＝13m，所以BD2＋BC2＝CD2.所以△BCD是直角三角形.所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△BCD＝×3×4＋×5×12＝