2018-2019学年山东省菏泽市牡丹区八年级（下）数学试题（解析版）

菏泽市牡丹区2018-2019学年第二学期期末测试
八年级数学试题
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．若分式的值为零，那么x的值为（　　）
A．x=-1或x=1 B．x=0 C．x=1 D．x=-1

2．点M为数轴上表示-2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N，则点N表示的数是（　　）
A．3 B．5 C．-7 D．3或-7

3．已知a，b．c均为实数，a＜b，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A．a-b＞0 B．-3a＜-3b
C．a|c|＜b|c| D．a（c2+1）＜b（c2+1）

4．计算（-2）100+（-2）99的结果是（　　）
A．2 B．-2 C．-299 D．299

5．已知点P（2a+1，1-a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．

6．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=，且AC：BD=2：3，那么AC的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．4

7．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．

8．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3

二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．已知，则3A+2B=
10．因式分解：a3-a=
11．代数式3x?的值不大于代数式x-2的值，则x的最大整数值为
12．如图，根据长方形中的数据，计算阴影部分的面积为

13．平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=50°时，∠EAF的度数是

14．对于x＞0，规定，例如，那么=
三、解答题（本大题共7小题，共58分）
15．先化简：，并从0，-1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
16．如图，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：
（1）AE=CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．

17．如图，已知直线y=kx-3经过点M，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求A，B两点坐标；
（2）结合图象，直接写出kx-3＞1的解集．

18．阅读：分解因式x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-1-3
=（x2+2x+1）-4
=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）
=（x+3）（x-1）
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：
分解因式：x2-y2-8x-4y+12．
19．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
20．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．

21．旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDEA，∠1=130°，则∠2-∠C= 50°
；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可接使用，不需说明理由．）








参考答案与试题解析
1. 【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2-1=0，x+1≠0，
解得：x=1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
2. 【分析】根据在数轴上平移时，左减右加的方法计算即可求解．
【解答】解：由M为数轴上表示-2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N可列：-2+5=3，
故选：A．
【点评】此题主要考查点在数轴上的移动，知道“左减右加”的方法是解题的关键．
3. 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵a＜b，∴a-b＜0，故本选项错误；
B、∵a＜b，∴-3a＞-3b，故本选项错误；
C、当c=0时，a|c|=b|c|，故本选项错误；
D、∵a＜b，c2+1＞0，∴a（c2+1）＜b（c2+1），故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
4. 【分析】根据提公因式法，可得负数的奇数次幂，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．
【解答】解：原式=（-2）99[（-2）+1]=-（-2）99=299，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，提公因式法是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
5. 【分析】根据点在坐标系中位置得关于a的不等式组，解不等式组求得a的范围，即可判断．
【解答】解：根据题意，得：，
解不等式①，得：a＞-，
解不等式②，得：a＜1，
∴该不等式组的解集为：-＜a＜1，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6. 【分析】根据平行四边形的性质可知，OA=OC，OB=OD，由AC：BD=2：3，推出OA：OB=2：3，设OA=2m，OB=3m，在Rt△AOB中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC：BD=2：3，
∴OA：OB=2：3，设OA=2m，BO=3m，
∵AC⊥BD，
∴∠BAO=90°，
∴OB2=AB2+OA2，
∴9m2=5+4m2，
∴m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴AC=2OA=4．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题，学会设未知数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．
7. 【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8. 分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a-c）=a2-c2，
∴S2=S1-S3，
∴S3=2S1-2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1-2S2=4S1．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．
9. 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件求出A与B的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：已知等式整理得：，
可得（A+B）x-2A-B=3x-4，即，
解得：A=1，B=2，
则3A+2B=3+4=7．
故答案为：7
【点评】此题考查了分式的加减法，以及分式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10. 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1），
故答案为：a（a+1）（a-1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11. 【分析】根据代数式3x?的值不大于代数式x-2的值，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，取期内的最大整数值，此题得解．
【解答】解：由已知得：3x?≤x-2，
解得：x≤-．
∵-1＜-＜0，
故答案为：-1．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据代数式3x?的值不大于代数式x-2的值得出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．
12. 【分析】两个阴影图形可以平移到一个长方形中去，故根据长方形面积公式计算．
【解答】解：两个阴影图形可以平移组成一个长方形，长为15-2=13，宽为8，
故阴影部分的面积=13×8=104．
【点评】本题主要考查平移的性质，把复杂的问题化简单．
13. 【分析】先根据平行四边形的性质，求得∠C的度数，再根据四边形内角和，求得∠EAF的度数．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠B=50°，
∴∠C=130°，
又∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴四边形AECF中，∠EAF=360°-180°-130°=50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的邻角互补，四边形的内角和等于360°．
14. 【分析】根据f（x）求出f（），进而得到f（x）+f（）=1，原式结合后，计算即可求出值．
【解答】解：∵x＞0，规定，
∴，即，
则原式=，
故答案为：2018.
【点评】此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，-1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
【解答】解：
=
=
=，
当a=0时，原式=1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16. 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ADE=∠CBF，求出∠AED=∠CFB=90°，根据AAS推出△ADE≌△CBF即可；
（2）证出AE∥CF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．

（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
由（1）得AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，解此题的关键是证明△ADE≌△CBF．
17. 【分析】（1）把点M的坐标代入直线y=kx-3，求出k的值．然后让横坐标为0，即可求出与y轴的交点．让纵坐标为0，即可求出与x轴的交点；
（2）利用函数图象进而得出kx-3＞1的解集．
【解答】解：根据图示知，直线y=kx-3经过点M（-2，1），

∴1=-2k-3，
解得：k=-2；
∴当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-，
则A（-，0），B（0，-3）；

（2）kx-3＞1的解集为：x＜-2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用函数图象分析是解题关键．
18. 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式变形，分解即可．
【解答】解：x2-y2-8x-4y+12=（x2-8x+16）-（y2+4y+4）=（x-4）2-（y+2）2=（x-4+y+2）（x-y-y-2）=（x+y-2）（x-2y-2）．
【点评】此题考查了因式分解-十字相乘法，运用公式法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19. 【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
，
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．

（2）3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360-50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
20. 【分析】（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°．
（2）由等腰直角三角形的性质知，AC=4，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．
（3）由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．
【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CBQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．

（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4，AP=，PC=3，
∴．
（3）存在2PB2=PA2+PC2，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB，
∵AP=CQ，
∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，
故有2PB2=PA2+PC2．
【点评】本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．
21. 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°；

（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；
即∠P=90°-∠A；
故答案为：50°，∠P=90°-∠A；

（4）延长BA、CD于Q，
则∠P=90°-∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，
=180°+180°-2∠P，
=360°-2∠P．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．