内容 基本要求 略高要求 较高要求
轴对称 了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行图案设计
轴对称性质的灵活应用
轴对称图形与轴对称的区别
版块一 轴对称与轴对称图形
?轴对称图形的识别
下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ）
如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
【巩固】如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）
A B C D
判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【巩固】下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
在下图，这一组图中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形．
如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
?轴对称的性质
如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 （ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
如图，直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论：① ② ③ ④，其中正确的结论有_______．
如图，和关于直线对称，且，，求的度数和的长。
?轴对称和折叠
如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是
【巩固】将一个正方形纸片依次按图1a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（ ）
图1
图2
如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A、110° B、120° C、140° D、150°
将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ）
A、大于90° B、小于90° C、等于90° D、不能确定
如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．
【巩固】如图1所示为三角形纸片ABC，AB上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线 SR、TQ、QR，其中Q、R、S、T四点会分别在BC、AC、AP、BP上，如图2所示．若、四边形PTQR的面积分别为16、5，则的面积为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
版块二 垂直平分线的性质及判定
?垂直平分线的性质
如图，若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则
（1）ΔPAC≌_____； （2）PA＝_____；（3）∠APC＝_____； （4）∠A＝_____．
【巩固】如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则
如图，已知，为的垂直平分线，求的度数．
如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAM=
?垂直平分线的判定
如图，，，则有（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
?垂直平分线的画法
求作线段的垂直平分线
已知：如图，及两点、。求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等。
?画轴对称图形和对称轴
作出下图所示的图形的对称轴：
作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：
下列为边长为1的小正方形组成的网格图．
①请画出△ABC关于直线a对称的图形（不要求写作法）；
②求△ABC的面积（直接写出即可）．
版块三、轴对称与线段和差最值问题
?单对称轴
如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？
【巩固】如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小。
?双对称轴
如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小。
【巩固】如图，，角内有点，且，在角的两边有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为 ．
?平移
如图，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可看成平行线，桥是垂直于河岸的）
?路程差最大问题
已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大。
【巩固】求在直线上找一点，使得直线为的角平分线
尺规作图：把右图补成以虚线为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．
已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小。
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
如图，，是公路（为东西走向）两旁的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，村在村的南偏东方向上．
（1） 求出，两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点的位置（保留清晰的作图痕迹，简明书写作法）．
已知：如图，在中，，，平行于轴，点的坐标是．
（1）画出关于轴对称的；
（2）求以点、、、为顶点的四边形的面积．
内容 基本要求 略高要求 较高要求
等腰三角形 了解等腰三角形、等边三角形和直角三角形的概念，会识别这三种图形，并理解这三种图形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的知识解决有关问题
利用等腰三角形的性质和判定解决有关问题
模块一 等腰三角形
?等腰三角形求角度
已知中，．，则______．
【巩固】等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______；
若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
【巩固】等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；
?求周长
等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；
【巩固】等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
【巩固】等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的倍，则腰长是( )
A． B． C． D．
【拓展】若已知，，平分交于，若已知 ，
则＝ ．
?等腰三角形的判定
已知：平分的外角，且，求证：为等腰三角形
?等腰三角形的存在性与分类讨论
如图，等腰中，底边，，的平分线交于，的平分线交于，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【巩固】如图，在中，，，的平分线相交于点，过作 ，交于点，交于．图中是等腰三角形有 ．
【巩固】已知中，，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.
在正方形所在平面上找一点，使是等腰直角三角形，这样的点你能发现几个?请作出这些点．
?等腰三角形与面积法
如图，为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，求证：．
【巩固】如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点．、、之间存在着怎样的数量关系?
模块二 等边三角形
_____的_____叫做等边三角形．
等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有：
（1）边的性质：_____；
（2）角的性质：_____；
（3）对称性：等边三角形是_____图形，它有_____ 对称轴．
等边三角形的判定方法：
（1）三条边_____的_____是等边三角形；
（2）三个角_____的_____是等边三角形；
（3）_____的等腰三角形是等边三角形．
【巩固】含30°角的直角三角形的一个主要性质是______．
【巩固】已知：如图8－1，ΔABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，则图中60°的角有_____个．
图8－1
【巩固】如图8－2，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝_____，∠ECD＝_____．
图8－2
【巩固】如图8－3，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.
图8－3
已知：如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．
（1）求证：AD＝CE；
（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．
【巩固】如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）求证：AF＝BD．
图8－5
已知：如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．
图8－6
如图，在等边中，点分别在边上，，与交于点．
(1)求证：；(2)求的度数．
如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．
已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．
等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数．
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．
如图，在中，，在上，，在上取一点，使得，求的度数．
内容 基本要求 略高要求 较高要求
轴对称 了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行图案设计
旋转 了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题；
平移 了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离 能运用平移的知识解决简单的计算问题；
几何变换作图与计算
全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用
模块一 全等三角形与轴对称
?角平分线类
“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：①平分角；
②角平分线上点到角两边的距离相等；
③沿角平分线进行翻折。
如图，在中，，为的平分线．求证：．
【巩固】如图，中，平分，，则 ．
在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．
【巩固】如图，是的外角的平分线上的点（不与重合）
求证：
如图，在中，，，是上一点，交的延长线于，且．求证：是的角平分线．
?垂直平分线类
垂直平分线：“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛
如图，的两边、的垂直平分线分别交于、，若,则的度数是
【巩固】如图中，平分，且平分，于，于.
⑴说明的理由；
⑵如果，，求，的长.
?构造等腰三角形类
构造等腰三角形类的主要方法有两种：①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段
如图，在中，，于，且，那么的度数是_______
【巩固】如图，在中，于，．求证：．
?构造等边三角形类
构造等边三角形类的方式主要有两种：①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如，证明此等腰三角形为等边三角形
如图，在中，，是外的一点，且，．
求证：．
【巩固】如图，已知，且．求证：是等腰三角形．
模块二 全等三角形与旋转
?全等三角形与旋转的性质
一般涉及到旋转有关问题时，都会用到:旋转前后，图形对应全等，由此转化线段与角的对应关系
如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上，已知， ，则的长是________
【巩固】如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在点位置，点落在点位置，若，则
如图，在上，在上，且，，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
?倍长中线类
倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系
如图，已知为边的中点，，则（ ）
A．大于
B．小于
C．等于
D．与的大小关系无法确定
【巩固】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：
已知：在中，，为斜边的中点，证明:
在《四边形》这一章中，我们会学习到中位线的概念以及性质
中位线的概念：三角形两边中点的连线，我们称之为三角形的中位线
中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
用数学语言改编如下：如图，在中，为的中点，为的中点
证明：，
【巩固】两个全等的含、角的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，连结，取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．
?一般等腰三角形旋转
一般等腰三角形旋转的问题主要有：①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形
如图，中，，,将绕点逆时针旋转到如图所示位置
求证：，
【巩固】如图，是边长为1的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点分别在上，则的周长是 ．
?等腰直角三角形旋转
等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线
已知：三角形中，，，为的中点．
（1）如图，分别是上的点，且，求证：为等腰直角三角形．
（2）若分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么，是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【巩固】如图，在中，＝，＝，为上任意一点，且⊥于，
⊥于，为的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论．
?等边三角形旋转
复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知中，，是内任意一点，将绕点顺时针旋转至，使，连接、，则。”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了，从而得，之后，他将点移到等腰三角形之外，原题中其他条件不变，发现“”仍然成立，请你就图②给出证明。
【巩固】如图，已知四边形中，，，证明：．
?三垂直全等及三垂直的变形
在中，，，直线经过点，且于，于．
⑴当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：；
⑵当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：；
⑶当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【巩固】如图，在等腰中，，为上一点，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固】如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．
（1）若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：
①如图①，若，，则 ；
（填“”、“”、“”）；
②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．
（2）如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
模块三 全等三角形与平移
平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等
如图所示，两条长度为的线段和相交于点，且，求证：．
【巩固】如图所示，在的边上取两点、，且．
求证：．
点是四边形的边的中点，，证明：
如图，在中，，是外的一点，且，．
求证：．
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
如图，是的角平分线， ， ,判断的度数并说明理由。
答：=
证明：
