1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
课题
第1课时 探索勾股定理
授课人
教
学
目
标
知识技能
用数格子的方法探索直角三角形的三边关系，掌握勾股定理的内容．
数学思考
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法．
问题解决
探索勾股定理并灵活运用．
情感态度
在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.
教学重点
了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．
教学难点
在方格纸上通过计算图形面积的方法探索勾股定理.
授课类型
新授课
第一课时
教具
三角板(多媒体)
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
什么叫直角三角形？
学生回忆并回答.
活动一：创设情境
导入新课
【课堂引入】
图1－1－
请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理.
用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，引领学生进入学习情境.
活动二：实践探究交流新知
【探究1】 1.在纸上作出一个直角三角形，分别测量它们的三条边长，观察三边长的平方之间有什么样的关系，与同伴交流.
2.(1)观察课本图1－2，正方形A中有________个小方格，即A的面积为________平方单位.
正方形B中有________个小方格，即B的面积为________个平方单位.
正方形C中有________个小方格，即C的面积为________个平方单位．(2)你是怎样得出上面的结果的？学生思考交流并加以回答．(留给学生充足时间，让学生体验正方形C的面积求法的多样性．)
(3)图1—2中，A，B，C的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书：A＋B＝C.
【探究2】 我们也不难发现上面两个图中的直角三角形是等腰直角三角形．如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种关系呢？
投影课本第2页图1－3
(让学生先独立思考，教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程．若计算正方形C的面积有困难，教师应适时点拨，介绍割补以及拼图等方法，同时借助多媒体动态演示得出一般的直角三角形中，A＋B＝C仍然成立)
三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
1.此次探究，能使学生初步感受直角三角形三边之间的关系，这为进一步验证勾股定理做好了铺垫.
2.割补以及拼图等方法是本节课的教学难点，需要调动全体同学的积极性，留给学生充足的时间探究，同时借助多媒体动态演示．使学生感受方法的技巧，获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用.
活动三：开放训练体现应用
【应用举例】
例 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边.
(1)若a＝3，b＝4，求c的值；
(2)若a＝5，c＝13，求b的值；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b的值.
变式训练：
在△ABC中，∠C＝90°，，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边a＝8，c＝b＋4，求b，c的值.
1.例1学习，其目的是巩固新知，通过老师的板演，强调格式步骤.
2.模仿改造试题可体现知识的延伸，养成提出“新数学问题”的习惯.
【拓展提升】
图1－1－9
1.[淮安中考] 如图1－1－9，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A.5 B．6
C.7 D．25
图1－1－10
2.[莆田中考] 如图1－1－10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是________.
知识的综合与拓展，提高应考能力.
活动四：课堂总结反思
【当堂训练】
1.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答).
图1－1－11
2.如图1－1－2，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行( )
图1－1－12
A.8米
B.10米
C.12米
D.14米
图1－1－13
3.如图1－1－13，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BD⊥AC于点D，且CD＝2 cm，则BC的长是( )
A.6 cm B．5 cm
C.2 cm D．8 cm
图1－1－14
4.如图1－1－14所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是______ cm2.
通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来．在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化．使学生创造性的以将数学知识应用于实践并在实践中获得创造的成功感．更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻练.
【课堂总结】
学生活动：1.你这节课的主要收获是什么？
2.在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？
教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解．让学生在总结的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧解难让学生对知识形成正向迁移，从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯.
作业：课本P3随堂练习，P4习题1.1.
【板书设计】
第1课时 探索勾股定理
探究发现中正方形C的面积的两种算法：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探索勾股定理的过程中，分两步进行，第一步先研究课本P2图1－2和图1－3中正方形A，B，C之间的面积关系，第二步完成想一想中的问题，指导学生总结出直角三角形的三边关系，层层深入．每一步都引导学生合作探究，培养了学生的合作精神和动手能力．在正方形C的面积的求法中，学生有很多的办法．有的学生用拼凑法拼出完整的小正方形后，直接数出小正方形的个数，有的学生将其化分为四个边长都为整数的直角三角形，再利用三角形面积公式得到C的面积，还有的将C拼为边长都为整数的长方形，再求面积．讨论时要求学生在小组内进行交流，再请学生做小老师到讲台上讲解，以培养学生的语言表达能力，教师对学生的讲解进行点评，并给以鼓励，增强了学生学好数学的信心，体验成功的快乐．
②[讲授效果反思]
这节课从探究定理、总结定理到练习的处理都是引导学生完成的，多数学生在小组活动中表现积极，找出了许多解决问题的办法，乐于与小组其他成员合作，愿意与同伴交流自己的想法，有解决问题的自信心，不回避困难，教师参与学生的活动中，使每个同学得到了不同程度的发展．
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__当堂训练第2、3、4__________
错题题号______________________________
反思，更进一步提升.
1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理及其计算
课题
第2课时 验证勾股定理及其计算
教
学
目
标
知识技能
掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
数学思考
在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．
问题解决
通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识．
情感态度
在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感.
教学
重点
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题．
教学
难点
通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
上节课的勾股定理是怎么得到的？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
图1－1－6
【课堂引入】
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法．
问题1：你能说出勾股定理的内容吗？
问题2：伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理，你也能利用它验证勾股定理吗？
上节课仅仅是通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形仍需进行验证．巧妙引用“总统”证法引出如何验证勾股定理，引领学生不断探索，不断深入.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 拼图验证勾股定理
如图1－1－7是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证．
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流新知
图1－1－7
图1－1－8
图1－1－9
问题1：图1－1－8中正方形ABCD的边长是________，正方形ABCD的面积可表示为________.
问题2：图3中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为________.
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应________.
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图4如何验证勾股定理？
【探究2】 拓宽视野，深入了解勾股定理的证法.
用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们来欣赏几种！(课件出示)
问题：你能利用前美国总统伽菲尔德所拼的图形如图1－1－10验证勾股定理吗？
图1－1－10
【探究3】 探究只有直角三角形才满足a2＋b2＝c2.
我们已经验证了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个关系吗？观察图6，判断图中三角形的三边长是否满足a2＋b2＝c2.
图1－1－
问题1：利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？
问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三边长满足的关系是什么？
1.让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强．图1－1－8、图1－1－8都能够证明勾股定理，并且这两个图形的证明方法类似，因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证明，目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.
2.介绍中外古代人们对勾股定理证明的研究，特别是勾股定理的“无字证明”，从另一个角度让学生感受勾股定理的证明思路，体会拼图方法的多样性，激发学生的学习兴趣．让学生验证“总统”证法的正确性，希望学生能关注知识、方法之间的内在联系，通过学生自身的实践活动加深对勾股定理的理解.
3.学生通过数格子的方法可以得出“如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2”这个结论，学生可以加深对勾股定理的认识，也为下一节学习直角三角形的判别打下基础.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例 (教材例题)我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
【变式训练】
1．一个寻宝探险小队，从A处出发探寻宝藏，他们向东行走4千米到达C点，然后又向正北行走2.5千米至达D点，接着他们又向正东继续行走2千米到达E点，最后他们又向正北前进了5.5千米到达B点，才找到了宝藏，你能准确地求出宝藏藏匿点距离出发点多少千米吗？
2．如图1－1－，在笔直的铁路上，A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA＝10 km，CB＝15 km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到庄E站的距离相等．求E应建在距A多远处．
为了巩固所学的勾股定理知识，教师可逐步引导学生初步运用勾股定理解决实际问题，强化应用的意识，在应用中体会勾股定理的价值.
【拓展提升】
1．如图1－1－，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，则小鸟至少飞行________米．
图1－1－
图1－1－
2.如图1－1－是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？
在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及运用勾股定理解决实际问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为( )
A．600米 B．800米
C．1000米 D．不能确定
2．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则其面积为( )
A．30 cm2 B．130 cm2
C．120 cm2 D．60 cm2
活动
四：
课堂
总结
反思
3.如图1－1－1阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积．
图1－1－
图1－1－
4.如图1－1－，受台风麦莎影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？
这一环节设计了4道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第1，2题学生容易解决，第3，4题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，有一定难度．在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.
【课堂总结】
学生活动：谈本节课的收获与体会．
教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中，老师引导学生将本节的知识系统化．
作业：1.课本P6中的随堂练习
2．课本P6习题1.2中的T1、T3
【板书设计】
第2课时 验证勾股定理及其计算
一、拼图验证勾股定理 二、例 三、练习
1．(a＋b)2＝ab×4＋c2
即a2＋b2＝c2
2．c2＝ab×4＋(b－a)2
即a2＋b2＝c2
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
巧妙引用“总统”证法引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入．
②[讲授效果反思]
A．重点 □ B．难点□
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样学生较容易地突破了本节课的难点．
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号____________________________________
错题题号____________________________________
反思，更进一步提升
