2.2.2 等差数列的前n项和 课件（27张PPT）

课件27张PPT。等差数列的前n项和一、教材分析二、学生学习情况目标分析六、教学重难点四、教与学的方法分析五、教学目标三、设计思想内容教材分析学生已有知识基础
本节课是在学习了等差数列的定义和性质的基础上来学习的．
本节学习的主要内容
本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和公式以及该公式的应用等．
本节的地位
等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时,求数列前n项和也是数列研究的基本问题．
教材渗透的主要数学思想方法
公式的推导,让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法，公式的运用让学生进一步体会函数的思想方法和整体代入的思想方法．学生学习情况分析学生已有知识
学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,对高斯算法也有所了解,已有了函数的初步知识．
难点的确定
学生对高斯算法有所了解，为倒序相加法的教学提供了基础，但高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离, 如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的的难点.
渗透函数思想的根据
从学生已有函数知识出发，在教学中运用通项公式与求和公式解题时，可适当渗透函数思想.设计思想理论依据
根据建构主义理论，让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验, 自主地在教师的引导下促进对新知识的建构.教与学的方法分析 在教学过程中,从介绍高斯的算法开始,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂,从特殊到一般的问题,层层铺垫,组织和启发学生获得公式的推导思路。并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习,通过生生互动和师生互动等形式,让学生在问题解决中学会思考、学会学习，以期达到高效大容量的目的.
为了促进成绩优秀学生的发展,还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力,达到了分层教学的目的.
教学目标1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握解倒序相加法的原理，掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式．
2. 从公式的推导过程中,体验从特殊到一般的研究方法,渗透函数思想与方程(组)思想,培养学生观察、归纳、分析、分类讨论、反思的能力，提高学生推理能力，增强学生应用意识，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质．
3. 通过有趣的历史故事，具体的实际问题构建“倒序相加”的模型，激发学生的求知欲望和探究热情，体验问题驱动的科学学习方法，树立学生求真的勇气和自信． 教学重点和难点：
重点：等差数列前n项和公式推导及应用
难点：是等差数列前n项和公式推导“倒序相加”思想的获得及灵活运用等差数列前n项和公式解决一些具体问题．（3）等差数列的性质：（1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列
即：an-an-1=d（2）等差数列通项公式an=am+(m-n)dm. n∈N﹡ n＞m≥1（4）公差 d=an-an-1若a、b、c成等差数列，则2b=a+c 教学过程问题1： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一,陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
著名数学家高斯的一个小故事
在高斯10岁的时候，他的老师出了一道数学题：
1+2+3+4+…+100=？
在别的同学都在忙着计算的时候，高斯很快得出了正确答案，你知道高斯是怎 么计算的吗？ 高斯(Gauss,C.F.,1777年～1855年）
德国著名数学家
（1+100)+(2+99)+(3+98)+···+（50+51）
=50×101
=5050等差数列前n 项和的定义：设{an}为等差数列，它的前n项和用Sn表示.
即Sn=a1+a2+a3+···+an
则:1+2+3+···+100表示S100
S100=1+2+3+···+100
从高斯的（1+100)+(2+99)+···+（50+51）首尾配对相加导出倒序相加 设 S100=1+2+3+···+99+100
则 S100=100+99+98+···+2+1
故 2S100=(1+100)+(2+99) +···+（99+2）+(100+1)
=(1+100)×100
S100=
由此猜想等差数列{an}前n项和sn为：
sn=
=高斯的算法其实给出了求等差数列前n项和的方法---倒序相加法
以字母代替数来探究
设等差数列{an}的前n项和为Sn
Sn=a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an
Sn=an + an-1+ an-2+ … + a3 + a2 + a1
两式对应相加得
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1）+(a3+an-2 )+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1）
在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
故a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
∴ 2Sn=n(a1+an)
探究发现方法2：如何根据等差数列an=a1+(n-1)d
来推导等差数列前n项和公式sn? 等差数列前n项和公式 记一记帮助我记公式啦 根据下列条件,求出等差数列{an}的前n项和Sn(1)a1=5,an=95,n=10 （2)a1=100,d= -2, n=50

解：（1）sn=

=500
（2）sn=50×100+
=2550热身练习 Sn=
Sn=na1+ 例1:如图 超市一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放．最上面一层放120支S求这个V形架上共放着多少支铅笔？ 分析：由题意知，这个V形架上共120层铅笔，各层的铅笔数自下上成等差数列,记为{an}，a1=1,an=120,n=120,d=1.代入等差数列前n项和公式可求得结果 应用提升解：依题知，各层铅笔数自下而上成等差数列，设为{an}则a1=1,an=120,n=120,d=1代入公式得
?????Sn=

=7260
答：这个V形架上共放了7260支铅笔 例2:等差数列-10,-6,-2,2，…前多少项和是54?
分析:等差数列首项为-10,前n项和为54,由前几项可知公差为4,依前n项和公式可得关于n的方程,解之可得n. 解:设等差数列{an}首项a1= -10,前n项和Sn=54,公差d=4,
代入公式得 -10n + × 4=54

整理得 n2-6n-27=0
解得 n1=9 n2= -3(舍去）
故该等差数列前9项和是54.等差数列中由前几项可确定首项、公差，再代 入前n项和公式第二公式可得关于n的二次方程，求解时应注意n为正整数能力提升例2中通项公式an 与n及前n项和公式Sn 与n的函数关系？想一想评注an=f(n)、Sn=f(n)的深入认识an = 4n-14Sn = 2n2-12n等差数列5，4，3，2，···，多少项和是-30？ 解:设等差数列{an}首项a1=5,前n项和Sn= - 30,公差d= - 1
代入公式得 5n + ×（- 1）= - 30

整理得 n2 - 11n - 60=0

解得 n1=15 n2= - 4(舍去）

故该等差数列前15项和是 - 30.做一做 例3:已知在等差数列{an}中，d=20,n=37,sn=629,求:a1及an =629……………… ①
a1+(37-1)×20=an…………..…… ②由以上两式联立求解方程组得a1= - 343 an=377 解：由题意得:
例4:(1)在等差数列{an}中,已知a3+a99=200.求S101? (2)在等差数列{an}中,已知a15+a12+a9+a6=20,求S20?分析:等差数列中已知某几项和，求前n项和，充分利用通项或等差数列 性质(如若m+n=p+q则am+an=ap+aq）进行整体代换 解:(1)法一:
∵a3+a99=200
∴a3+a99=2a1+100d
即 a1+50d=100
∴ S101=101a1+
=101(a1+50d) =10100
法二:a3+a99=a1+a101=200
∴ S101 (2) 方法一： ∵1+20=6+15=9+12
∴ a1+a20=a6+a15=a9+a2
∵a15+a12+a9+a6=20
∴a1+a20=10
∴S20= 100 已知等差数列若干项和,求前n项和是常见题型,方法灵活,利用通项公式或等差数列性质进行整体代换是基本方法评注：=10100方法二同（1）题方法一 利用sn,判断一个数列是否为等差数列 例5：根据数列{an}前n项和公式,判断下列数列 是否 为等差数列
(1) sn=2 n2 – n (2) sn=2 n2 – n + 1
解：(1)当n>1时，an=sn-sn-1
=2 n2 – n-[2( n-1)2 – (n-)]
=4n-3
当n=1时，a1=s1=2×12-1=1也满足上式
则:an-an-1=4n-3-[4(n-1)-3]=4 (常数)
∴{an}是等差数列
(2)当n>1时，an=sn-sn-1
=2 n2 – n+1-[2( n-1)2 – (n-)+1]
=4n-3
当n=1时，a1=s1=2×12-1+1=2不满足上式
则:当n>2时，an-an-1=4n-3-[4(n-1)-3]=4
而当n=2时an-an-1=a2-a1=5-2=3≠4
∴{an}不是等差数列

　　　 (1)一种求和方法--倒序相加法.
　　　 (2)等差数列前n项和的两个公式.
　　　　
(3)已知等差数列中首项、公差、末项、前n项和中
某几项求他量。
　　　　 回顾与小结1.阅读教材P42到P44，复习数列、等差数列定义、数列图像、二次函数图像.
2.书面作业：P132习题3.3 第1,2,3,4题.
3.课外练习：已知等差数列16，14，12， 10， …
(1)前多少项的和为72？
(2)前多少项的和为0？
(3)前多少项的和最大？
练习与作业谢 谢